2021高中數(shù)學青年基本功測試及答案(二套)

高中數(shù)學青年基本功測試（一）第一部分 選擇題（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．請將答案代號填在答題卷的相應位置上．1．已知點A（－1，0）、B（1，3），向量，若，則實數(shù)k的值為A．－2B．－1C．1D．22．設，，，則下列關系中正確的是A．B．C．D．3．已知圓被直線所截得的弦長為，則實數(shù)a的值為A．0或4B．1或3C．－2或6D．－1或34．已知為平面，命題p：若，則；命題q：若上不共線的三點到的距離相等，則．對以上兩個命題，下列結論中正確的是 A．命題“p且q”為真 B．命題“p或”為假 C．命題“p或q”為假 D．命題“”且“”為假5．設，且，則等于A．B．C．D．6．橢圓的四個頂點為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率是A．B．C．D．Oxy7．已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，則函數(shù)的解Oxy析式應為A．B．C．D．8．設x，y滿足約束條件則的取值范圍為A．B．C．D．9．如圖，所在的平面和四邊形所在的平面互相垂直，且，，，，若，則點在平面內的軌跡是A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分10．已知滿足方程，則的最大值是A．4B．2C．D．第二部分 非選擇題（共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．請將答案填在答題卷的相應位置上．11．等差數(shù)列有如下性質：若是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質，相應地，若是正項等比數(shù)列，則數(shù)列_______________也是等比數(shù)列．12．已知集合，，若，則m所能取的一切值構成的集合為．13．在△ABC中，若，則_____________．14．在四面體ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．則四面體ABCD的體積為；四面體ABCD外接球的面積為．區(qū)學校姓名考號答題卷一、選擇題答案（每小題5分，共50分）題號12345678910答案二、填空題答案（每小題5分，共20分）11．12.13.14.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.15．（本小題滿分12分）已知向量，，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值以及取得最小值時的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．16．（本小題滿分12分）箱中裝有12張大小、重量一樣的卡片，每張卡片正面分別標有1到12中的一個號碼，正面號碼為的卡片反面標的數(shù)字是．（卡片正反面用顏色區(qū)分）（Ⅰ）如果任意取出一張卡片，試求正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的概率；（Ⅱ）如果同時取出兩張卡片，試求他們反面數(shù)字相同的概率．17．（本小題滿分14分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．

（Ⅰ）若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；PABCDQ（Ⅱ）當邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PDPABCDQ18．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（，）．（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分14分）已知點（x，y）在橢圓C：（的第一象限上運動．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）若把軌跡的方程表達式記為，且在內有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍．20．（本小題滿分14分）已知正項數(shù)列的前項和，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）定理：若函數(shù)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且存在，則當時，總有．請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)是上的凹函數(shù)，判斷與的大?。唬á螅┣笞C：．參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．1．B2．A3．D4．C5．D6．C7．A8．D9．B10．C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．第14題的第一個空2分，第二個空3分．11．12．13．14．；，三、解答題：15．＝1＋2……2分＝＝……4分＝……6分（Ⅰ）當，即時，函數(shù)取最小值，函數(shù)的最小值是．……9分（Ⅱ）當，即，時，函數(shù)單調遞增，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）．……12分16．（Ⅰ）由不等式，得或．……3分由于，所以1，2，3，7，8，9，10，11，12．即共有9張卡片正面數(shù)字不大于反面數(shù)字，故所求的概率為．答：正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的概率為．……6分（Ⅱ）設取出的是第號卡片和號卡片（），則有．……8分即，由，得．……10分故符合條件的取法為1，8；2，7；3，6；4，5．故所求的概率為．答：反面數(shù)字相同的概率為．……12分17．解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．……2分NMPABCNMPABCDQ在中，有．在中，有．……4分在中，有．即，即．∴．故的取值范圍為．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．……8分過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD．

∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．……10分在等腰直角三角形中，可求得，又，進而．……12分∴．故二面角A－PD－Q的余弦值為．……14分解法2：（Ⅰ）以為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標系，則xyzPABCDQB（0，2，0），C（a，2，0），xyzPABCDQP（0，0，4），……2分設Q（t，2，0）（），則＝（t，2，－4），＝（t－a，2，0）．……4分

