方差分析與多重對比

本文格式為Word版，下載可任意編輯——方差分析與多重對比第六章方差分析

第五章所介紹的t檢驗(yàn)法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會遇到比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問題，即需進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)。這時(shí)，若仍采用t檢驗(yàn)法就不適合了。這是由于：

21、檢驗(yàn)過程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行C5=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著

性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。

2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的確切性和檢驗(yàn)的靈敏性低對同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較

時(shí)，應(yīng)當(dāng)有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差的估計(jì)值。若用t檢驗(yàn)法作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)Sx1?x2，故使得各次比較誤差的估計(jì)不統(tǒng)一，同時(shí)沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計(jì)的確切性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。例如，試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共有30個(gè)觀測值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，每次只能利用兩個(gè)處理共12個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個(gè)試驗(yàn)的30個(gè)觀測值估計(jì)試驗(yàn)誤差，顯然估計(jì)的確切性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢?，在用t檢法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，由于估計(jì)誤差的確切性低，誤差自由度小，使檢驗(yàn)的靈敏性降低，簡單掩蓋差異的顯著性。

3、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯(cuò)誤率大即使利用資料所提供的全部信息估計(jì)了試驗(yàn)誤差，若用

t檢驗(yàn)法進(jìn)行多個(gè)處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，由于沒有考慮相互比較的兩個(gè)平均數(shù)的秩次問題，因而會增大犯I型錯(cuò)誤的概率，降低推斷的可靠性。

由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。

方差分析(analysisofvariance)是由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。這種方法是將k個(gè)處理的觀測值作為一個(gè)整體對待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計(jì)值；通過計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析，它在科學(xué)研究中應(yīng)用十分廣泛。

本章在探討方差分析基本原理的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹單因素試驗(yàn)資料及兩因素試驗(yàn)資料的方差分析法。在此之前，先介紹幾個(gè)常用術(shù)語。

1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測定的

性狀或觀測的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不一致。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。

2、試驗(yàn)因素(experimentalfactor)試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高

豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來考慮。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、?等表示。

3、因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如比

較3個(gè)品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個(gè)品種就是奶牛品種這個(gè)試驗(yàn)因素的3個(gè)水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，?，來表示。如A1、A2、?，B1、B2、?，等。

4、試驗(yàn)處理(treatment)事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡稱處理。在單因素

試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對豬日增

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重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有3×3=9個(gè)水平組合，實(shí)施在試驗(yàn)單位(試驗(yàn)豬)上的具體項(xiàng)目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。

5、試驗(yàn)單位(experimentalunit)在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。在畜禽、

水產(chǎn)試驗(yàn)中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個(gè)動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。

6、重復(fù)(repetition)在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一

處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。

第一節(jié)方差分析的基本原理與步驟

方差分析有好多類型，無論簡單與否，其基本原理與步驟是一致的。本節(jié)結(jié)合單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析介紹其原理與步驟。

一、線性模型與基本假定

假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。

表6-1k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測值的數(shù)據(jù)模式

合計(jì)xi.平均xi.處理觀測值

x1.x1.A1x11x12?x1j?x1n

x2.x2.A2x21x22?x2j?x2n

?????????

xi.xi.Aixi1xi2?xij?xin

?????????Ak合計(jì)

xk1

xk2

?

xkj

?

xkn

xk.x..

nxk.

x..

表中xij表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測值（i=1,2,?,k；j=1,2,?,n）；xi.??xij表示第i個(gè)處理n個(gè)觀測值

j?1的和；x..???xij??xi.表示全部觀測值的總和；xi.??xij/n?xi./n表示第

i?1j?1i?1j?1knkni個(gè)處理的平均數(shù)；

x..???xij/kn?x../kn表示全部觀測值的總平均數(shù)；xij可以分解為

i?1j?1knxij??i??ij(6-1)

?i表示第i個(gè)處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將?i再進(jìn)行分解，令

1??k??i(6-2)

i?1k?i??i??(6-3)

則

xij????i??ij(6-4)

其中μ表示全試驗(yàn)觀測值總體的平均數(shù)，?i是第i個(gè)處理的效應(yīng)（treatmenteffects）表示處理i對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)

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生的影響。顯然有

??i?1ki?0(6-5)

ε

ij

是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且聽從正態(tài)分布N（0，σ）。

ij之和。由ε

2

（6-4）式叫做單因素試驗(yàn)的線性模型（linearmodel）亦稱數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)模型中xij表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)αi、試驗(yàn)誤差ε

ij

相互獨(dú)立且聽從正態(tài)分布N（0，σ），可知各處理Ai(i=1，2，?，k)

