江蘇省南通市天星湖2023年高三考前熱身數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在A4BC中，角A、8、C的對邊分別為。、匕、c,若”=i,c=26,bsinA=asin]B),貝！|sinC=()

771219

2.秦九韶是我國南寧時期的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入〃、

x的值分別為3、1,則輸出"的值為()

A.7B.8C.9D.10

3.函數/*)=以+，在(2,+8)上單調遞增，則實數。的取值范圍是()

X

111

A.—,+00-.4-00c.ll,+oo)—00,—

444

222

X.1Yy2

4.設雙曲線I1（6Z>0,b>0）的一條漸近線與拋物線>=1+彳有且只有一個公共點，且橢圓+十1

a3a

的焦距為2,則雙曲線的標準方程為（)

2929

B.匕-三=1C.二-匯=1D/爐-1

432332

5,若函數=有兩個極值點，則實數。的取值范圍是（）

A?同B.C.(1,2)

1o

6.已知正項等比數列｛4｝滿足%=2%+3%,若存在兩項工,,%,使得則一+一的最小值為（）.

mn

28

A.16B.TC.5D.4

7.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結果y=2,則輸入的x值為（）

A.3

C.3或一3D.3或-2

8.已知函數/(x)=sin(2x+o),其中夕w(O,g,若VxeR,f(x)W/恒成立，則函數/（x）的單調遞增區(qū)

間為（）

兀一女-

k7r--,k7r+—(k€z)kN-,kjr+(kGz)

3633

,7C.2萬

k/CH-----,K71H--------(k€z)D.kjr,kK+—(keZ)

33

9.已知點工為雙曲線。：=一2_=1(。〉0)的右焦點，直線丫=船與雙曲線交于A,8兩點，若NAF,B=——,則

a43

的面積為()

A.272B.25/3C.472D.4百

10.函數/'(x)=2cos?x+(sinx+cosx)2-2的一個單調遞增區(qū)間是()

7171713乃7i57r

A.~~-7B.C.

4488J88

11.已知同=3忖=3,且(2〃一方)，(萬+45),則25-萬在萬方向上的投影為()

720

A.-B.14C.—D.7

33

12.已知函數/(x)=f—2x,集合A={x"(x)<0},B={x|/(x)<0},則AC|6=()

A.[-l,0JB.[-1,2]

C.[0,1]D.(F,1]D[2,+OO)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線C4、CB圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū)ACB.為了便于管理，在線段

AB之間有一觀察站點M，M到直線BC,C4的距離分別為8百米、1百米，則觀察點“到點A、B距離之和的

最小值為百米,

I...............

3x-y-2>0

14.若實數x,y滿足約束條件+>—2<0,則z=x+2y的最大值為.

x+4y+4>0

2222

15.已知橢圓C：=+3=l(a>b>0)與雙曲線一馬=1(〃?>0,〃>0)有相同的焦點6、F”其中￡為左

abmn~

焦點.點P為兩曲線在第一象限的交點，，、02分別為曲線G、。2的離心率，若APKE是以為底邊的等腰三角

形，則2的取值范圍為.

-oo4x+2y

16.設為正實數，若+/+孫=1則］2「＜，的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數列｛4｝的各項均為正數，S”為其前〃項和，對于任意的〃eN*滿足關系式2s“=34-3.

（1）求數列｛q｝的通項公式；

（2）設數列的通項公式是d=bgq【ogJ，前〃項和為刀,，求證：對于任意的正數"，總有（.

V-22

18.（12分）設點6（—c,0），K（c,0）分別是橢圓。：=+匕v=1（?！?）的左，右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

a4

所?質的最小值為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，直線/:x=5與x軸交于點E，過點尸2且斜率左。（）的直線4與橢圓交于A,8兩點，M為線段E6的中

點，直線AM交直線/于點N,證明：直線BNLI.

jr1-rr

19.（12分）已知/（x）=Asin（@x+。）（A＞0,0＜。＜4,解＜一））過點（0,—），且當x=一時，函數取得最

226

大值1.

（1）將函數/（X）的圖象向右平移?個單位得到函數g（x）,求函數g（x）的表達式；

6

（2）在⑴的條件下，函數/2（x）=/（x）+g（x）+2cos2x—l,求〃（X）在［0,萬］上的值域.