∵PQ⊥QD，∴＝0．即．

∴．故的取值范圍為．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD．此時Q（2，2，0），D（4，0，0）．……8分設是平面的法向量，由，得．取，則是平面的一個法向量．……10分而是平面的一個法向量，……12分由．∴二面角A－PD－Q的余弦值為．……14分18．當．……2分令，得，或．且，．……6分（Ⅰ）當時，．當變化時，、的變化情況如下表：0＋0－0＋SHAPESHAPESHAPE……8分∴當時，在處，函數(shù)有極大值；在處，函數(shù)有極小值．……10分（Ⅱ）要使函數(shù)有三個不同的零點，必須．……12分解得．∴當時，函數(shù)有三個不同的零點．……14分19．（Ⅰ）設點（，）是軌跡上的動點，∴……2分∴=，．∵點（x，y）在橢圓C:（的第一象限上運動，則>0，>0．∴．故所求的軌跡方程是（，）．……6分（Ⅱ）由軌跡方程是（>0，>0），得（x>0）．∴．所以，當且僅當，即時，有最大值．……10分如果在開區(qū)間內有最大值，只有．……12分此時，，解得．∴橢圓C的離心率的取值范圍是．……14分20．（Ⅰ）時，或．由于是正項數(shù)列，所以．當時，，整理，得．由于是正項數(shù)列，∴．∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．從而，當時也滿足．∴（）．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．對于上的凹函數(shù)，有．根據(jù)定理，得．……6分整理，得．令，得．……8分∴，即．∴．……10分（Ⅲ）∵，∴……12分又由（Ⅱ），得．（或）∴．……14分高中數(shù)學青年基本功測試（二）基礎知識（30分）1、在創(chuàng)建解析幾何學的過程中，法國數(shù)學家笛卡爾和費馬做出了最重要的貢獻，成為解析幾何學的創(chuàng)立者。2、我國齊梁時代的數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅提出一條原理：“冪勢既同，則積不容異”這句話的大致意思是兩等高的幾何體若在所有等高處的水平切面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。3、在物理學中利用了三角函數(shù)“任意的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加函數(shù)都可以化成或者的形式，而且周期不變”的結論，可以解釋聲波的共振現(xiàn)象。4、《江蘇省2010年高考說明》對數(shù)學基本能力的考查主要包括：空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理這五個能力。5、《江蘇省2010年高考說明》對知識的考查要求依次為了解、理解、掌握三個層次（分別對應A、B、C）6、《普通高中數(shù)學課程標準（試驗）》簡稱新課標中提出的三維目標是指：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀。解題能力（90分）1、函數(shù)的單調增區(qū)間為（-。。。，1），(2,+。。。)。2、設復數(shù)為純虛數(shù),則=1．3、已知滿足條件，則的取值范圍是____[3,9]___________．4、1200輛汽車通過某一段公路時的時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速在的汽車大約有360輛．5、已知某算法的流程圖如下圖所示，則輸出的結果是5．開始開始輸出結束否是0.040.040.020.0104050607080時速頻率組距第4圖第4圖第5圖第5圖6、已知P和Q分別是函數(shù)和函數(shù)上關于直線對稱的兩點，則線段PQ長度的最小值為7、(本題滿分15分)試證明定理：在空間，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。8、(本題滿分15分)△ABC中，BC=10，AB=c，AC=b，∠ABC=θ，，且（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）①試用θ（不含b，c）表示△ABC的面積；②試用b，c（不含θ）表示△ABC的面積；（Ⅲ）求△ABC面積的最大值．9、(本題滿分15分)某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發(fā)建設,陰影部分為一公共設施建設不能開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設施邊界為曲線f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，交曲線切于點P，設OP（Ⅰ）將（O為坐標原點）的面積S表示成的函數(shù)；OP（Ⅱ）若在處，取得最小值，求此時的值及的最小值．10、(本題滿分15分)將曲線繞原點逆時針旋轉得曲線，分別運用中學選修4-2矩陣變換、選修4-4坐標系與參數(shù)方程的知識，求曲線的方程。教學設計（80分）將曲線繞原點逆時針旋轉得曲線，求曲線的方程。評析上題并作拓展（至少闡述三點）（15分）評講上題時需運用高中數(shù)學新課程改革的哪些基本理念？（至少闡述三點）（15分）針對上題設計一節(jié)（或片段）習題講評課的教學設計（不等少于500字）（50分）參考答案基礎知識（30分）1、笛卡爾2、祖暅、兩等高的幾何體若在所有等高處的水平切面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等3、疊加4、數(shù)據(jù)處理5、掌握6、情感、態(tài)度和價值觀二、解題能力（90分）1、2、1