人教A版高中數(shù)學(xué)必修5教案新版

高中數(shù)學(xué)教案（人教A版必修全套）

【必修5教案|全套】

目錄

第一章解三角形......................................................................1

1.1.1正弦定理......................................................................3

1.1.2余弦定理...................................................................11

1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論......................................................18

1.2.1解決有關(guān)測(cè)量距離的問題......................................................24

1.2.2解決有關(guān)測(cè)量高度的問題....................................................30

1.2.3解決有關(guān)測(cè)量角度的問題......................................................40

1.2.4解決有關(guān)三角形計(jì)算的問題..................................................45

1.3實(shí)習(xí)作業(yè).........................................................50

第二章數(shù)列...........................................................................54

2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）..............................................54

2.1.2數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（二）................................................60

2.2.1等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.......................................64

2.2.2等差數(shù)列通項(xiàng)公式..........................................................68

2.3.1等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和（一）....................................................72

2.3.2等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和（二）.....................................................77

2.4.1等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式..................................................81

2.4.2等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用...............................................87

2.5.1等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.........................................91

2.5.2求數(shù)列前〃項(xiàng)和知識(shí)的運(yùn)用..................................................96

第三章不等式.........................................................................103

3.1.1不等關(guān)系與不等式（一）..........................................................103

3.1.2不等關(guān)系與不等式（二）108

3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法..............................113

3.2.2一元二次不等式的解法的應(yīng)用（一）119

3.2.3一元二次不等式的解法的應(yīng)用（二）126

3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域...........................................134

3.3.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題............................................................144

3.4.1基本不等式而＜色也的證明...........................................157

2

3.4.2基本不等式疝〈色也的應(yīng)用（一）163

第一章解三角形

本章規(guī)劃

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)必修五的第一部分，位置相對(duì)靠后,

在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容,

使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡(jiǎn)潔.教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)與前后各章

教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用己學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)備，提高教學(xué)效益，并

有利于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固.要重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提

出問題、思考解決問題的策略等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo).

1.教學(xué)內(nèi)容

全章有三大節(jié)內(nèi)容：

第一大節(jié)：正弦定理和余弦定理，這一節(jié)通過初中已學(xué)過的三角中的邊角關(guān)系，讓學(xué)生從已有

的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問題：”在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們

是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”重點(diǎn)是正弦定理的概念和推導(dǎo)方法，體現(xiàn)了從特

殊到一般的思想，并可以向?qū)W生提出用向量來證明正弦定理，這一點(diǎn)可以讓學(xué)生探究.在引入余弦

定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法,

這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如

何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題設(shè)置這些問題，都是為了加

強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要對(duì)三

角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力.

第二大節(jié)：應(yīng)用舉例，在應(yīng)用兩個(gè)定理解決有關(guān)的解三角形和測(cè)量問題的過程中，一個(gè)問題也

常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的解決辦法，并對(duì)于不同的方法進(jìn)行必要的分

析和比較.對(duì)于一些常見的測(cè)量問題甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)

用的算法.學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中去,

對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，但

當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)

問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠.針對(duì)這些實(shí)際情況，本章重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)

學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題.

第三大節(jié)：實(shí)習(xí)作業(yè)，適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)

生分析問題和解決實(shí)際問題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果的能

力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.教師要注意對(duì)學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對(duì)實(shí)際測(cè)

量問題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測(cè)量中出現(xiàn)的一些問題.

2.作用與地位

本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論.學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個(gè)問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能

力較弱.為解決此問題，教學(xué)中要用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)于過去的知

識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).

3.學(xué)習(xí)目標(biāo)

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角

形的應(yīng)用上.通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單

的三角形度量問題.

4.重點(diǎn)和難點(diǎn)

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通過對(duì)三角形中邊角關(guān)系的探索，證明正弦定理、余弦定理及其推論，并能應(yīng)用它們解三角形.

5.課時(shí)安排

1.1正弦定理和余弦定理（3課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例（4課時(shí)）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（1課時(shí)）

本章復(fù)習(xí)（1課時(shí)）

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1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

從容說課

本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系,

與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)也有著密切的聯(lián)系.教科書在引入正弦定理內(nèi)容

時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問題”在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的

邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?’'在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究

性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、

形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它

們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題,

使學(xué)生對(duì)于過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知

識(shí)結(jié)構(gòu).