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AA］=\,AC=y/3,點。，E分別為AC和的中點.

(I)棱A4上是否存在點p使得平面PB。，平面AM?若存在，寫出的長并證明你的結論；若不存在，請說

明理由.

(U)求二面角A—BE-。的余弦值.

21.(12分)如圖，在正四棱柱A8CD-A田中，已知AB=1,8片=2.

(1)求異面直線4C與直線所成的角的大小;

(2)求點C到平面4月，的距離.

22.(10分)設數列｛4｝的前列項和為S”,已知％=1,an=”一(〃>2).

L+an-\

(1)求數列｛4｝的通項公式；

3111

(2)求證：------<S<一?

2T"6

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得tanB=走，可得出B=f,然后利用余弦定理求出匕的值，最后利用

36

正弦定理可求出sinC的值.

【詳解】

bsinA=asin但-81=-acosB--asinB,

I3J22

即sinAsinB=^-sin/Icosfi--sinAsinB,即3sinAsinB=/sinAcosA)

22

兀

?：sinA>0,3sin8=GcosB，得tanB=^^，\'0<B<7r>-.

36

由余弦定理得/?=J.2+<2-2accosB=Jl+12—2xlx2gx^^=V7，

由正弦定理一^二上，因此，csin8_2石、2_舊?

故選：B.

【點睛】

本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運

算求解能力，屬于中等題.

2.B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的P值.

【詳解】

由題意可得：輸入〃=3,x=l,v-2>m—3；

第一次循環(huán)，v=2xl+3=5,m=3-l=2,〃=3—1=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)，u=5xl+2=7,m=2-l=l,n=2-l=l,繼續(xù)循環(huán)；

第三次循環(huán)，u=7xl+l=8,m—1—1—0>"=1—1=0,跳出循環(huán)；

輸出u=8.

故選：B.

【點睛】

本題考查根據算法框圖計算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計算能力，屬于基礎題.

3.B

【解析】

對。分類討論，當440,函數f(x)在(0,+O單調遞減，當?！?,根據對勾函數的性質，求出單調遞增區(qū)間，即可

求解.

【詳解】

當時，函數/(幻=以+,在(2,+8)上單調遞減，

x

1)

所以a>0,/(x)=ax+，的遞增區(qū)間是—^=■,+00,

X7a>

所以2N白，即

故選:B.

【點睛】

本題考查函數單調性，熟練掌握簡單初等函數性質是解題關鍵，屬于基礎題.

4.B

【解析】

設雙曲線的漸近線方程為y=匕，與拋物線方程聯立，利用△=(),求出女的值，得到q的值，求出。力關系，進而判

b

斷出。大小，結合橢圓一+9=1的焦距為2,即可求出結論.

【詳解】

設雙曲線的漸近線方程為y=丘，

代入拋物線方程得f—丘+]=o,

.42

依題意△=《_3=0，女=±方，

35/3

bg6

r22_____

???橢圓會十方=1的焦距2ja2_/2=2,

—b2—b2=-b2=l,/72=3,4=4,

33

22

雙曲線的標準方程為匕-土=1.

43

故選:B.

【點睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.

5.A

【解析】

試題分析：由題意得了'(x)=lnx+l-2ox=0有兩個不相等的實數根，所以-2a=0必有解，則?！?,

考點：利用導數研究函數極值點

【方法點睛】函數極值問題的常見類型及解題策略

(1)知圖判斷函數極值的情況.先找導數為0的點，再判斷導數為。的點的左、右兩側的導數符號.

(2)已知函數求極值.求f(x)一一＞求方程「(x)=0的根一一＞列表檢驗f(x)在f(x)=0的根的附近兩側的符

號一＞下結論.

(3)已知極值求參數.若函數f(x)在點(xo,yo)處取得極值，則F(xo)=0,且在該點左、右兩側的導數值符號

相反.

6.D

【解析】

由%=2%+3%，可得4=3,由=9。；，可得根+〃=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【詳解】

2

設等比數列公比為4①＞()),由已知，a5q=2a5q+3a5,即r=2夕+3,

解得4=3或4=—1(舍)，又a,“?a“=9a3所以q3"Z=9a：,

即3〃什〃一2=32,故加+〃=4,所以一1+=9=1(1一+9一)(m+〃)=1(10+一n+9"m)

mn4mn4mn

＞-(10+279)=4,當且僅當機=1,〃=3時，等號成立.

