數(shù)據(jù)的特征值

數(shù)據(jù)的特征值第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/101本章重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):

了解和掌握算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的含義及其計(jì)算方法；正確使用離散系數(shù)比較不同均值的代表性。難點(diǎn):

是偏度和峰度的含義及其計(jì)算方法。第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/102學(xué)習(xí)目標(biāo)正確理解平均指標(biāo)與變異指標(biāo)的概念的、意義與作用，明確其種類和區(qū)別；掌握平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的計(jì)算方法，以及應(yīng)用的原則和條件；掌握偏度和峰度的含義及其計(jì)算方法；了解各種分位數(shù)的概念與意義。第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/103數(shù)據(jù)分布的特征：一、集中趨勢(shì):反映數(shù)據(jù)向其中心靠攏或聚集程度；二、離中趨勢(shì)；數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢(shì)(又稱離散程度)；三、偏態(tài)和峰態(tài)；偏態(tài)是對(duì)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱性的度量；峰度是指數(shù)據(jù)分布的平峰或尖峰程度（形狀）。第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/104數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì):反映數(shù)據(jù)向其中心靠攏或聚集程度

(位置)偏態(tài)和峰態(tài)；偏態(tài)：反映數(shù)據(jù)偏斜程度；峰度：數(shù)據(jù)分布的平峰或尖峰程度（形狀）離中趨勢(shì)；數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢(shì)

(分散程度)第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度數(shù)據(jù)特征的測(cè)度平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)離散系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰態(tài)四分位差異眾比率偏態(tài)分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)集中趨勢(shì)——數(shù)值平均數(shù)

p75

一、算術(shù)平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù)三、幾何平均數(shù)數(shù)值型數(shù)據(jù)的平均數(shù)第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/107集中趨勢(shì)

(centraltendency)一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值注意：低層次數(shù)據(jù)的測(cè)度方法也適用于高層次的數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測(cè)度方法往往不適用于低層次的數(shù)據(jù)。第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/108一、算術(shù)平均數(shù)

均值（算術(shù)平均數(shù)）定義：將一組數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的一個(gè)數(shù)值，稱為算術(shù)平均數(shù)（average）或均值（mean)。

算數(shù)平均數(shù)，又有簡(jiǎn)單算數(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)之分第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/109一、算術(shù)平均數(shù)

設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…，xn（未分組數(shù)據(jù)）各組的組中值為：x1，x2，…，xk

（組距分組數(shù)據(jù)）

相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fk簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五【例3.1】根據(jù)表3.1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算職工通信費(fèi)用支出額平均水平。p72解：第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五

身高組中值人數(shù)比重（cm）xi（cm)fi（人）（%）150-155152.533.61155-160157.51113.25160-165162.53440.96165-170167.52428.92170以上172.51113.25

總計(jì)--83100.00

例3.2分組資料均值的計(jì)算：某年級(jí)83名女生身高資料組距數(shù)據(jù)次數(shù)f頻率f/∑f變量值x加權(quán)算術(shù)平均數(shù)第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五【例3.3】依據(jù)整理所得表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算職工通信費(fèi)用支出額平均水平。p74解：或第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五

計(jì)算算數(shù)平均數(shù)，

注意：用各組的組中值代表其實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)時(shí)，通常假定各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)是均勻分布的，相應(yīng)的組中值近似等于各組的平均數(shù)。權(quán)數(shù)：衡量變量值相對(duì)重要性的數(shù)值。各個(gè)變量值的權(quán)數(shù)要起作用必須具備兩個(gè)條件：一是各個(gè)變量值之間有差異；二是各個(gè)變量值的權(quán)數(shù)有差異。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)在權(quán)數(shù)相等時(shí)的特例。第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1014算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)p75-76

1．各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零，即。第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1015算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值；一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在；易受極端值的影響；各變量值與其均值的離差之和等于零；5、6.由組距分組資料計(jì)算的均值有近似值性質(zhì)；7、用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)（均值）特征：第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五二、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)也稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是對(duì)變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，以表示。根據(jù)掌握的資料不同，調(diào)和平均數(shù)也有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)兩種形式。其計(jì)算公式為：

