上海市高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

上海市高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)第4頁（共26頁）2015-2016學(xué)年上海市格致中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．已知全集U=R，，則A∩?UB=．2．若函數(shù)，則f（x）?g（x）=．3．函數(shù)y=的定義域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），則不等式bx﹣a≥0的解集為．5．已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在區(qū)間（，1）上為增函數(shù)，那么f（2）的取值范圍是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，則實數(shù)m的取值范圍是．（2）方程組的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，則A=C；（4）若U為全集，A，B?U，且A∩B=?，則A??UB．其中正確命題的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0沒有實根”的（）A．充要條件 B．必要非充分條件C．充分非必要條件 D．非充分非必要條件14．已知a∈R，不等式的解集為P，且﹣4?P，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣4 B．﹣3＜a≤4 C．a(chǎn)≥4或a≤﹣3 D．a(chǎn)≥4或a＜﹣315．函數(shù)f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答題（8+8+10+14分）16．記關(guān)于x的不等式的解集為P，不等式|x﹣1|≤1的解集為Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q?P，求正數(shù)a的取值范圍．17．設(shè)α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）設(shè)a=2，若α是β的充分不必要條件，求實數(shù)b的取值范圍；（2）在什么條件下，可使α是β的必要不充分條件．18．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）設(shè)a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a對x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范圍；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點，有幾個零點？為什么？19．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域（0，+∞）內(nèi)存在x0，使函數(shù)f（x0+1）≤f（x0）f（1）成立；（1）請給出一個x0的值，使函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，請求出所有x0組成的集合；若不是，請說明理由；（3）設(shè)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

2015-2016學(xué)年上海市格致中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．已知全集U=R，，則A∩?UB={0}．【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】計算題；集合．【分析】先確定集合A={0，3}，再確定CUB={x|x≤}，最后根據(jù)交集定義運算得出結(jié)果．【解答】解：因為A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，所以，CUB={x|x≤}，所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，即A∩CUB={0}，故答案為：{0}．【點評】本題主要考查了集合間交集，補集的混合運算，涉及一元二次方程的解法，交集和補集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．若函數(shù)，則f（x）?g（x）=x（x＞0）．【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用函數(shù)的解析式化簡求解即可．【解答】解：函數(shù)，則f（x）?g（x）==x，x＞0．故答案為：x（x＞0）．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．3．函數(shù)y=的定義域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】計算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用分母不為0，開偶次方被開方數(shù)方法，列出不等式組求解可得函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函數(shù)的定義域為：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案為：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【點評】本題考查函數(shù)的定義域的求法，是基礎(chǔ)題．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），則不等式bx﹣a≥0的解集為（﹣∞，]．【考點】其他不等式的解法．【專題】方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由題意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化為2ax﹣a≥0，兩邊同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案為：（﹣∞，]．【點評】本題考查不等式的解集，得出a的正負是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．5．已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在區(qū)間（，1）上為增函數(shù)，那么f（2）的取值范圍是[﹣7，+∞）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】求得二次函數(shù)的對稱軸，由題意可得≤，求得a的范圍，再由不等式的性質(zhì)，可得f（2）的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的對稱軸為x=，由題意可得≤，解得a≤2，則f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案為：[﹣7，+∞）．【點評】本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，則實數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）．【考點】交集及其運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定義和不等式性質(zhì)求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴實數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）．故答案為：[3，+∞）．【點評】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運用．7．“若a+b＞2，則a＞2或b＞2”的否命題是“若a+b≤2，則a≤2且b≤2”．【考點】四種命題．【專題】演繹法；簡易邏輯．【分析】根據(jù)否命題的定義，結(jié)合已知中的原命題，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，則a＞2或b＞2”的否命題是“若a+b≤2，則a≤2且b≤2”，故答案為：“若a+b≤2，則a≤2且b≤2”【點評】本題考查的知識點是四種命題，熟練掌握四種命題的概念，是解答的關(guān)鍵．8．設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，則（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，進行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（﹣1）=f（1）=0，則函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：即當x＞1或x＜﹣1時，f（x）＞0，當0＜x＜1或﹣1＜x＜0時，f（x）＜0，則不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等價為或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集為（0，1）∪（2，+∞），故答案為：（0，1）∪（2，+∞）【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解決本題的關(guān)鍵．9．已知函數(shù)f（x）=x2+mx﹣1，若對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是（﹣，0）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，由此求得m的范圍．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）=x2+mx﹣1的圖象開口向上，對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案為：（﹣，0）．