4

故選：D.

【點睛】

本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數列的知識，是一道中檔題.

7.D

【解析】

根據逆運算，倒推回求X的值，根據X的范圍取舍即可得選項.

【詳解】

因為y=2,所以當3城=2,解得x=3>0,所以3是輸入的X的值;

當2-1=2時，解得％=-2<0,所以一2是輸入的X的值,

所以輸入的X的值為-2或3,

故選：D.

【點睛】

本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結果反求輸入的值，屬于基礎題.

8.A

【解析】

Vx€/?,/(%)<f\^\TC弓71，/(x)=sinf2x+^-j,再解不等式

=>=1,從而可得夕=

<66

2k兀-Q<2x+—<2k?i+—(kez)即可.

【詳解】

兀

由已知，/(幻皿s‘n(f+/1

~6

sin［夕+"7t=±1,好(0,引，所以夕兀

36

/(x)=sin2x+—,由2攵%<2x+—<IknH■—(%ez),

k6J262

71n

解得，k兀<x<k/c+—{kez).

36

故選：A.

【點睛】

本題考查求正弦型函數的單調區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

9.D

【解析】

設雙曲線C的左焦點為耳，連接A片，8耳，由對稱性可知四邊形4耳8居是平行四邊形，

設|*|=小|華卜小得4c2=42+22一2格以拈0,求出住的值，即得解.

【詳解】

設雙曲線C的左焦點為毋，連接

由對稱性可知四邊形是平行四邊形，

TT

所以尸2=S4AF2B，=-?

cos=r+rrr

設|A6|=/,|”|=弓，貝（J4c2=+r^-2r{r2-|-\2-\2>

又卜一目=2?.故qq=4〃=]6,

所以S^MF,=」4Qsin工=4G.

△MFIr2c14Q

故選：D

【點睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平.

10.D

【解析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡/（X）表達式，再根據三角函數單調區(qū)間的求法，求

得了（X）的單調區(qū)間，由此確定正確選項.

【詳解】

因為/（尤）=2cos2x+（sinx+cosx）2-2

=l+cos2jc+l+sin2x-2=>/2sin|2JC+—I,由/（x）單調遞增，則2Z乃-工<2x+工W2人;r+工（ZeZ）,解得

k4J242

7T

k7r-^-<x<k7r+^（左eZ）,當％=1時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A,B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.

OO

故選：D

【點睛】

本小題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合

思想，應用意識.

11.C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出￡不，再由投影的定義計算.

【詳解】

由(2〃一b)±(a+4b)

可得(2M—方)?(萬+45)=2萬2+7萬石―452=0,因為|〃|=3出|=3,所以展B=—2.故2萬—5在。方向上的投影

^(2a-b)-a2a2-ah18+220

為--------=--------=----=—.

|a|\a\33

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的數量積與投影.掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵.

12.C

【解析】

分別求解不等式得到集合A,B，再利用集合的交集定義求解即可.

【詳解】

A={X|X2—2XW0}={X|04X42},8={X|2X-2W0}={X|XW1},

二AnB={x|04Wl}.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了集合的基本運算，難度容易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.575

【解析】

建系，將直線A8用方程表示出來，再用參數表示出線段A3的長度，最后利用導數來求函數最小值.

【詳解】

以。為原點，CA,CB所在直線分別作為蒼)，軸，建立平面直角坐標系，則例(8,1).設直線—l=々(x—8),即

(1、

y=kx+l-Sk9則4一——,0,B(0,l-8^),

1—8攵八

------->0

所以Jk,所以k<0,

1—8Z〉0

舫2=(-皇)+(1_弘)2=/(依伏<0),

則/⑹=(1—8Z)2(l+g](Z<0),

貝!|/'(6=2(1-8k)X(-8)X[1+3]+(1-8幻2X(-2)xj

-2(1-8Q(8公+1)-2(1—8幻(24+1)(4/—24+1)

---------------------------------------------------,

k3左3

當XG(-oo,-g)時，/,(x)<0,則/(X)單調遞減，當xe1一：,0)時，r(x)>0,則/*)單調遞增,

所以當％=時，最短，此時AB=5有.