第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1018例題分析【例3.4]假設(shè)甲、乙、丙三種蘋果的價(jià)格分別為每斤2.4元、1.8元及1.5元（1）若三種蘋果各買1元，試問所購蘋果的平均價(jià)格又為多少？（2）如果甲、乙、丙三種蘋果分別購買5元、8元和10元，試問其平均價(jià)格為多少？解：計(jì)算平均價(jià)格的是用所付金額除以所購數(shù)量。（1）（2）第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1019計(jì)算調(diào)和平均數(shù)，注意：1.從數(shù)學(xué)定義角度看算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)是不一樣的，但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用領(lǐng)域，調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上只是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，二者本質(zhì)上是一致的，惟一的區(qū)別是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)。2.計(jì)算比率的平均數(shù)時(shí)，如果已知比率及其基本計(jì)算式的分母資料，則采用加權(quán)算術(shù)平均法；如果已知比率及其基本計(jì)算式的分子資料，則采用加權(quán)調(diào)和平均法。第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1020三、幾何平均數(shù)(geometricmean)p78幾何平均數(shù)也稱幾何均值，它是n個(gè)變量值乘積的n次方根。幾何平均法是計(jì)算平均比率或平均發(fā)展速度最適用的一種方法。如果分布數(shù)列中各變量值呈幾何級(jí)數(shù)變化或頻率分布極不對(duì)稱，也常采用幾何平均法來計(jì)算平均數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料的不同，幾何平均數(shù)也有簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)之分。

第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1021幾何平均數(shù)的計(jì)算公式用途：適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均。主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度、平均增長率、平均比率對(duì)于未分組的資料，幾何平均數(shù)的計(jì)算公式為第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1022補(bǔ)充：發(fā)展速度、增長速度概念及關(guān)系環(huán)比發(fā)展速度y1/y0y2/y1y3/y2yn/yn-1定基發(fā)展速度y1/y0y2/y0y3/y0yn/y0注意：環(huán)比發(fā)展速度的連乘積=相應(yīng)的定基發(fā)展速度增長速度=發(fā)展速度-1

環(huán)比增長速度=環(huán)比發(fā)展速度-1

定基增長速度=定基發(fā)展速度-1第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五平均增長率(averagerateofincrease)①序列中各逐期環(huán)比值(也稱環(huán)比發(fā)展速度)的幾何平均數(shù)減1后的結(jié)果②描述現(xiàn)象在整個(gè)觀察期內(nèi)平均增長變化的程度③通常用幾何平均法求得。計(jì)算公式為第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五例題分析【例3.8】已知某市2001～2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值的發(fā)展速度（以上年為100）依次分別為112%、108%、114%、116%和113%。試計(jì)算這5年國內(nèi)生產(chǎn)總值的平均發(fā)展速度。如果已知的是各年的增長速度，要計(jì)算若干年的平均增長速度，則需要先將增長率加上100%得到發(fā)展速度，再根據(jù)上述方法計(jì)算平均發(fā)展速度，最后用平均發(fā)展速度減100%則得到平均增長速度。第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1025例題分析【例3.9】甲投資銀行某項(xiàng)投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，若將過去20年的年利率資料如表3.9所示.要求：試計(jì)算20年的平均年利率。解:第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1026應(yīng)用幾何平均數(shù)時(shí)注意幾何平均數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中受到很多限制；如果被平均的變量值中有一個(gè)為零，則不能計(jì)算幾何平均數(shù)；如果變量值為負(fù)數(shù)，開偶次根會(huì)形成虛根，失去意義；幾何平均數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的范圍比算術(shù)平均數(shù)要窄。第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1027幾何平均數(shù)的特點(diǎn)