2

2

2

所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即聽從正態(tài)分布N(μi,σ)。盡管各總體的均數(shù)?i可以不等或相等，σ則必需是相等的。所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity）。這也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提或基本假定。

若將表（6-1）中的觀測值xij（i=1,2,?,k;j=1,2,?,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號來表示，則

xij?x..?(xi.?x..)?(xij?xi.)?x..?ti?eij(6-6)

與（6-4）式比較可知，x..、(xi.?x..)?ti、(xij?xi.)?eij分別是μ、（μi-μ）=?i、（xij-?i）=?ij的估計(jì)值。

（6-4）、（6-6）兩式告訴我們：每個(gè)觀測值都包含處理效應(yīng)（μi-μ或xi.?x..），與誤差(xij??i或xij?xi.)，故kn個(gè)觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。

二、平方和與自由度的剖分

我們知道，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都可以用來度量樣本的變異程度。由于方差在統(tǒng)計(jì)分析上有大量優(yōu)點(diǎn)，而且不用開方，所以在方差分析中是用樣本方差即均方（meansquares）來度量資料的變異程度的。表6-1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。但這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實(shí)現(xiàn)的。

（一）總平方和的剖分在表6-1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)x..的離均差平方和，記為SST。即

SST???(xij?x..)2i?1j?1kn

由于

??(xi?1j?1knknij?x..)???(xi.?x..)?(xij?xi.)2i?1j?12ikn??2????(x.?x..)i?1j?1k2i?1?2(xi.?x..)(xij?xi.)?(xij?xi.)2knkn?

?n?(xi.?x..)?2?[(xi.?x..)?(xij?xi.)]???(xij?xi.)2i?1j?1i?1j?1其中?(xij?xi.)?0

j?1knkknn所以??(xij?x..)?n?(xi.?x..)???(xij?xi.)2（6-7）

22i?1j?1i?1i?1j?177

（6-7）式中，n?(xi.?x..)2為各處理平均數(shù)xi.與總平均數(shù)x..的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映

i?1kk了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即

SSt?n?(xi.?x..)2

i?1(6-7)式中，??(xij?xi.)2為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平

i?1j?1kn方和或誤差平方和，記為SSe，即

SSe???(xij?xi.)2

i?1j?1kn于是有

SST=SSt+SSe（6-8）

(6-7)，（6-8）兩式是單因素試驗(yàn)結(jié)果總平方和、處理間平方和、處理內(nèi)平方和的關(guān)系式。這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡便計(jì)算公式如下：

2SST???xij?Ci?1j?1kknSSt?1xi2.?C?ni?1(6-9)

SSe?SST?SSt

其中，C=x2··/kn稱為矯正數(shù)。

（二）總自由度的剖分在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測值要受??(xij?x..)?0這一條件

i?1j?1kn的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個(gè)數(shù)減一，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。

在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)xi.要受?(xi.?x..)?0這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減

i?1k一，即k-1。處理間自由度記為dft，即dft=k-1。

在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受k個(gè)條件的約束，即

?(xj?1nij。故處理內(nèi)自由度為資?xi.)?0（i=1,2,?,k）

料中觀測值的總個(gè)數(shù)減k，即kn-k。處理內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。

由于

nk?1?(k?1)?(nk?k)?(k?1)?k(n?1)

所以

dfT?dft?dfe(6-10)

綜合以上各式得：

dfT?kn?1dft?k?1dfe?dfT?dft78

(6-11)

2各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為（MST或ST）、MSt

2（或St2）和MSe（或Se）。即

22MST?ST?SST/dfTMSt?St2?SSt/dftMSe?Se?SSe/dfe（6-12）

總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。

某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同協(xié)同飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本一致的魚20尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。

表6-2飼喂不同飼料的魚的增重（單位：10g）

飼料A1A2A3A4合計(jì)

31.924.822.127.0

魚的增重（xij）27.931.828.425.726.827.923.627.324.930.829.024.5

35.9

26.225.828.5

合計(jì)xi.平均xi.155.931.18131.426.28123.724.74139.827.96x..=550.8

這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下：

2矯正數(shù)C?x../nk?550.82/(4?5)?15169.03

2總平方和SST???xijl?C?31.92?27.92???28.52?C

?15368.7?15169.03?199.67