函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題專(zhuān)練答案(二)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題專(zhuān)練（二）答案

1\-x

1、解：(1)當(dāng)〃=?1時(shí)，/(x)=-x+lnx,f(x)=-l+-=——................................1分

XX

當(dāng)04V1時(shí)，ff(x)>0；當(dāng)41時(shí),f!(x)<0.

.V(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)........3分

/Wmax寸(1)=-1........................................................................................4分

,1■,1「11八

(2).f(x)=a+—，xG(0,e],—e—,+°°................................................5分

xxe)

①若則/（x）20,從而危）在（0,e］上增函數(shù)

e

:./（x）max寸《）=〃e+120.不合題意..........................6分

②若ci<—,則由/'（父）>0nci-\—>0,即0<v<—

exa

由—<0,即---

xa

從而凡丫）在（o,—）上增函數(shù)，在（—為減函數(shù)

x=

f（\mxf-一卜"出H...........................................................8分

令-l+ln(-----)=-3,貝ljln(-----J=-2

—=e~2,即a=—e~2.V—e~2<—,a=—e2為所求..........9分

ae

(3)由(I)知當(dāng)〃=?1時(shí)111ax>⑴=?L

???/G)|21............................................................................................10分

又令g(x)=史二+',g'(%)=--"'，令g'(x)=0,得x=e,

x2x

f

當(dāng)Ovxve時(shí)，g(x)>O,g(x)在(0⑶單調(diào)遞增；

當(dāng)Qe時(shí),g'(x)<0,g(x)在(e,+8)單調(diào)遞減....................11分

???g(x)max=g(6)=???g(x)vl...........................................12分

e2

(x)|>g(x),即府)|>—+^-.............................13分

x2

方程/(x)|=@二沒(méi)有實(shí)數(shù)解............................14分

x2

2、（1）函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間標(biāo)一1一1,+8）,單調(diào)減區(qū)間（一1,6一|一1）

（2）k的最大值為3。

3、解：

/(x)的定義域?yàn)?0,+oo).....1分

/”)=l+lnx.....3分

令/(X)>o,解得x>-,4/u)<o,解得oa<-

ee

從而f(x)在(0,)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增....5分

ee

所以，當(dāng)x=!時(shí)，“X)取得最小值I.…6分

ee

(2)解：令g(x)=f(x)-(axT),

則g=-a+lnx

若aWl,當(dāng)xNl時(shí),g'(x)=l-a+lnx>0

故g(x)在(l,+8)上為增函數(shù)，

所以xNl時(shí)，g(x)>g(l)=l-a>0,即f(x)2axT.......10分

若a>l時(shí)，方程g'(x)=0的根為x0=e"T

此時(shí)，若xe(l,Xo)時(shí)，g(x)<g(l)=l-a<0,BPf(x)<ax-l

與題設(shè)f(x)2ax-1相矛盾.....11分

綜上,滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是(-co,1].....12分

m{x2+〃)-21nx°_-mx2+mn

4、解：(1)f'(x)2分

(X2+〃>，+〃)2

mn-m

=0

(l+?)2

由/(x)在x=l處取到極值2,故(1)=0,/⑴=2即<

m

2

、1+n

4Y

解得“2=4,〃=1,經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)/(x)在x=l處取得極值.故/(x)=一一……5分

x+1

(2)由(1)知r(x)J(l-,故/(x)在(±1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞

(x+1)2

減，由/(1)=2,/(2)=/(；)=|,故/(X)的值域?yàn)閇|,2]....................7分

依題意g'(x)=〃一1，記M,vx€A/<e2

xeex

(i)當(dāng)一時(shí),g\x)<0,g(x)在M上單調(diào)遞減,

Q1

依題意由《g(e)〈一，得04Q<一,8分

5e

gd)?2

e

(仃)當(dāng),<〃工02時(shí)，-當(dāng)xw(：」)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)(±e)時(shí)，g(x)>0

eaeeaa

12

-<a<e-<a<e2

ee

Q113

依題意得：jg(e)<《或<g(e)>2,解得一<〃<一,10分

e5e

>2g(f<|

(iii)當(dāng)。時(shí)，1<_L,此時(shí)g(x)>0,g(x)在M上單調(diào)遞增依題意得

ae

2

a>e2a>e~

g(e)>2即《￡>0-1>2此不等式組無(wú)解11分.