1．幾何平均數(shù)受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)小。2．如果變量值有負(fù)值，計(jì)算出的幾何平均數(shù)就會(huì)成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)。3．它僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)。4．幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1028第二節(jié)集中趨勢(shì)—位置平均數(shù)p80一、眾數(shù)Mo二、中位數(shù)Me三、四分位數(shù)QU、QL第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1029集中趨勢(shì)—位置平均數(shù)位置平均數(shù)，就是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值；對(duì)于整個(gè)總體來說，具有非常直觀的代表性，常用來反映分布的集中趨勢(shì)；常用的位置平均數(shù)有眾數(shù)和中位數(shù)。第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1030一、眾數(shù)p80（一）眾數(shù)的含義眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。眾數(shù)直觀地說明分布的集中趨勢(shì)，并用它作為反映變量值一般水平的代表值。在某些場(chǎng)合只有眾數(shù)才適合作為總體的代表值。第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1031（二）眾數(shù)的計(jì)算方法1．觀察法求眾數(shù)如果數(shù)據(jù)已按單個(gè)變量值整理成頻率分布表或者是分類數(shù)據(jù)表，則次數(shù)出現(xiàn)最多或頻率最大的那個(gè)變量值即為眾數(shù)?！纠?.11】某制鞋廠要了解消費(fèi)者最需要哪種型號(hào)的男皮鞋，調(diào)查了某百貨商場(chǎng)2005年10月男皮鞋的銷售情況，得到資料如表3.10所示。第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1032眾數(shù)的計(jì)算--例題分析要求：試根據(jù)上表資料計(jì)算男皮鞋銷售量的眾數(shù)。解：銷售量最多的是規(guī)格為25.5厘米的鞋號(hào)，銷售量320雙，占32%，故眾數(shù)為25.5公分。第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五眾數(shù)的計(jì)算--例題分析p81【例3.10】某高校電影院在安排2010年影片放映計(jì)劃時(shí)，分別按性別隨機(jī)抽取200名男女學(xué)生，登記其對(duì)影片類型的取向。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3.10所示。要求：試分析學(xué)生對(duì)影片取向的集中趨勢(shì)。解：

7種類型的影片中，男生最喜歡看動(dòng)作片，人數(shù)為48人，占24%，眾數(shù)即為動(dòng)作片這種影片類型；女生最喜歡看言情片，人數(shù)為46人，占23%，眾數(shù)即為言情片這種影片類型；男女生對(duì)影片類型的取向，綜合而言是動(dòng)作片，眾數(shù)為動(dòng)作片這種影片類型。

第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定方法單變量值分組資料某年級(jí)83名女生身高資料

身高人數(shù)（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634

身高人數(shù)（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計(jì)83

STAT眾數(shù)第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1035

注意：

眾數(shù)不僅適用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而且適用于測(cè)度不能計(jì)算平均數(shù)的分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1036眾數(shù)的計(jì)算方法2．插值法求眾數(shù)對(duì)于組距分組形成的分布數(shù)列，當(dāng)頻率分布屬于完全對(duì)稱分布，而眾數(shù)所在組的變量值分布比較均勻時(shí)，可用觀察法求眾數(shù)，即以眾數(shù)組的組中值作為所求的眾數(shù)。完全對(duì)稱分布不存在，眾數(shù)組前后各組的次數(shù)不一定相等，眾數(shù)就不等于組中值，因此需要采用插值法求眾數(shù)。第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1037組距分組數(shù)據(jù)，眾數(shù)的計(jì)算步驟1、先找到眾數(shù)所在的組；2、按該組次數(shù)與前后相鄰兩組分布次數(shù)之差所占的比重來推算眾數(shù)值。如果眾數(shù)組前一組的次數(shù)大于后一組的次數(shù)，則眾數(shù)值小于其所在組的組中值；反之，眾數(shù)值則大于其所在組的組中值；若眾數(shù)組前后相鄰組的次數(shù)相等，則眾數(shù)值等于其所在組的組中值。3、計(jì)算眾數(shù)有上限和下限公式之分。

第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1038眾數(shù)的計(jì)算方法第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1039

身高人數(shù)比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

總計(jì)83100某年級(jí)83名女生身高資料③數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定方法組距分組資料STAT眾數(shù)組第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五

