2023年初中數(shù)學論文“陰影面積”型中考試題解法例析

第初中數(shù)學論文：“陰影面積”型中考試題解法例析

“陰影面積”型中考試題解法例析

近幾年來，全國各地的中考卷中頻頻出現(xiàn)“陰影面積問題”的試題，逐漸成為中考命題的一個熱點問題，這類試題題型較多，解題方法也頗為講究，現(xiàn)選取部分中考試題，談談“陰影面積問題”的求解方法，供參考探討。一、拼湊法

拼湊法是指各個陰影部分面積無法求或很難求時，可把分散的圖形集中拼成大塊圖形來求，它其實是整體思想的一個滲透.

例1、(欽州)某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖1所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計劃在五邊形各頂點為圓心，2m長為半徑的扇形區(qū)域（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是()（A）6?m2（B）5?m2（C）4?m2（D）3?m2

圖1

圖2

析解：觀察圖形，通過拼湊可知，陰影部分面積為5個扇形的面積和，而5個扇形的圓心角度數(shù)之和為五邊形的內(nèi)角和540°，可求陰影部分面積為6π，故選A.

練習:（巴中）如圖2所示，以六邊形的每個頂點為圓心，1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為。參考答案：2π

二、轉(zhuǎn)化法

此法就是將原圖形中局部或整體進行適當?shù)淖儞Q，實現(xiàn)將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為一個或幾個規(guī)則圖形的面積的代數(shù)和的一種有效方法，也是不規(guī)則圖形的面積計算中涉及最為廣泛、靈活的一種方法，在轉(zhuǎn)化過程中常常會用到圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱變換、割補、等積代換等方法。

10平移法：例2、(瀘州)在反比例函數(shù)y?(x?0)的圖象上，有一系列點

xA1，A2，A3，，...An，An+1，若A1的橫坐標為2，且以后每點的橫坐標與它前一個點的橫坐標的差都為2,現(xiàn)分別過點A1，A2，A3，，...An，An+1作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個矩形如圖2（1）所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，，...Sn，則S1=_______，S1+S2+S3+...+Sn?______.(用n的代數(shù)式表示)

析解：此題可以通過平移轉(zhuǎn)化為一個規(guī)則圖形，第一問中，只要直接計算矩形的面積即可，由題意可得，矩形的寬為2，長為A1的縱坐標減A2的縱坐標，易求長為5-2.5=2.5，所以S1=2×2.5=5.第二問中，只要把S2、S2…Sn平移到如圖2（2）的位置，這樣陰影部分面積就轉(zhuǎn)化成矩形A1Q1QnA的面積，很顯然這個

矩形的寬為2，只要求出長就可以了，我們可以先求得A1的縱坐標為5，再求出

55nAn+1的縱坐標為，相減即得矩形A1Q1QnA的長為；所以

n?1n?15n10n=×2=.S1+S+S+.+..?SS23n矩形n?1n?1

圖2（1）圖2（2）

k

旋轉(zhuǎn)法：例3、(深圳)如圖3，點P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）與

x⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為10π，則反比例函數(shù)的解析式為（）

35

A．y＝B．y＝xxC．y＝

10

xD．y＝

12

x

析解：此題可以通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求解，將小的陰影部分繞著點O旋轉(zhuǎn)

1180°可得到圓的面積，由題意得：

41πr2?10π，解得r2=40因為P(3a,a)，所以(3a)2?a2?r2，即：10a2?40，4因為a?0所以a?2，所以P(6,2)，所以k=12，故選D.

對稱變換法：例4、(臨沂)正方形ABCD的邊長為a，點E、F分別是對角線BD上的兩點，過點E、F分別作AD、AB的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于_________.析解：此題可以通過對稱變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求解，觀察圖形，利用對稱性，把陰影部的面積轉(zhuǎn)化為S△ABD的面積，故答案1為a22

割補法：例5、(河北省)把三張大小相同的正方形卡片A，B，C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．若按圖5(1)擺

放時，陰影部分的面積為S1；若按圖5(2)擺放時，陰影部分的面積為S2，則S1S2（填“＞”、“＜”或“=”）．

CAB圖5(1)

A圖5(2)

圖5(3)

CCBABA圖5(4)CB

析解：此題可以通過割補轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求解，由題意可設圖5(1)中的大正方形的邊長為a,小正方形的邊長為b,通過割補可得如圖5(3)的陰影部分，此圖形為邊長(a?b)的正方形，同理可得圖5(2)的陰影部分也是邊長為(a?b)的正方形（如圖5(4)），所以可得S1=S2。

等積代換法：例6、（南寧）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖6（1）所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為()

（Ａ）10（Ｂ）12（Ｃ）14（Ｄ）16

析解：此題可以通過等積代換轉(zhuǎn)化為一個規(guī)則圖形，如圖6（2），連結(jié)BD、EG、KF，可證FK‖EG‖BD,由平行線的性質(zhì)可知，S△DGB?S△EDB,進而可求S△DGM

?S△EBM,同理可證S△GFN?S△EKN,由此就將陰影部分面積根據(jù)等積代換轉(zhuǎn)化為如圖6（3）的正方形GBEF的面積，求得S=16.故選D.