<8ac,8

產(chǎn)5

5

13

綜上，所求〃取值范圍為工工14分

5e

5、解:(I)因?yàn)?'(尤)=()-3x+3)?e"+(2x-3)?e*=x(x-l)e”.......2分

由/'(x)〉0nx〉IgJu<0；由fr(x)<0=>0<x<l,所以/(x)在

(-8,0),(1,+8)上遞增,在(0,1)上遞減……4分

要使/(x)在［-2"］上為單調(diào)函數(shù),則-2<fW0……6分

(Ill)證；因?yàn)楫?dāng)6=%2_々，所以/逐=4—1)2,即為麗2一麗=…7分

e0e33

令g(x)=--X-1(-1)2,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=/_X-1(￡-1)2=0在(-2,0

上有解,并討論解的個(gè)數(shù)……8分

2991

因?yàn)間(-2)=6-j(Z-l)2=-|(/+2)(￡-4),=以=]?+2)(/-1),所以

①當(dāng)f>4或-2<f<l時(shí)，g(-2)送0)<0,所以g(x)=0在(-2/)上有解，且

只有一解...9分

②當(dāng)1</<4時(shí)，g(—2)>0且g?)〉0,但由于g(0)=—§(r—l)2<0,

所以g(x)=0在(―2/)上有解,且有兩解...10分

③當(dāng)t=1口寸，g(x)=『-x=0nx=0或x=1,所以g(x)=0在(一2j)上有且只

有一解；

當(dāng)f=4時(shí)，g(x)=￡-x-6=0=x=-2或x=3,

所以g(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解……12分

2

綜上所述，對(duì)于任意的r>-2,總存在x。€(-2,r),滿(mǎn)足工契=~(r~l),

e"3

且當(dāng)，24或-2<，W1時(shí),有唯一的毛適合題意；當(dāng)l<f<4時(shí),有兩個(gè)毛適合

題意.……14分

(說(shuō)明：第(II)題也可以令夕(幻=/—x,xe(-21),然后分情況證明

在其值域內(nèi)，并討論直線(xiàn)y=與函數(shù)夕(外的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到

相應(yīng)的X。的個(gè)數(shù))

6、(I)定義域(0,+8),/'(x)=匕竺.........1分

X

當(dāng)。>0時(shí),xe(0一)/'(x)>0；xe[-,+?=),//(x)<0,

aa

當(dāng)a<0時(shí),xG(0,+oo)/(x)>0

所以當(dāng)a>0時(shí),/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0一),減區(qū)間為(L+8)；

aa

當(dāng)。<0時(shí),/(x)的單增區(qū)間為(0,+8),無(wú)減區(qū)間..........5分

(II)g(x)=x3+(—+-x,g\x)=3x2+(/n+2tz)x-1.........7分

???函數(shù)8。)在區(qū)間(凡3)上有最值,???函數(shù)8(%)在區(qū)間(凡3)上不單調(diào)/(0)=-1<0

g(〃)<03a2+(m+2a)a-1<0

〈，即,對(duì)任意的［1,2］恒成立,10分

g(3)>0+6〃+26>0

即機(jī)<公一5。對(duì)任意的。e口,2］恒成立，得一必<〃?<--..........12分

3m+64+26>032

7、略

8、(I)當(dāng)a=0時(shí)，y-f(x)在〃處的切線(xiàn)方程為y=-x+e

(II)當(dāng)aWO時(shí)，在(0,1)上遞增，(1,一)上遞減

當(dāng)0<a<，時(shí)，/(x)在(0,1)和1二-,+8)上遞增，在上遞減

2\2a)\2a)

當(dāng)時(shí)，/(x)在(0,+8)上遞增

當(dāng)時(shí),在仿，)和(I,2)上遞增,在上遞減

2I2〃J\2a)

9、(D"l月1-1尸0(II)"X)是奇函數(shù)。

10、略

,.e*「J-(q+2)x+2a]ex(x—a](x—2)

ii、解：⑴/(x)=-~/------=—4~r~

fx2—ax+a^(x2—ax+a^

pxe"(x—2)