眾數(shù)的特點(diǎn)1．眾數(shù)不受分布數(shù)列的極大或極小值的影響，眾數(shù)對(duì)分布數(shù)列有好的代表性。2．?dāng)?shù)據(jù)的分布沒有明顯的集中趨勢(shì)或最高峰點(diǎn)，眾數(shù)可能不存在；3.有兩個(gè)或多個(gè)高峰點(diǎn)，可以有兩個(gè)或多個(gè)眾數(shù)。眾數(shù)不具有唯一性。3．眾數(shù)缺乏敏感性。第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1041二、中位數(shù)Mep83（一）中位數(shù)的含義中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個(gè)數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)變量值稱為中位數(shù)。中位數(shù)用Me表示。特點(diǎn)：在一個(gè)等差數(shù)列或一個(gè)正態(tài)分布數(shù)列中，中位數(shù)就等于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)不受極端變量值的影響。第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1042中位數(shù)的計(jì)算中位數(shù)概念：排序后處于中間位置上的值1．根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)。Me50%50%第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1043例題分析【例3.12】某班第一、二兩個(gè)小組統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試成績排序結(jié)果如表3.13所示。要求：分別計(jì)算兩小組成績的中位數(shù)解：兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的考試成績已經(jīng)分別按由低到高排列。第一小組有7個(gè)學(xué)生，第4位為中位數(shù)的位置，Me=75.第二小組有8個(gè)學(xué)生，中位數(shù)的位置處于第四和第五個(gè)學(xué)生之間。第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1044中位數(shù)的計(jì)算2．由分組資料確定中位數(shù)

如果由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，然后再按下限公式或上限公式確定中位數(shù)。第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1045組距分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的確定方法

身高fi人數(shù)累計(jì)（CM）（人）人數(shù)150-15533155-1601114160-1653448165-1702472170以上1183

總計(jì)83某年級(jí)83名女生身高資料STAT中位數(shù)組第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五

中位數(shù)的特點(diǎn)1．不受分布數(shù)列的極大或極小值影響。2．有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時(shí)，中位數(shù)的代表性會(huì)受到影響。3．中位數(shù)缺乏敏感性。

第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1047三、四分位數(shù)p85中位數(shù)是根據(jù)其在數(shù)列中所處的位置來確定的一個(gè)平均數(shù)，作為各變量值的一個(gè)代表值，以反映分布數(shù)列的集中趨勢(shì)。為了進(jìn)一步了解一組數(shù)據(jù)分布的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，觀察變量值在各個(gè)區(qū)間的一般水平，還可以計(jì)算四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。

第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1048

四分位數(shù)四分位數(shù)是通過3個(gè)點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為四個(gè)部分，其中每部分包含25%的數(shù)據(jù)。

QLMeQU25%25%25%25%處于25%和75%位置上的值即四分位數(shù)特點(diǎn)：不受極端值的影響要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)（各種分位數(shù)可由spss計(jì)算）第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1049四分位數(shù)的計(jì)算1.根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算四分位數(shù)時(shí)，先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后再確定四分位數(shù)所在的位置當(dāng)四分位數(shù)的位置不是整數(shù)時(shí)，可根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)所在位置兩側(cè)變量值之差的數(shù)值。第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1050四分位數(shù)的計(jì)算—例題分析【例3.14】將例3.13中兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績合并如下：

要求：(1）計(jì)算前15個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績的四分位數(shù)；（2）如果增加一個(gè)學(xué)生的成績95分，試計(jì)算16個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績的四分位數(shù)。第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1051四分位數(shù)的計(jì)算—例題分析第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1052四分位數(shù)的計(jì)算2.根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算四分位數(shù)

第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1053四分位數(shù)的計(jì)算第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1054（二）十分位數(shù)