教學(xué)重點(diǎn)1.正弦定理的概念；

2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)1.正弦定理的探索和證明；

2.己知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).

教具準(zhǔn)備直角三角板一個(gè)

三維目標(biāo)

—*、知識(shí)與技能

1.通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.

二、過程與方法

1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系；

2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；

3.進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來

體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師如右圖，固定△ABC的邊CB及使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng).

師思考：ZC的大小與它的對(duì)邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生顯然，邊AB的長度隨著其對(duì)角NC的大小的增大而增大.

師能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

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師在初中，我們己學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系.如

右圖，在RSABC中，設(shè)8c=A,AC=B<B=C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有巴=顯必，-

CC

ccihC

=sin8,又sinC=l=—，則-----=-----=-----=C.從而在直角三角形ABC中，

csinAsinBsimC

a_b_c

sinAsinBsimC

推進(jìn)新課

［合作探究］

師那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如右圖，當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是8,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有

cihcbcibc

CD=AsinB=BsinA,則，一=-^,同理，可得」一=-^?.從而，-=-^=」一.

sinAsinBsinCsin5sinAsinBsinC

（當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

師是否可以用其他方法證明這一等式？

生可以作小ABC的外接圓，在AABC中，令BC=A,4C=B,AB=C，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同

cihc

弧所對(duì)的圓周角相等，來證明一，=—2—=-^這一關(guān)系.

sinAsinBsinC

師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過的知識(shí)來解決此問題，我們一起來看下面的證法.

在AABC中，己知8C=A,AC=8,A8=C，作△A8C的外接圓,0為圓心，連結(jié)80并延長交圓于"，設(shè)8夕=2R.

則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到

NBW=90。,NC=/B。

B'

sinC=sin^-sinC—sinBf=

2R

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c2R

sinC

同理，可得‘一=2R,上-=2R

sinAsinB

sinAsinBsinC

這就是說，對(duì)于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式

a_b_c

sinAsin8sinC

點(diǎn)評(píng):上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)，將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)

而求證，此證法在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí)，易于被學(xué)生理解和接受，并且消除了學(xué)生所持的“向量方

法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路，又為下一步用向量方法證明正弦定

理作了鋪墊

［知識(shí)拓展

師接下來，我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識(shí)來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是

三角形的邊角關(guān)系，而在向量知識(shí)中,哪一知識(shí)點(diǎn)體現(xiàn)邊角關(guān)系呢

生向量的數(shù)量積的定義式A?2=|A||BeosO,其中6為兩向量的夾角

師回答得很好，但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系，這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢

生可以通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin0=Cos(90。-。)進(jìn)行轉(zhuǎn)化

師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90。-0,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進(jìn)一步的運(yùn)算，輔助向量選

取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-0這一形式，這是作輔助向量j垂直于

三角形一邊的原因

師在向量方法證明過程中，構(gòu)造向量是基礎(chǔ)，并由向量的加法原則可得

AC+CB=AB

而添加垂直于AC的單位向量j是關(guān)鍵，為了產(chǎn)生j與A3、AC、CB的數(shù)量積，而在上面

向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，也就在情理之中了

師下面，大家再結(jié)合課本進(jìn)一步體會(huì)向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的

向量知識(shí)點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時(shí)間后，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點(diǎn)為前提，以及兩向量

垂直的充要條件的運(yùn)用

(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識(shí)的同時(shí),進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用

向量法證明過程

(1)△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC，則j與AB的夾角為-A,j與CB的

夾角為90。(

由向量的加法原則可得

AC+CB=AB

為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到

j^(AC+CB)=j^AB

由分配律可得

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AC+j?CB=j?AB

.??UIACCos90°+[j|CBCos(90°-O=|j|ABCOS(90°-A

.*./4sinC=Csiri/4

...---a--=---c--

sinAsinC

另外，過點(diǎn)c作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90。+0與AB的夾角為90。+民可得

c_b

sinCsinB

(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提，防止誤解為j與AC的夾角為90。-。,j與AB

的夾角為90。-8

..?---a--=---b--=---c--

sinAsinBsinC

(2)AABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A>90。,過點(diǎn)4作與AC垂直的單位向量j,則j與AB的夾角為

490。/與CB的夾角為90°-C

由就+而=而，得j.ACCB=j.AB

即4cos(90°-O=CCos(A-

.".AsinC=CsinA

sinAsinC

另外，過點(diǎn)c作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90。+0與A8夾角為B.