當(dāng)Q=0時(shí)，/(%)=—,/(x)=———...,故/(x)在區(qū)間(一8,0),(2,+8)上單調(diào)

XX

遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=4時(shí)，/(x)=------J-,f\x}=~~—三，故“X)在區(qū)間(—8,2),(4,+8)上

(x—2)(x-2)

單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減；?M

當(dāng)0<a<4時(shí)，恒有/-ax+acO,

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，”可在卜叫“），（2,+8）上單調(diào)遞增，在伍,2）上單調(diào)遞減:

當(dāng)a=2時(shí)，/（工）在區(qū)間（一8,+8）上單調(diào)遞增

當(dāng)2＜。＜4時(shí)，/（x）在（―嗎2）,（a,+o。）上單調(diào)遞增，在（2,a）上單調(diào)遞減;

⑵人）一出心?。┮?（,）=（1）〃》（1）川）=智?當(dāng)

解法一：設(shè)函數(shù)g（x）=?￥=/（：］）即g（x）2g⑺在（1用上恒成立。即g（f）為

ex（x2-4x+2）

g（x）的最小值。g'（x）=--------—,

X（x-1）

故g（X）在區(qū)間（1,2+V2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2+V2,+oo）單調(diào)遞增。

故芯2+VL1=2+后

解法二：I號(hào)-咨即（X，/（X》與點(diǎn)（1，0）連線(xiàn)斜率的最小值在X=f時(shí)取到。設(shè)fa=，

則衛(wèi)!=/，?),即

e'0/_今+2=0=/=2±0,

f-1''f”T)

又，>1,故￡=2+V2

12、解：(I)F(x)=/(x)+g(x)=lnx+—(x>0)

x

a

L”、1大一&/八、、八

F(x)=------=——(x>0)..................1分

XXX

???。>0,由尸'")>0=%￡(4+8),???尸。)在(3+oo)上單調(diào)遞增。.......2分

由尸（r）＜0nx￡（0,a）,???尸（x）在（0,a）上單調(diào)遞減。.......3分

??.尸（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,。），單調(diào)遞增區(qū)間為S,+8）.......4分

X

(II)F\x)=(0<x<3),A:=F'a。)=—(0<x0<3)恒成立…5分

%X。2

12

-5%+/)min.......6分

當(dāng)與=1時(shí),-gx02+Xo取得最大值1......7分

11八

???a^2，''a"mn=2.......8分

(III)若y=)+m-\=—x2+a的圖象與

y=/(I+/)=ln(x2+1)的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，

即]彳2+加一2=111*2+1)有四個(gè)不同的根，亦即

用=ln(/+1)-萬(wàn)光2+,有四個(gè)不同的根。.......]0分

2

令G(x)=ln(/+l)-lx+1,

2X2x-x3-x-x(x+l)(x-1)

貝ijG'(x)=------x=

x-+1X1+1x~+1

當(dāng)X變化時(shí)G'(x).G(x)的變化情況如下表:

X(-工，-1)(-L0)(04)(L+8)

G，(x)的符號(hào)+-+-

G(x)的單調(diào)性/

由表格知：G(X)￡T=G(0)=-5G(X)=__=G(l)=G(-l)=ln2>0.……12分

畫(huà)出草圖和驗(yàn)證G(2)=G(-2)=ln5-2+^<:可知，當(dāng)me(：ln2)時(shí)，

二=(?(力。=加恰有四個(gè)不同的交點(diǎn),............13分

當(dāng)，%e(—.In2)時(shí)，v=g()+m-1=—x,+???-1的圖象與

2"x*+12*2

y=/(l+x:)=ta(x2+1購(gòu)圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。……14分

13、解：(I)由已知:/(x)=x3,^>(x)=x3+tx2,=3x2+2^x=3x(x+—j

由夕'(x)=0=x=0,或工二一當(dāng).....................................1分

當(dāng)/=0時(shí)，，(P=3x2>0,二o(x)在(-8,+oo)為增函數(shù)，此時(shí)不存在極值；

.......................2分

當(dāng)>>0時(shí),x變化時(shí)，”(x)，3(x)變化如下：

/2<2t.2t..、

_—ZA

(°°9—)——(一--90)o(0,-H>o)

00+

3（x）------.>F—極大、極小

由上表可知：8（x）極小=夕⑼=0......................................................