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．10．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（2）=1，若f（x+a）≤1對x∈[﹣1，1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1]．【考點】函數(shù)恒成立問題；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】計算題．【分析】先利用f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（x+a）≤1對x∈[﹣1，1]恒成立，導(dǎo)出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，f（x+a）≤1對x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案為：[﹣1，1]．【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的靈活運用．11．已知的解集為[m，n]，則m+n的值為3．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）=[（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案為：3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題12．給出下列命題：（1）?={0}；（2）方程組的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，則A=C；（4）若U為全集，A，B?U，且A∩B=?，則A??UB．其中正確命題的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計算題；集合思想；數(shù)形結(jié)合法；集合．【分析】由集合間的關(guān)系判斷（1）；寫出方程組的解集判斷（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均為B的子集判斷（3）；畫圖說明（4）正確．【解答】解：（1）??{0}．故（1）錯誤；（2）方程組的解集是{（1，﹣2）}．故（2）錯誤；（3）若A∪B=B∪C，則A=C或A、C均為B的子集．故（3）錯誤；（4）若U為全集，A，B?U，且A∩B=?，如圖，則A??UB．故（4）正確．∴正確命題的個數(shù)是1個．故選：A．【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了集合的表示法及集合間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0沒有實根”的（）A．充要條件 B．必要非充分條件C．充分非必要條件 D．非充分非必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】方程思想；判別式法；簡易邏輯．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0沒有實根，則△＜0．解出即可判斷出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0沒有實根，則△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0沒有實根”必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．已知a∈R，不等式的解集為P，且﹣4?P，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣4 B．﹣3＜a≤4 C．a(chǎn)≥4或a≤﹣3 D．a(chǎn)≥4或a＜﹣3【考點】其他不等式的解法．【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】原不等式化為＜0，分類討論即可得到答案．【解答】解：化為式﹣1＞0，即＞0，即＜0，當a+3＞0時，即a＞﹣3時，原不等式為x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4?P，∴a≥4；當a+3＜0時，即a＜﹣3時，原不等式為x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4?P，∴a＜﹣3；當a+3=0時，即x∈?，∴﹣4?P，綜上所述：a的取值范圍為a≥4，或a≤﹣3，故選：C．【點評】本題考查分式不等式解法的運用，關(guān)鍵是分類討論，屬于與基礎(chǔ)題．15．函數(shù)f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由分段函數(shù)可得當x=0時，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，則（﹣∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，則有a2≤x++a，x＞0恒成立，運用基本不等式，即可得到右邊的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范圍．【解答】解：由于f（x）=，則當x=0時，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，則（﹣∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，則有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，當且僅當x=1取最小值2，則a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．綜上，a的取值范圍為[0，2]．故選：D．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題三、解答題（8+8+10+14分）16．記關(guān)于x的不等式的解集為P，不等式|x﹣1|≤1的解集為Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q?P，求正數(shù)a的取值范圍．【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；其他不等式的解法；絕對值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可轉(zhuǎn)化為整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0來解；對于（II）中條件Q?P，應(yīng)結(jié)合數(shù)軸來解決．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q?P，結(jié)合圖形所以a＞2，即a的取值范圍是（2，+∞）．【點評】對于條件Q?P的問題，應(yīng)結(jié)合數(shù)軸來解決，這樣來得直觀清楚，便于理解．17．設(shè)α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）設(shè)a=2，若α是β的充分不必要條件，求實數(shù)b的取值范圍；（2）在什么條件下，可使α是β的必要不充分條件．【考點】充要條件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；集合思想；簡易邏輯．【分析】（1）若α是β的充分不必要條件，則A?B，即，解得實數(shù)b的取值范圍；（2）若α是β的必要不充分條件，則B?A，即且兩個等號不同時成立，進而得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要條件，則A?B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分條件，則B?A，即且兩個等號不同時成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【點評】本題考查的知識點是充要條件，正確理解并熟練掌握充要條件的概念，是解答的關(guān)鍵．18．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）設(shè)a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a對x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范圍；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點，有幾個零點？為什么？【考點】函數(shù)零點的判定定理；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得：二次函數(shù)的對稱軸為x=，由條件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，進而得到f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到答案．（2）二次函數(shù)的對稱軸是x=，討論f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根據(jù)根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因為二次函數(shù)f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的圖象的對稱軸x=，因為由條件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函數(shù)f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，+∞）的左邊，且拋物線的開口向上，所以f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因為f（x）＞c2﹣2c+a對x∈[1，+