十分位數(shù)是指將按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)劃分為10等分的9個(gè)變量值，用以反映一組數(shù)據(jù)在各個(gè)區(qū)間的一般水平。第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1055十分位數(shù)的計(jì)算十分位數(shù)的具體計(jì)算方法與計(jì)算四分位數(shù)類似，即先計(jì)算出各個(gè)十分位數(shù)所處的位置。如果為整數(shù)，與計(jì)算的位置相對(duì)應(yīng)的變量值就是所求的十分位數(shù)；如果不是整數(shù)，每個(gè)位置的值出現(xiàn)小數(shù)，此時(shí)，所求的十分位數(shù)等于整數(shù)位的變量值加上小數(shù)乘以前后兩項(xiàng)變量值之差的數(shù)值。第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1056（三）百分位數(shù)第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1057百分位數(shù)的計(jì)算求出各個(gè)百分位數(shù)所處的位置后，具體計(jì)算每個(gè)百分位數(shù)的方法與四分位數(shù)類似，故不再詳細(xì)介紹。如果數(shù)據(jù)比較多，計(jì)算百分位數(shù)可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)分布中每個(gè)小區(qū)間的一般水平，用以補(bǔ)充說明平均數(shù)所反映的集中趨勢(shì)。第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1058算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)評(píng)算術(shù)平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)符合上述六個(gè)條件，應(yīng)用范圍最廣。易受極端值的影響。當(dāng)分布數(shù)列中存在開口組時(shí)，會(huì)影響平均數(shù)的準(zhǔn)確性。算術(shù)平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1059（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在數(shù)據(jù)分布呈完全對(duì)稱的正態(tài)分布時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者相等。在次數(shù)分布非對(duì)稱時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者不相等，但具有相對(duì)固定的關(guān)系。在尾巴拖在右邊的正偏態(tài)（或右偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最小，中位數(shù)適中，算術(shù)平均數(shù)最大。第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1060

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系

左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值對(duì)何種數(shù)據(jù)而言的？第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1061眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系p84偏斜適度時(shí)，三者的關(guān)系：第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1062第三節(jié)離中趨勢(shì)的測(cè)度p85數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散程度)從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性注意：數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性越差；數(shù)據(jù)的離散程度越小，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性越好。不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測(cè)度值第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1063下面是兩個(gè)總體關(guān)于年齡分布的數(shù)據(jù),相對(duì)而言,那個(gè)總體的年齡分布分散,差異大些?46、47、48、49、50、51、52、53、548、15、20、30、5070、80、85、92總體1總體2第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1064離中趨勢(shì)；數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢(shì)

(分散程度)總體2總體1第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)值型數(shù)據(jù)：①全距(或稱極差)（range）②平均差（meandeviation）③方差和標(biāo)準(zhǔn)差（Varianceandstandarddeviation）④相對(duì)離散程度：離散系數(shù)（CoefficientofVariation）分類數(shù)據(jù)：異眾比率（variationratio）順序數(shù)據(jù)：四分位差（quartilerange）離散程度的測(cè)度第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五一、全距（Range）全距也稱為極差，是指一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，用R表示。即：R＝最大變量值－最小變量值沒有開口組的組距分布數(shù)列計(jì)算全距，可以用最大組的上限值減去最小組的下限值，得到全距的近似值。全距可以反映一組數(shù)據(jù)的差異范圍。第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1067全距的計(jì)算【例3.16】表3-14是兩組人口關(guān)于年齡分布的數(shù)據(jù),要求計(jì)算全距。解：第一組全距第二組全距

注意：如果組距分布數(shù)列中有開口組，則不能計(jì)算全距。全距計(jì)算簡(jiǎn)單，易理解，易受極端值的影響;不能反映中間數(shù)據(jù)分散狀況，不能準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的分散程度。第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1068

二、異眾比率

（variationratio）① 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率②計(jì)算公式為③用于對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度