當(dāng)工<0時(shí)，光變化時(shí)，夕'（力4（/變化如下:

It/2，、

X(-8,0)0(0,-y)T(―y,+°°)

“（X）+00

_______"極大極小

由上表可知：極小=奴-

e(x)g)=............6分

(II)/z(x)=32x4-sinx=>=34+cos尤

設(shè)兩切點(diǎn)分別為許力⑹）,也皿幻），則1（%）/（幻=一1

即(34+cosr])(34+cos，2)=-l.....................................................................8分

2

=>9A+3(cosq+COSL)4+(COS4cosr2+1)=0…(*)

,/R,方程(*)的判別式A=[3(cosr)+cosr2)]~-36(coscos^2+1)>0

22

即(cos。-cosf2)-N4,又一1<cos4<1,-1<cosr2<1,/.(cos4-cosr2)"<4

從而可得：(cosf]-cos^y=4

cosr.=1[cost=-l

上式要成立當(dāng)且僅當(dāng)《*，或1?

cosz2=-lcosr2=1

此時(shí)方程(*)的解為4=0...............................................................................10分

???xwO,.,?存在％=0,此時(shí)函數(shù)/z(x)=4?工~9+sinx的圖象在點(diǎn)

x

（2k7T,0MksZ,k豐0）處的切線(xiàn)和在點(diǎn)（2加萬(wàn)+E0）（加wZ）處的切線(xiàn)互相垂直,…12分

14、⑴當(dāng)〃20時(shí)，在（0,+oo）上單調(diào)遞增

當(dāng)a<0時(shí)，/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,-工），單調(diào)遞減區(qū)間為（一工,+8

(II)"-j

15、解：(1)???/'(x)=x2—2云+2且x=2是/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)

3

.(2)=4-48+2=0=6=：,............2分

f\x)=x2-3x+2=(x—l)(x—2).........3分

由/'(x)>0得x>2或"1,；.函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為,

(2,+8)；..................................5分

由/'(x)<0得l<x<2,.?.函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,2),........-6分

(2)由(1)知,函數(shù)/(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增

2

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/(幻取得最小值，/(x)min=/(2)=o+-,........8分

2

xe[l,+8)時(shí)，/。)一§>。2恒成立等價(jià)于

2

Y</(X)min-1,XW[l,+8)...........10分

即/一。<0=0<a<1............12分

32

16、(I)a=一一(ID-y,0(III){-3,1}

2

17>(I)x+y+3=0

(II)當(dāng)a>g時(shí)，"x)在(0,；］和(a,+8)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)0<a<g時(shí)，在(0,a)和上單調(diào)遞增，在(a,單調(diào)遞減

當(dāng)aWO時(shí)，"X)在(0,；)上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

、7

(III)m>——

3

1r/—2、

力。2ax(x-^一)1

18、、解：f\x)=-―^——+2/一〃=-------——,(%>——)................1分

—1,+1—ax1+axa

22

(i)由已知，得/d)=o即上2=L

22a2

a2-?-2=0,a>0,a=2.3分

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=2滿(mǎn)足條件..............................................4分

(II)當(dāng)0<。<2時(shí)，

a2-21a2-a-2(tz-2)(674-1)

---------=----------------------Su.

2a22a2a

2a2

.?.當(dāng)X，時(shí)，x-又用L>0,f\x)>0,

22a1+ax

故/(x)在+8)上是增函數(shù).......................................6分

(III)當(dāng)ae(l,2)時(shí)，由(II)知，/(x)在上的最大值為/⑴=ln(；+；a)+l-a,

...........................................................7分

于■是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的〃w(l,2),不等式ln(；+；a)+l-〃+m(/—l)>0恒成立.