三、疊合法

疊合法是指當一種圖形被其他圖形完全覆蓋、且要求的陰影部分又正好是覆蓋與被覆蓋圖形的重疊部分時，所采用的一種簡捷有效的計算方法，這種方法往往需要觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，理順圖形間的大小關(guān)系，分清覆蓋和被覆蓋圖形的面積關(guān)系，通常方法：S重疊部分=S覆蓋圖形-S被覆蓋圖形.

例7、（衡陽）如圖7，在Rt△ABC中，∠C?90°，AC?4，BC?2，分別以AC.BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留?）

析解：觀察圖形，可得：S陰影?S大半圓?S小半圓?S△ABC，所以S陰影

練習、（自貢）邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)A30°得到正方形AB′C′D′，兩圖疊成一個“蝶形風箏”（如圖7圖所示陰影部分），則這個風箏的面積是（）。C

1115?π?22?π?12??4?2?π?42222B

A．2－C．2－

3334

B．

233D．2

參考答案：A

四、估算法

估算法就是將復雜的問題假設為處于某一個或某兩個極端狀態(tài)，并站在極端的角度分析問題，確定未知量范圍，從而使復雜的問題簡單化.

例8、（杭州）如圖8（1），記拋物線y??x2?1的圖像與x正半軸的交點為A，將線段OA分成n等份．設分點分別為P1，P2，…，Pn?1，過每個分點作x軸的垂線，分別與拋物線交于點Q1，?，再記直角三角形OPQ?Q2，Qn?1，PP11，12Q2，

n2?1n2?4的面積分別為S1，S2，?，這樣就有S1?，S2?，?；記332n2n，當n越來越大時，你猜想W最接近的常數(shù)是（）W?S…?nS1?S2??12111A．B．C．D．

3234

yBC1Q1Q2Q3

ⅡⅠⅢ

Qn-1

1x

OP1P2P3Pn-1AO1

A圖8（1）圖8（2）

圖8（3）

析解：此題如果用規(guī)律法解，部分學生會陷入進退兩難的境地，用估算法則顯得比較快捷。如圖8（2），我們把拋物線y??x2?1的圖像與坐標軸在第一

1象限圍成的圖形(下稱不規(guī)則圖形)分割成若干個寬為的矩形，那么每個直角三

n角形的面積就是每個矩形面積的一半，W?S1?S2?…?Sn?1就等于所有矩形面積

和的一半，而當n的值越來越大時，圖形被分割的越細，即矩形（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）……很窄時，圖8（3）中陰影部分面積就很小，以至于可以忽略不計，由此我們可以認為矩形（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）……的面積和就是不規(guī)則圖形的面積，這樣

而這個不規(guī)則圖形的面積W?S1?S2?…?Sn?1就是整個不規(guī)則圖形面積的一半，

1比三角形OAB的面積要大，而比正方形OACB的面積要小（如圖8（3）），即＜

211S不規(guī)則圖形＜1；則＜W＜；故選C

241y練習：（泰安）如圖所示是二次函數(shù)y??x2?2的圖象在x2Ｏ

x軸上方的一部分，對于這段圖象與x軸所圍成的陰影部分的面積，你認為與其最接近的值是（）

16A．4B．C．2πD．8

3參考答案：B

五、規(guī)律法

規(guī)律法是指觀察、搜集已知事實，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件奧秘的方法.

例9、（十堰市）如圖，n?1個上底、兩腰長皆為1，下底長為2的的等腰梯形的下底均在同一直線上，設四邊形PM11N1N2面積為S1，四邊形P2N2N2N3的面積為S2，?，四邊形PmMmNmNm?1的面積為Sm，通過逐步計算S1，S2，?，可得Sm=.

析解：此題要求Sm，直接求比較難，可以先求S1，S2，找

出其中規(guī)律進行解

答，由圖中不難發(fā)現(xiàn)，梯形面積不變，分離出如圖9（1）的圖形。可知圖中的陰影部分面積是梯形面積減去三角形面積，在三角形底邊已知為1的情況下，只需再求出高就可計算面積，而高可以根據(jù)相似三角形的對應高成比例來求，BP111?,則對應高的比也為，所以△BP1N1中

2AN121BP1邊上的高為梯形的高的，由題意易求梯形的

3311333，高為，S梯形=所以S△BM1P1=?1??，4232231133-?1??所以S1=,同理可得4232331131133-?1??3-?1??S2=,S3=,……4425227231133133-?1??3?·Sm=,即Sm=.422n?1242n?14

練習、（仙桃市）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點C1，C1B1?AB于點B1，設弧BC1，C1B1，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點C2，C2B2?AB于點B2，設弧B1C2，C2B2，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S3=.

45π?4211???42；參考答案：S1?36022245π?（22）112；S2????（22）36022π45π?2211S3????22=?1；

236022拓展：若求Sn呢？分析：由上述結(jié)論可知：

4245π?（n?1）114114222=(π?）?（n?1）Sn????（n?1）843602222

陰影面積問題的求解，除了以上方法外，還有和差法、平移法、代數(shù)法等，有時是幾種方法的綜合運用，在這兒不一一例舉，求解中要注意觀察和分析圖形，學會分解和組合圖形，學會估算圖形；切勿盲目計算。要注重思想方法的運用，巧算面積，從而提高解題的靈活性。

245π?（22）112；