同理，可得」h一二」c一

sinBsinC

:.-^—=工=^—(形式1)

simAsin8sinC

綜上所述,正弦定理對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立

師在證明了正弦定理之后,我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用

［教師精講］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)

k使A=ksinA,B=ksinB,C=ksinC；

sinAsinBsinC

sinAsinBsinCsinB9sinAsinC

我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.

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bcmA

①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如a=———.這類問題由于兩角已知，故第三角

sinB

確定，三角形唯一，解唯一，相對(duì)容易，課本P4的例1就屬于此類問題

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinAu^sinB.此類問題

b

變化較多，我們?cè)诮忸}時(shí)要分清題目所給的條件.

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.

師接下來，我們通過例題評(píng)析來進(jìn)一步體會(huì)與總結(jié)

［例題剖析］

【例1】在^ABC中，己知4=32.0。,8=81.8。/=42.9cm,解三角形

分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊&若求邊C,再利用正

弦定理即可

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)=180°-

根據(jù)正弦定理，

asmB42.9sin81.8°

b=----------=---------------------80.1(c

sinAsin32.0°

asinC42.9sin66.2°

c=----------=---------------------74.1(c

sinAsin32.0°

［方法引導(dǎo)

(1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和180。求

出第三角，再利用正弦定理

(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器

【例2】在4ABC中，已知A=20cm,B=28cm,4=40。,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm).

分析:此例題屬于BsinA<a<》的情形，故有兩解，這樣在求解之后呢，無需作進(jìn)一步的檢驗(yàn)，使學(xué)生在運(yùn)

用正弦定理求邊、角時(shí)，感到目的很明確,同時(shí)體會(huì)分析問題的重要性

解：根據(jù)正弦定理，

/?sinA28sin400

sinB=---------=---------------

a20

因?yàn)?。<8<180。，所以8364。或8

(1)當(dāng)慶64。時(shí),

C=180°-(A+B)=180°-(40°+64°)=76°,

tzsinC20sin760

C=----------=---------------?30(c

sinAsin400

(2)當(dāng)慶116。時(shí),

C=180°-(A+B)=180°-(4O°+1I6°)=24°,

asinC20sin24"

C=----------=----------------13(c

sinAsin40"

［方法引導(dǎo)1通過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，但是都不符合題意，可以通過

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分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形.當(dāng)然對(duì)于不符合題

意的解的取舍，也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷，對(duì)于這一點(diǎn)，我們通過下面的例題來體會(huì)

變式一：在4ABC中，已知A=60,B=504=38。,求8(精確到1。)和C(保留兩個(gè)有效數(shù)字).

分析:此題屬于這一類情形,有一解，也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊這一性質(zhì)來排除B

為鈍角的情形

解：已知8s，所以BS,因此8也是銳角

.OsinA50sin380

s\nB=------=---------

a60

.,.C=180°-(A+B)=180°-

asinC60sinlH〃

:、Q—______=__________

sinAsin38°

［方法引導(dǎo)

同樣是已知兩邊和一邊對(duì)角，但可能出現(xiàn)不同結(jié)果，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意解題的靈活性，對(duì)于本題，如果

沒有考慮角B所受限制而求出角B的兩個(gè)解，進(jìn)而求出邊C的兩個(gè)解，也可利用三角形內(nèi)兩邊之和大

于第三邊，兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)進(jìn)而驗(yàn)證而達(dá)到排除不符合題意的解

變式二：在AA8C中，已知A=28,3=20,A=120。,求仇精確到1。)和C(保留兩個(gè)有效數(shù)字).

