首都師范2001年高等代數(shù)真題解析

（12分計(jì)算行列式

1

1【解答1 c1bn c1 1 【解答1 c1bn c1 c c

1cb

c c

c

c n n nn n n nn n1 c1c 1c c c22 2 2 1

b2, bn cn（12分f1xf2xf3xFF[x中三個(gè)互素多項(xiàng)式，但其中任意兩個(gè)都不互素，證明：f1x),f2x),f3x)線性無關(guān)?！窘獯餱1xf2xf3x線性相關(guān)，故其中有一個(gè)可以用另外兩個(gè)線性表示，f3xf1xf2xf3xkf1xlf2xf1xf2xf3x)互素，故存在多項(xiàng)式u(x),v(x),w(x)，使得u(x)f1(x)v(x)f2(x)w(x)f3u(x)f1(x)v(x)f2(x)w(x)[kf1(x)lf2(x)][u(x)kw(x)]f1(x)[v(x)lw(x)]f2(x)故f1(x),f2(x)互素，與題 ！故f1(x),f2(x),f3(x)線性無關(guān)（14分證明線性方程

a11x1a12x2a1nxna21x1a22x2a2nxnan1x1an2x2annxn對(duì)任何b1b2,,bn都有解的充要條件是系數(shù)行列【解答

an

a2n Aabbb,b)T 如果方程組對(duì)任何b1b2bn都有解，分別取beii1,2,n，則Axei都有解AXAX1A

an

a2n

0A可逆，于是，對(duì)任意bAXbXA1b

an

（12分設(shè)A,Bn階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的所有特征值都小于aB的所有特征值都小于b，則矩AB的所有特征值都ab【解答ABab（14分n維線性空間V中的線性變換可逆的充分必要條件是把V的一組基仍變?yōu)橐唤M設(shè)可逆。任取V的一組基1,2,,n，為VyVk1k2knxk11k22knny(x)y的任意性，是滿的，故（12分A是數(shù)域Fn階方陣，In階單位矩陣，A2IV,V分別是線性方程 (IAX0和(IAX0的解空間FnV1V2，其Fnn維向量所成線性空間【解答設(shè)V1VA}，V2VA任取Fn，有IAIAA2I (IA)IA(IA)IAI I 故 V, V，由的任意性，VV{0}，故FnV （14分設(shè)4階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是3,1,1,1，已知屬于特征之1的特征向量1 1

，

00

10

01求屬于特征值3的特征向量求矩陣A【解答

11 依據(jù)題意，即方程組Tx0的非零解，求解，可得方程組一個(gè)非零解為 2 k故k

1

k0

11 1 1 令q1 1

0

2

2

012 2 (q,

(q,

11

1q

13

23

，q 2 231 1 2

3 1

2 2 2 P

213

2PPTAP

1

2

1 2

12 2 1

2 2

1 0A 2 2 P

1

1

3 2 2

2

2 2

23

1

1

2 21

2

2 2

0 1

0 2 2 1 1

3

0 2

2 2

2 2

23 1 1

1 2 2

2（10分設(shè)為一復(fù)數(shù)，且是數(shù)域F上的非零多項(xiàng)式g(x)的根，W{f(x)F[x]f()證明：在Wp(xf(xWp(x)f(xp(xF【解答Fg(x的根，故W，W0}p(x為W中次數(shù)最低的f(xWq(xr(xF[xf(x)q(xp(xr(xr(x)0r(x)0，但(r(xp(x但(r(xp(x，故只能r(x)0f(xq(xp(xp(x)