...........................................................8分

記g(a)=ln(y++1-a+m(a2-1),(1<a<2)一

a

貝ljg'(a)=----1+2ma=—-[2ma-(1-2m)]9........................9分

1+Q\+a

當(dāng)mWO時(shí)，有2/n〃一(1一2")=2團(tuán)(a+1)-1<0,且一^―>0,，g(a)在區(qū)間(L2)上

1+a

遞減，且g(l)=0,則〃?<0不可能使g(〃)>0恒成立，故必有加〉0.............11分

當(dāng)〃7>0，且g(a)=，""[〃-(J—1)].

1+a2ni

若」--1>1,可知g(a)在區(qū)間。=(l,min{2,2--1})上遞減，在此區(qū)間。上有

2m2m

g(a)<g⑴=0，與g(4)>0恒成立矛盾，故」——1<1,這時(shí)g'(a)>0,即g(〃)在(1,2)

2m

上遞增，恒有g(shù)(a)>g⑴=0滿(mǎn)足題設(shè)要求。

m>0

；?<1,EP>—,.........................................13分

--一1<14

、2〃2

所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為［L+8).................................14分

4

19、略

20>解：(I)由題意知/(x)=alnx-ax-3(〃ER且aW0),定義域?yàn)?0,-)...1分

則/(X)=4(l_/

X,

.?.當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1),單調(diào)減區(qū)間是(1,+8)；

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1,+8),單調(diào)減區(qū)間是(0,1)..............4分

(H)由廣(2)=—1=1得a=—2,

2

/.f(x)=-2Inx4-2x-3,/z(x)=2—.................................5分

gCr)=x3+x2；+=x，+(2+-2x

.?.g'(1)=3x2+(4+m)x-2

???函數(shù)g(x)在區(qū)間￡3)上總存在極值，

??.g〈x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間&3)內(nèi)........6分

又???函數(shù)g'(x)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且g'(0)=—2v0,

..5,.......7分

U(3)>0

22

由屋⑺<0得加<一一3/—4,???"(/)=——3/-4在［1,2］上單調(diào)遞減，

tt

所以""Mm="(2)=—9；???加<一9,由屋(3)=27+3(4+加)-2>0，

37

解得加>----；

3

綜上得：一3半7<團(tuán)<一9所以當(dāng)加在(一3半7,一9)內(nèi)取值時(shí)，對(duì)于任意函數(shù)

g(X)=X3+X2［y+/Z(X)］)在區(qū)間”,3)上總存在極值.........10分

(III)a=2,/./(x)=21nx-2x-3.令F(x)=/i(x)-/(x),則

F(x)=(p-2)x—P+-3-21nx+2x+3=px-———-2\nx.

xxx

1.當(dāng)〃(0時(shí)，，山xw［l,e］得px-K<0,——--2Inx<0,從而/(x)<0,

XX

所以,在［l,e］上不存在/使得力(Xo)>00o)；..........................12分

，，X2x,)+2e

2.當(dāng)p>0時(shí)，F(xiàn)V)=~^,xe［1,e］,2e-2x>0,

x

px2+p>0,尸'(x)>0在［l,e］上恒成立，故F(x)在［l,e］上單調(diào)遞增.

???尸(x)max=尸(e)=pe_K_4

e

故只要pe—2一4>0,解得p>f-

ee-1

綜上所述，P的取值范圍是(廣、,+8)?...........................14分

21、略

22>解：(I)a-1時(shí)，f(x)=x2-3x+lnx

議域(0,+8)

fz(x)=2x-3+-令f'(x)>0

x

.,,2X2-3X+1>0(X>0)

，0Vx<L或X>1

2

二f(x)的單增區(qū)間為(0,-),(1,+8)...................................................(4分)

2

(JI)f(x)=x2-(2a+l)x+alnx

°,/、c/c、a2x?-(2〃+1)光+Q

fz(x)=2x-(2a+l)+—=----------------------------

xx

令千'(x)=0x=awgx=—...........................................................(5分)

2

①當(dāng)aW^時(shí)、f(x)在(0,a),(—,+8)逆增

22

???f(x)在［1,e］W逆增.*.f(x)min=f(l)=-29...............................(6分)

②當(dāng)，<aWl時(shí)，f(x)在［1,e］W單增.?.f(x)min=f(l)=-2a............(7分)