分析:此題屬于A為鈍角且的情形，有一解，可應(yīng)用正弦定理求解角B后,利用三角形內(nèi)角和為180。

排除角B為鈍角的情形

5bsinA20sin120"

解：VsinB=------=-----------

a28

...衣=38。或8=142。(舍去

，C=180。-(4+B)

asinC28sin22°

C=------=---------=12.

sinAsin120°

［方法引導(dǎo)］此題要求學(xué)生注意考慮問題的全面性,對(duì)于角B為鈍角的排除也可以結(jié)合三角形小

角對(duì)小邊性質(zhì)而得到

⑵綜合上述例題要求學(xué)生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍，已知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對(duì)角解

三角形

(3)對(duì)于已知兩邊夾角解三角形這一類型，將通過下一節(jié)所學(xué)習(xí)的余弦定理來解

師為鞏固本節(jié)我們所學(xué)內(nèi)容,接下來進(jìn)行課堂練習(xí)：

1.在△ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，

(l)已知C=^/5,4=45。,8=60。，求B

(2)已知8=12/=30。,8=120。,求A

解：(1)VC=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°,

b_c

sinBsinC

.csinBV3sin60°

?.B=------=----------

sinCsin75°

第8頁共172頁

sinAsinB

.bsinA12sin30°

..A_______=_________

sin3sin120°

點(diǎn)評(píng):此題為正弦定理的直接應(yīng)用，意在使學(xué)生熟悉正弦定理的內(nèi)容，可以讓數(shù)學(xué)成績(jī)較弱的學(xué)生進(jìn)行

在黑板上解答，以增強(qiáng)其自信心

2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1。,邊長精確到

(1)B=114=20,8=30。;(2)4=28,8=204

(3)C=54,3=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A

sinAsinB

..asinB20sin30°

??sinA=---------=---------------

b11

?"1=65。，A2

當(dāng)4k65。時(shí)，Ci=180°-(B+Ai)=180°-(30o+65o)=85°,

e_Z?sinC|_1lsin85°

1sinsinBsin30°

當(dāng)4=115。時(shí)，。2=180。-(8+42)=180。-

,_Z?sinC2_1lsin35°

~sin3sin30°

?."sinA20sin45°

(2)VsinB=---------=---------------

.,.Bi-30°,B2

由于4+&=45。+150。>180。,故50。應(yīng)舍去(或者由B<A知8<A,故8應(yīng)為銳角

.,.C=180°-

.,..Q「—_a_s_i_n_C_=_2__8_s_i_n_l_0_5_°_

sinAsin45°

bc

(3)V-------=--------

sin8sinC

..bsinC39sinll5°

..sinB=---------=----------------

c54

由于BVC,故3<。,???32=139。應(yīng)舍去

.??當(dāng)8=41。時(shí)，A=180°-

csinA54sin24°

A=------=---------

sinCsinl15°

Z?sinA28sinl20°

(4)sinB=---------=----------------=1.212>

a20

，本題無解

點(diǎn)評(píng):此練習(xí)目的是使學(xué)生進(jìn)一步熟悉正弦定理，同時(shí)加強(qiáng)解三角形的能力，既要考慮到已知角的正弦

值求角的兩種可能，又要結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行正確取舍

課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們一起研究了正弦定理的證明方法，同時(shí)了解了向量的工具性作用，并且明確了

利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對(duì)角

第9頁共172頁

解三角形

布置作業(yè)

(一)課本第10頁習(xí)題1.1第1、2題

(二)預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P5?P8余弦定理

［預(yù)習(xí)提綱

(1)復(fù)習(xí)余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識(shí)

(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系

(3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題

板書設(shè)計(jì)

正弦定理

1.正弦定理證明方法：3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:

，^=上-=-^(1)平面幾何法已知兩角和一邊

sinAsinfisinC

(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角

第10頁共172頁

1.1.2余弦定理

從容說課

課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根

據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌?/p>

究這個(gè)問題，也就是研究如何從己知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問

題這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使

新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).設(shè)置這樣的問題，是為了

更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需

要對(duì)三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，通過向量知識(shí)給予證明，引起學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)

感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處.教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的

威力.

