高等代數(shù)行列式計(jì)算方法

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第2章n級(jí)行列式的計(jì)算方法

2.1定義法

對(duì)于含非零元素較少的行列式，用定義計(jì)算十分便利。由定義可知，

(?1)r(j1j2jn)n級(jí)行列式共有n!項(xiàng)，每一項(xiàng)的一般形式為

anjn,若每一項(xiàng)n個(gè)元素的乘積中有零因子，則該

a1j1a2j2項(xiàng)的值為零。若零元素較多，則值為零的項(xiàng)就越多，此時(shí)找出那些不為零的項(xiàng)就可求出行列式的值。

例1計(jì)算n級(jí)行列式

00D?0n?10n00000000000120

2.2利用行列式的性質(zhì)

例2計(jì)算n級(jí)行列式

D?x1?y1x2?y1xn?y1x1?y2x2?y2xn?y2x1?ynx2?ynxn?yn.

解當(dāng)n?1時(shí)，D?x1?y1；

..

.

當(dāng)n?2時(shí)，D?(x1?x2)(y1?y2)；

當(dāng)n?3時(shí)，把第一行的?1倍分別加到第i行，i?2,3,行列式的值不變，得

,n,D?x1?y1x2?x1xn?x1x1?y2x2?x1xn?x1x1?ynx2?x1xn?x1?0

綜上可得

?x1?y1(n?1)?D??(x1?x2)(y1?y2)(n?2)

?0(n?3)?2.3三角化法

由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主對(duì)角線上的元素的積。故可利用行列式的性質(zhì)，采用“化零〞的方法。充分利用行列式中元素間具有某些特點(diǎn)及行列式性質(zhì)，化為三角形行列式。

例4計(jì)算n級(jí)行列式

..

.

xbbxbbbb解第2，3，.Dn?bbxbbbbx

這行列式的特點(diǎn)是每行和相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把，n列加到第1列上，行列式不變，得

x?(n?1)bbbbx?(n?1)bxbbD?x?(n?1)bbxb

x?(n?1)bbbx1bbb1xbb??x?(n?1)b?1bxb

1bbx1bbb0x?b00??x?(n?1)b?00x?b0

000x?b.

.

?[x?(n?1)b](x?b)n?1

例5計(jì)算n級(jí)行列式

解.xa1a2an?1a1xa2an?1Dn?a1a2xan?1a1a2a3x將其他各列全部加到第一列，可得

n?1x??aia1a2an?1i?1n?1x??aixa2an?1i?1?n?1

x??aia2xan?1i?1

n?1x??aia2a3xi?11a1a2an?1n?11xa2an?1?(x??ai)1a2xan?1i?1

1a2a3x.

.

1a10x?a1n?1?(x??ai)0a2?a1i?1a20x?a2an?100x?an?1

0a2?a1a3?a2?(x??ai)?(x?ai)

i?1i?1n?1n?12.4升級(jí)法

行列式的計(jì)算中尋常是級(jí)數(shù)越低越簡(jiǎn)單計(jì)算，但有些行列式適當(dāng)?shù)厣咭患?jí)反而簡(jiǎn)單求其值，這種方法稱為升級(jí)法（也稱加邊法），加上適當(dāng)?shù)男辛泻罂梢院?jiǎn)化問(wèn)題。

例6計(jì)算n級(jí)行列式

a?1aDn?aa1a?2aaa1a?3aaaa.

a解