故答案為：575

【點睛】

本題考查導數的實際應用，屬于中檔題.

14.3

【解析】

作出可行域，可得當直線z=x+2y經過點A(l,l)時,z取得最大值，求解即可.

【詳解】

作出可行域(如下圖陰影部分)，聯立[，一'二可求得點

[%+y-2=0

當直線z=x+2y經過點A(l,l)時,ZE”=l+2xl=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃，考查數形結合的數學思想，屬于基礎題.

15.停+8)

【解析】

設|/肉|=M由橢圓和雙曲線的定義得到s=a+m,t=a-m,根據AP耳工是以2耳為底邊的等腰

三角形，得到t=a-m=2c,從而有，-'=2,根據《2>1，得到!<弓<1,再利用導數法求

043

2e2

y^e-e=2e-e,=,：的范圍.

2x2

l-2et

【詳解】

?〔=s,|%|=3

由橢圓的定義得s+t=2a,

由雙曲線的定義得s—r=2m,

所以s=a+m,t=a-m,

因為kPF島是以PF｝為底邊的等腰三角形，

所以歸用=|典=2c,

即t=a-m=2c，

因為弓=-,^2=J,

am

所以-■一■-=2,

6%

因為《2>1,所以0〈一<1,

所以一=2H----<3,

號%

即1<G<1，

31

而=2,?6]=

，4q（l—e）

>0

因為廣三不9

所以y在仁，“上遞增，

…2

所以y>§.

故答案為：

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

16.（0,g

6

【解析】

根據4/+y?+呼=],可得4x?+;/=1一孫，進而（2x+y1=1+3盯=1+』2犯41+3^x+>},有

22、2）

8工4x+2.y_2（2x+y）_2（2x+y）_2（2x+y）區(qū)

（A+y）2（1?+11孫+5y25（4/+/）+]]孫5+6xy2（2x+y）2+3*x+y—f€（必],

得到了“）=〒有，再用導數法求解，

【詳解】

因為4/+y2+xy=l,

所以4/+/=1一孫,

2

所以（2x+?=1+3肛=1+52孫41+，2”+）

I2

,?

所以（2x+y）Yg,

、4x+2y_2（2x+y）_2（2x+y）_2（2x+y）

所以20x2+11^+5,25（4尤2+,2）+]]盯5+6盯2（2x+?+3

令2x+y=tw（0,?,=

V。乙I十D

-4一+6

所以/'（,）=

（2r+3）2

當0</<J|時，r（r）>0,當

時，r（，）<o

所以當t=g時,取得最大值的,

故答案為：（0,遠］

6

【點睛】

本題主要考查基本不等式的應用和導數法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題,

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）?！?3"（2）證明見解析

【解析】

（1）根據公式4,=S,,-S,T得到an=3a?_1（H>2）,計算得到答案.

（2）b?=\\---二］,根據裂項求和法計算得到7；=：卜+!-一1一一二］,得到證明.

2\nn+2J2\2n+\n+2）

【詳解】

⑴由已知得（〃22）時，2（Sn-Sn_i）=3an-3an_l,故q=3%-（〃22）.

故數列｛4｝為等比數列，且公比4=3.

又當〃=1時，2q=34-3,，4=3.，4=3".

log3??-log3an+2〃(“+2)2n〃+2

I,=4+4+.?.+"=1——+???+

3(35n〃+2

3

<,

2〃+1〃+24

【點睛】

本題考查了數列通項公式和證明數列不等式，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.

22

18.(1)—+^-=1(2)見解析

54

【解析】

(1)設P0,y),求出?%后由二次函數知識得最小值，從而得a,即得橢圓方程；

(2)設直線4的方程為y=左(％-1),%。0,代入橢圓方程整理，設A(XI,y),B(X2，%)，由韋達定理得

女T，設N(5,y°),利用A,M,N三點共線，求得用=看,

%—3

然后驗證為一>2=。即可.

【詳解】

解：(1)設P(x,y),貝!J所=(—c—x,—y),P后=(c—x,—y),

所以西?麗=/+丫2一02=^￡^1/+4一。2,

a

因為。>2,x￡[-a,a].