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問

題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之

間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？‘‘并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，

如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的

平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知,

余弦定理是勾股定理的推廣還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適

用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的

啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí)，注意使學(xué)

生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系

教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)i.向量知識(shí)在證明余弦定理時(shí)的應(yīng)用，與向量知識(shí)的聯(lián)系過程

2.余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路

3.勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.

教具準(zhǔn)備投影儀、幻燈片兩張

第一張:課題引入圖片(記作A

如圖(1),在RtAABC中，有A2+B2=C2

問題:在圖(2)、(3)中,能否用Ac、A求解“

第二張:余弦定理(記作1.1.2B

余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍

形式一：a2=/?2+c2-2/>ccosA,4>2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+/72-2?ftc<7sC

b-+c2-a1c2+a2-b1a2+b2-c2

形1式一:crosA=-----------------,cosB=---------------,cosC=---------------

2bc2calab

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

第11頁共172頁

1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法

2.會(huì)利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

3.能利用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算

二、過程與方法

1.利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論

2.通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師上一節(jié)，我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用，在體會(huì)向量應(yīng)用的同時(shí),解決了在三角形已知兩角、一

邊和已知兩邊與其中一邊對(duì)角這兩類解三角形問題.當(dāng)時(shí)對(duì)于己知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,

下面我們來看幻燈片1.1.2A,如圖(1),在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理,

那么對(duì)于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何

的有關(guān)知識(shí)來研究這一問題

在△ABC中，設(shè)8c=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)8、C、A來表示A

師由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三

角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于48于。，那么在RtABOC中，邊4可

利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在RtAADC中利用邊角關(guān)系表示QB可利用A8-AO轉(zhuǎn)化為

AD,進(jìn)而在RtAADC內(nèi)求解

解：過C作CD垂足為。，則在RtACDB中，根據(jù)勾股定理可得

A2^CD2+BD2

.在RtAADC中,C￡)2=82-AZ)2

又B^(C-AD)2^C2-2CAD+AD2

：.A2=B2-AD2+C2-2CAD+AD2=B2+C2-2CAD

又；在RtAADC中,AD=B.C0s4

tj2=Z?2+c2-2abcos/l

類似地可以證明b2-c1+a2-2cacosB

c2=a2+/?2-2abcosC

另外，當(dāng)4為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，/+/=/也符合上述結(jié)論，這也正是我們這一

節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.(給出幻燈片1.1.26

推進(jìn)新課

1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍

在幻燈片1.1.26中我們可以看到它的兩種表示形式

形式一

a2=/?2+c2-2/?ccosA

k^-c+cr-lcaco^B

第12頁共172頁

c2=a2+b2-2abcosC

形式二

cosA=

2hc

c2+a2-b2

cosB---------------

2ca

cosC=

lab

師在余弦定理中，令C=90。時(shí)，這時(shí)cosC=0,所以/=/+/,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,

對(duì)于余弦定理的證明，我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進(jìn)一步體會(huì)向量知

識(shí)的工具性作用

［合作探究

2.向量法證明余弦定理

(1)證明思路分析

師聯(lián)系己經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、8均未知，所以較難求邊C.由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式

出現(xiàn)，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題.由于涉及邊長問題，那么可以與哪些向量知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系

呢

生向量數(shù)量積的定義式af=|a||6|cos8,其中。為A、B的夾角

師在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因?yàn)闊o須進(jìn)行正、余弦形

式的轉(zhuǎn)換，也就少去添加輔助向量的麻煩.當(dāng)然，在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形

法則，而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo)，比如證明形式中含有角C,則構(gòu)造CB?CA這一

數(shù)量積以使出現(xiàn)COsC同樣在證明過程中應(yīng)注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提

(2)向量法證明余弦定理過程

如圖，在AA8C中，設(shè)A5、BC、CA的長分別是c、a、b

由向量加法的三角形法則，可得AC=AB+BC

AC-AC=(AB+BC)?(AB+BC)=AB2+2AB?BC+5C?=|AB|2+2ASBCcosa80°-B)+|sc|'