2

③當(dāng)IVaVe時(shí)，f(x)在［1,a),(a,e)

Af(x)min=f(a)=-a2-a+alna.................................................(8分)

④eWa時(shí)f(x)［1,e］上逆減

Af(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a........................................................(5分)

綜上所述：aWl時(shí)f(x)1Din=-2a

1VaVe時(shí)f(x)min=-a2-a+alna

J

aNe時(shí)f(x)Bin=e-(2a+l)e+a...........................................(9分)

(III)由題意：f(x)29(x)在［L,e］上有解

e

:.x2-(2a+l)x+alnx2(1-a)x

.?.x2-2x+a(lnx-x)20在e］上有解

e

令h(x)=lnx-x

11-r1

Ah'(x)=上一1二」(上WxWe)

xxe

?，.h(x)在(1,1),(1,e)

e

?'?h(x)inin=h(l)=lnl-l=-l<0

.*.x2-2x5:a(x-lnx)

2

Aa<x-—-2—x在［1±,e］有解..........................(11分)

x-lnxe

x2-2x

設(shè)t(x)=

x-lnx

(x-l)(x4-2-21nx)

(x-lnx)2

VxGL—,e］；?x+2>2221nx

e

Axe(-,1)時(shí)tz(x)<0

e

xe(l,e)時(shí)t'(x)>0

???t(x)在(！，1),(1,e)

又尸*——<o

e1+1

堆尸相>0

e-1

.".t(x)winx=t(e)=—~~—

e-1

?ye(e-2)

（14分）

e-1

24、(I)/(x)定義域卜,€R且xW-l}.

22x2

,/f(x)=(x+l)-21n(x+l)/.f(x)=2(x+l)--1_=(-^+)

/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(一,一2)和(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(—2,-1)和(0,+8).

(II)令/'(x)=0得x=0或x=-2(舍)

由⑴知/(x)在『一1,0)上單調(diào)遞減，在(0,e-l)上單調(diào)遞增；且

11)2)21

/(—1)=-+2,/(0)=1,f(e-l)=e-2,e-2>-+2

ee"e

2

xe[—e—1]時(shí)，/(x)max=e—2,/.機(jī)〉e~一2

e

(in)〃=(l+x)~—ln(l+x)——x=(l+x)—ln(l+x)XG[0,2]

令g(%)=(l+%)—ln(l+%y貝小(乃=1一匕=￡

xe(0,l)時(shí),g'(x)<0,xe(l,2)時(shí),g'(x)>0；

...g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增.

又g(0)=1g(l)=2-ln4g(2)=3—ln9且2—ln4<3—ln9<1

二g(x)max=lg(x)min=2—ln4「.a€(2—In4,3—In9]

25>解：⑴由已知得尸(x)=ax2+2/?x+l,令/'(x)=0,得ox?+2/?x+l=0,

f(x)要取得極值,方程。/+2bx+1=0必須有解，

所以△=4/-4〃>0,即/>〃，此時(shí)方程a?+2法+1=0的根為

_-2h-44-2-4a_~b—\lh2-a_-2h+y/4b2-4a_-/?+\]b2-a

X\==，X2==，

2aa2aa

所以/（%）=。（工一玉）（工一工2）

當(dāng)。＞0時(shí)，

X(-8,X|)Xl(X1,X2)X2(X2,+8)

f'(x)+0—0+

f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以/（X）在X1,X2處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)。＜0時(shí)，

X(-8,X2)X2(X2,X1)Xl(Xl,+8)

f'(x)—0+0—

f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以/(X)在XI,X2處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a,b滿(mǎn)足。2>a時(shí)，f(x)取得極值.

(2)要使/(%)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，需使/(x)=ax?+2歷t+120在(0,1］上恒成立.

fix1HY\

即》之一元6(0,1］恒成立，所以02(一二一)111ax

22x22x

設(shè)g(x)=-?-;,g'(x)

22x

令g，(x)=0得x=或x=--1(舍去),

yjayja

當(dāng)。>1時(shí),0<,<1,當(dāng)xe(0,3)時(shí)g'(x)>0,g(x)=-竺一’單調(diào)增函數(shù);

ay/a22x

當(dāng)XW(3，1］時(shí)g'(X)<0,g(X)=-竺一,單調(diào)減函數(shù),

Ta22x

所以當(dāng)X=時(shí),g(x)取得最大，最大值為g—yfci.