所以當x=0時，聲耳?質值最小,

所以4一/=3,解得。=1,(舍負)

所以/=5,

22

所以橢圓C的方程為二+二=1,

54

(2)設直線4的方程為y=z(x—1),攵。0,

y=k(x-l),

22

聯立xv,得(4+522?2一］022%+5后2-20=0.

—+—=1,

I54

10Z:25我2-20

設A。,％),5(%,%)，則%+巧=

4+5/-4+5/

設N(5,%),因為AM,N三點共線，又M(3,0)

所以言=￡'解得先=言.

X10—〃…—5k

2

而2y2k(xt-1)3k(xt+x2)-kxtx2-5k4+5k4+5/=0所以

%—3王一3

直線BN//x軸，即BNLL

【點睛】

本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題，采取設而不求思想，設4(占,多),8(々,月)，

設直線方程，應用韋達定理，得出入1+%2，%%2,再代入題中需要計算可證明的式子參與化簡變形.

JI

19.⑴g(x)=sin(2x——)；⑵—⑵.

6

【解析】

試題分析:

(1)由題意可得函數f(x)的解析式為“X)=sin\2x+^\,則g(x)=/7T

X----=--21一？

⑵整理函數h(x)的解析式可得：〃(x)=2s%(2x+，結合函數的定義域可得函數的值域為[-1,2].

試題解析:

得5山敢=(,網

⑴由函數/(外取得最大值1,可得A=1,函數過

7兀1I兀

/7|=1=70+*7=工+2火4,％GZ,V0<69<4>：?(0=2

(6662

71

〃x)=sin2x+—，g(x)=/X----=--呵2嶗.

I66

〃(x)=y/3sin2x+cos2x=2sin12x+?J,

x0,—,—42xH—4—,—<sin2x—|W1,

G2J6662IH6)

-\<2sin^2x+^\<2,值域為[-1,2].

311

20.(I)存在點P滿足題意，且幺=2,證明詳見解析；(H)—.

419

【解析】

(I)可考慮采用補形法，取AG的中點為口，連接所，AF,DF,可結合等腰三角形性質和線面垂直性質，先證

30,平面ACG，即80,A尸，若能證明Ab_LPD,則可得證，可通過H△皿)sR/ZSADF我們反推出點P對

應位置應在承==處，進而得證；

4

(H)采用建系法，以。為坐標原點，以DB,DC,OF分別為X，，z軸建立空間直角坐標系，分別求出兩平面對應

法向量，再結合向量夾角公式即可求解；

【詳解】

3

(I)存在點P滿足題意，且以=；

4

證明如下：

取AG的中點為F，連接班"，AF,DF.

則即〃A4〃AB,所以AFu平面AM.

因為A8=8C,。是AC的中點，所以BO_LAC.

在直三棱柱A5C—4月G中，平面ABC_L平面ACC；,且交線為AC,

所以5。，平面ACG，所以_LA尸.

在平面ACG內，—,NPAD=ZADF=90°,

ADDF2

斫以Rt&ADsRtAADF,從而可得

又因為PDcBD=D,所以平面P8D.

因為AFu平面ME,所以平面平面ABE.

4

(II)如圖所示，以O為坐標原點，以DB,DC,。尸分別為X，VZ軸建立空間直角坐標系.

易知。(0,0,0),嗚，0，。)，A(o,q,o),E咨,1

所以而=_；,曰,0,福=(；,冬),麗=生0,0).

設平面A3E的法向量為而=(x,y,z),則有

m-BE=-?-XH——y+z=0,

44取y=2,得碗=(-26,2,-6).

m-AB=—XH——-y=0.

22

同理可求得平面BDE的法向量為＞=(0,4,-6).

__m-n8+311

則cosm.n=?-n—r=~/=—.

|m||n|Vf12+4+3-V16+319

由圖可知二面角A—BE-O為銳角，所以其余弦值為

【點睛】

本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題

/1、5/30/、4

21.(1)arccos-----；(2)一?

103

【解析】

(1)建立空間坐標系，通過求向量錄與向量碼的夾角，轉化為異面直線4c與直線所成的角的大小；(2)

先求出面A旦R的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可.

【詳解】

以4為原點，44，4AA所在直線分