=c2-2accosB+a2,

第13頁共172頁

BPB2=C2+A2-2ACCOB

由向量減法的三角形法則，可得3C=AC—A3

BC-BC=（AC-AB）?（AC-AB）=AC?-2AC?AB+A?=|AC|2-2|AC|?|A^COSA+|A^2

=b2-2hccosA+c2

即〃2=廬+C2_26CC0SA

由向量加法的三角形法則，可得AB=AC+CB=AC-BC

?>....-----..----*----*I>[I>|I>|2

AB?AB^（AC-BCf（AC-BC）^AC2-2AC?BC+BC2^AC2-2\AG?\BacosC+\Ba

-b2-2bacosC+a2,

即c1-a1+b1-2abco?,C

［方法引導(dǎo)

（1）上述證明過程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法（減法）的三角形法則

⑵在證明過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定，AC與AB屬于同起點(diǎn)向量，則夾角為

A;而與BC是首尾相接，則夾角為角B的補(bǔ)角180。力;衣與BC是同終點(diǎn),則夾角仍是角c

［合作探究

師思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊

求出一角？

生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動(dòng)手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

h2+c2-a2從+“2-2

cosA=,cosB=,cosC=

2bclac2ba

師思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊

平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

生（學(xué)生思考片刻后會(huì)總結(jié)出）若△ABC中，C=90。，則cosC=0,這時(shí)/=層+/.由此可知余弦定理

是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

師從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那

么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如

果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.從上可知，余弦定理可以看作是

勾股定理的推廣.現(xiàn)在，三角函數(shù)把兒何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計(jì)算的公式了.

師在證明了余弦定理之后,我們來進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用（給出幻燈片1.1.2B

通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形

的問題

（1）已知三邊，求三個(gè)角

這類問題由于三邊確定，故三角也確定,解唯一，課本P8例4屬這類情況

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

這類問題第三邊確定，因而其他兩個(gè)角唯一，故解唯一，不會(huì)產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的

第14頁共172頁

判斷取舍等問題

接下來，我們通過例題來進(jìn)一步體會(huì)一下

［例題剖析］

【例1】在AABC中,己知8=60cm,C=34cm知=41。,解三角形(角度精確到1。,邊長精確到1cm)

解：根據(jù)余弦定理，

?2=/>2+c2-2feccosA=:602+342-2-60-34cos41°~3600+1156-____________IUA~41c

,-r-.^,zFcsinA34xsin41°34x0.656

由正3弦+定T理B得IsinC=------=------------=-----------

a4141

因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計(jì)數(shù)器可得C

5=I8O°-A-C=18O°-41°-

【例2】在△A8C中，已知a=134.6cm,6=87.8cm,c=161.7cm,解三角形

解：由余弦定理的推論，得

87.82+161.72-134.62

cosA=-0.5543/

2bc2x87.8x161.7

134.62+161,72-87.82

cosB==0.8398,8

2x134.6x161.7

C=180°-(A+B)=180°-

［知識(shí)拓展

補(bǔ)充例題：

【例1】在^ABC中，已知“=7力=10,0=6,求4、B和C.(精確到

分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題，可以利用余弦定理，意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二

b1+02_〃2102+62-72

解:cosA==0.725

2bc2x10x6

..a2+b2-c272+102-62113

'-lab~2x7x10-140

：.C

，8=180°-(A+O=180°-

［教師精講

(1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和為180。,可用余弦定理求出兩角,第三角

用三角形內(nèi)角和定理求出

(2)對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)算器運(yùn)算

【例2】在△ABC中，已知。=2.730力=3.696,彳82。2&,解這個(gè)三角形(邊長保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確

到

分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型，可通過余弦定理形式一先求出第三邊，在第三邊求

出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角，二是利用兩邊和一邊對(duì)

角利用正弦定理求解，但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn),若用正弦定理需對(duì)兩種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍，而在

0。?180。之間,余弦有唯一解，故用余弦定理較好

解：由c2=a2+/?2-2^cosC=2.7302+3.6962-2x2.730x3.696xcos82028,,

得c

第15頁共172頁

..b2+c2-a23.6962+4.2972-2.7302

coSiA______________~~____________________________

'2bc-2x3.696x4.297

.?.B=180°-(A+C)=180o-

［教師精講

通過例2,我們可以體會(huì)在解斜三角形時(shí),如果正弦定理與余弦定理都可選用，那么求邊用兩個(gè)定

理均可，求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩

【例3】在4ABC中，已知A=8,8=7,8=60。,求C及2詆

分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C,再利用正弦定理

求出邊C,而三角形面積由公式SA”*1農(nóng)5吊8可以求出

2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理〃=c2+q2_2cacosB建立關(guān)于C的方程，亦能達(dá)到求