所以b2—y!~u.

當(dāng)0<aW1時(shí),J=21，此時(shí)g'(x)20在區(qū)間(0,1］恒成立，所以g(x)=—竺—在區(qū)間

yja22x

(0,1］上單調(diào)遞增，當(dāng)x=1時(shí)g(x)最大，最大值為g(l)=-gl,所以b2

綜上，當(dāng)a>1時(shí)，b>~4a;當(dāng)0<aWl時(shí)，b>-0+

2

,、、1-2爾-。工+1

26>(I)f(x)=-+2ax-a------------(x>0)

xx

當(dāng)a=—1時(shí)，/V>-x2—--(2x+1)(x-1)(x>0)

XX

1

X(0」)(1,+°°)

+0一

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

由上表可知，/(x)M=f(l)=O,無(wú)極小值.

(II)?「/(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，f(x)=2ar~fl'V+1

X

：.r(x)<0在(0,+oo)內(nèi)有解，即2a/一取+1<0在(0,+8)內(nèi)有解.

①若4=0,則/'(x)=」〉0,/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間；

X

②若。>0,則函數(shù))，=2〃/一。1+1的圖像是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，且恒過(guò)點(diǎn)(0,1),要使

2。/一以+1<0在(o,+8)內(nèi)有解，則應(yīng)有，A—'*",。Q<0或Q>8,

[2x2d>0

。>0。>8；

③若。<0,則函數(shù)y=2辦2一辦+1的圖像是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，且恒過(guò)點(diǎn)(0/)，

2ax2-ax+1<0在(0,+8)內(nèi)一定有解.

綜上，〃<0或。>8.

27、(I)x>0時(shí)，f(x)=(x2-2ax)ex,

廣(x)=(2x—2a)e"+(x2—2ax)e*=[x?+2(1-a)x—2a]e”

由已知得，/'(五)=0,「.2+20—2a—28a=0,解得a=l；

f(x)=(x2-2x)ex,f\x)={x2-2)ex.

當(dāng)X€(O,也)時(shí),fXx)<0,當(dāng)xe(a+8)時(shí),/'(x)>0.又/(0)=0

當(dāng)》=-2時(shí)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,、回)，單調(diào)遞增區(qū)間是(加,+8).

(II)山⑴知當(dāng)XW(0,0)時(shí)，“X)單調(diào)遞減，/(x)?(2—2后)e及,0),當(dāng)

x?0,+8)時(shí)，“X)單調(diào)遞增，/(x)e((2-2V2)^,+oo).

要使函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則y=f(x)的圖像與直線(xiàn)y=m有兩個(gè)不同的

交點(diǎn).

①當(dāng)/?>0,m=0或機(jī)=(2—2也)6上；

②當(dāng)人=0,〃蚱■2—2五)e&,0)；

③當(dāng)6<0,機(jī)6卜2—2近)e應(yīng)，+8).

(in)假設(shè)存在,%>0時(shí)，/(x)=(x2-2x)ex,f,(x)=(x2-2)ex.

f(2)=。fX2)=2e2

函數(shù)/(x)的圖像在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)/的方程是y=2e2(x-2).

?.?直線(xiàn)/與函數(shù)g(x)的圖像相切于點(diǎn)P(x0,%),xae[e-',e],

r

y0=clnx0+b,g(x)--,所以切線(xiàn)/的斜率是g'(Xo)=￡

XXQ

所以切線(xiàn)/的方程是y—yo=￡(x—4)，即/的方程是：y=-x-c+b+clnx0.

/x0

'￡=2e2

得Jx0=Jc=2"x。

22

—c+b+clnx0=-4eh=c—cInx0-4e

2

得b=2e(x0-x0lnx0-2)其中

2

記A(x0)=2e(x0-^0lnx0-2)其中公，0,

=2/[1—(Inx。+1)]=-2e21nx0,令/z'(Xo)=O得x0=1

g,e)1

xo(l，e)

+0—

1(/)