C的目的

下面給出兩種解法

解法一:由正弦定理得‘^=-------

sinAsin60°

?"尸81.8。/2

JCI=38.2°,C2

由-------—二，得CI=3C2

sin60°sinC9

*'?SA4^=—^sinB=6百或S^ABC=—CIC2sin3=10V3

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB

72=C+82-2X8XCCC?

整理得/-8c

解之，得CI=3,C2=5.SAABC=ctc{sinB=6A/3或SAABC-sinB=10V3

［教師精講］

在解法一的思路里，應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)

出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程,從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解

法二應(yīng)引起學(xué)生的注意

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及

其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩

邊、一角解三角形可用余弦定理解之

課堂練習(xí)

1.在△A3C中

(1)己知c=8力=3力=60。,求A

(2)已知67=20,bB=29,c=21,求3

(3)己知。=33,c=2力=150。,求B

(4)已知。=2,6=2,c=3+l,求A

解：⑴由c^^+^lbccosA,得^2=82+32-2X8X3COS60°=49.A

2()2+212—292

(2)由cosB=，得cosB==0.：.B

2ca2x20x21

第16頁共172頁

(3)由/?2=c24-tz2-2ctzc(?sB,W/?2=(33)2+22-2X33X2C(?S150°=49.b

(4)由COSA=F+C2H(揚(yáng)2+(6+1)2_22

，得cosA--------.??A

2bc272(73+1)2

評(píng)述:此練習(xí)目的在于讓學(xué)生熟悉余弦定理的基本形式，要求學(xué)生注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及解題效率

2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到

(l)a=31,i>=42,c

⑵a=9力=10,c

422+272-312

解:⑴由cosA：-*?一個(gè)，得cosA==0.6755,，A

2bc2x42x27

，o

上cc2+a-2-b-312+272-422

由cosB=--------------=-0.0442,AB

2ca2x31x27

.,.C=180°-(A+B)=180°-

222

,b-+c~-a'/日.10+15-9

(2)由-----------，得cosA=

2bc2x10x15

152+92-102

由cosB=J+匕一"-0.7630,

2ca2x9x15

：.B

；.C=180°-(4+B)=180°-

評(píng)述:此練習(xí)的目的除了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉余弦定理之外,還要求學(xué)生能夠利用計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的

運(yùn)算.同時(shí)，增強(qiáng)解斜三角形的能力

課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們一起研究了余弦定理的證明方法，同時(shí)又進(jìn)一步了解了向量的工具性作用，并

且明確了利用余弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊、一角解三角形.

布置作業(yè)

課本第8頁練習(xí)第1(1)、2(1)題

板書設(shè)計(jì)

余弦定理

1.余弦定理2.證明方法余弦定理所能解決的兩類問題:

(1)平面幾何法已知三邊求任意角；

(2)向量法(2)已知兩邊、一角解三角形

學(xué)生練習(xí)

第17頁共172頁

1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論

從容說課

本節(jié)課中，應(yīng)先通過分析典型例題，幫助學(xué)生理解并掌握正弦定理和余弦定理；應(yīng)指出正弦定

理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然.但解題

的時(shí)候，應(yīng)有最佳選擇.教學(xué)過程中，我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問

題進(jìn)行歸類，列表如下：

解斜三角形時(shí)可用的定理和適用類型備注

公式

余弦定理(1)已知三邊類型（1）（2）有解時(shí)只有一

6Z2=/?2+C2-2/7CC(7SA(2)已知兩邊及其夾角解

b1=a1+c1-2accosB

/=扶+〃2-2/740仆。

正弦定理(3)已知兩角和一邊類型（3）在有解時(shí)只有一解,

abc-2R(4)已知兩邊及其中一邊的類