④用于衡量眾數(shù)的代表性第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五異眾比率異眾比率主要用于衡量眾數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度。異眾比率越大，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大，眾數(shù)的代表性就越差；異眾比率越小，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小，眾數(shù)的代表性越好。異眾比率適合測(cè)度分類數(shù)據(jù)、測(cè)度順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)的離散程度。第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1070異眾比率的應(yīng)用

p89【例3.17】根據(jù)例3.10(第34張)的數(shù)據(jù)計(jì)算學(xué)生對(duì)影片取向的異眾比率。【解】根據(jù)公式得說明：比較上面的三個(gè)異眾比率，全部樣本學(xué)生的異眾比率最大，說明其眾數(shù)的代表性最差；男生的異眾比率略小于女生的異眾比率，說明男生對(duì)影片取向的眾數(shù)的代表性略好于女生對(duì)影片取向的眾數(shù)的代表性。第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1071三、四分位差p89

注意：①上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=QU

–QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度②對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度③不受極端值的影響④用于衡量中位數(shù)的代表性第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1072四分位差的應(yīng)用注意：四分位差不易受極端值的影響，可以測(cè)量含有開口組的數(shù)據(jù)分布的差異程度，但不能反映所有變量值的差異程度?！纠恳罁?jù)前面例3.16中兩組人口年齡的四分位差：

結(jié)論：第一、第二組的中位數(shù)均為50歲，但其代表性不同。第一小組的中位數(shù)代表性相對(duì)高些，因?yàn)橄鄬?duì)而言，四分位差小，數(shù)據(jù)分布集中。第二組年齡中位數(shù)代表性低些，因?yàn)樵摻M年齡差異大，年齡分布相對(duì)分散。第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1073四、平均差（AverageDeviation）平均差就是各個(gè)變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差的絕對(duì)值的平均數(shù)，以AD表示。它綜合反映了各變量值的變動(dòng)程度，是各個(gè)離差的代表值。平均差越大，則表示變量值的離散程度越大，說明平均數(shù)的代表性越小；平均差越小，則表示變量值的離散程度越小，說明平均數(shù)的代表性越大。第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1074平均差的計(jì)算①各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)諸變量值與均值的偏差②能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度③數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1075平均差的計(jì)算【例3.18】

要求：根據(jù)例3.16所給的資料分別計(jì)算第一、第二組人口年齡的平均差，并比較其平均年齡的代表性。解：結(jié)論：

比較兩個(gè)平均差可知，兩組人口年齡平均數(shù)均為50歲，第一組平均差小，人口年齡分布的差異小，平均年齡的代表性好；第二組平均差大，年齡分布的離散水平大，平均年齡的代表性差些。第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1076

平均差的計(jì)算【例3.19】根據(jù)表的資料計(jì)算120名職工通信費(fèi)用支出額的平均差。解：第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1077平均差的含義：

每名職工通信費(fèi)用支出額有高有低，與平均數(shù)165元相比，差異有大有小。平均差表明：以平均通信費(fèi)用165元為中心，每名職工通信費(fèi)用支出額與平均水平的平均差距為42.42元。注意：平均差易理解、計(jì)算簡(jiǎn)便；可以說明數(shù)據(jù)分布的離中趨勢(shì)；不適宜進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，其應(yīng)用范圍易受限制。第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五五、方差與標(biāo)準(zhǔn)差p92方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)，通常以表示總體方差，s2表示樣本方差。標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，是方差的平方根，一般用表示總體標(biāo)準(zhǔn)差，以S表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算也分為簡(jiǎn)單平均法和加權(quán)平均法。對(duì)于總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)，公式略有不同。

第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1079方差與標(biāo)準(zhǔn)差注意：方差和標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與其均值相比平均相差的數(shù)值；它能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度；方差和標(biāo)準(zhǔn)差是應(yīng)用最廣泛的離散程度測(cè)度值。

第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1080總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式總體標(biāo)準(zhǔn)差第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1081樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（記?。﹑92

(simplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用【例3.20】要求：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算120名職工通信費(fèi)用支出額的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1083方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算【解】已知平均數(shù)為165元，因是隨機(jī)抽取的樣本資料，故依據(jù)樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的公式計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，樣本中每名職工月通信費(fèi)用支出額與月平均通信費(fèi)用支出額165元的水平相比，差異有大有小，但平均偏差是51.4元。第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1084方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用【例3.22】考察一臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)狀況，利用抽樣程序來檢驗(yàn)其生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量是否穩(wěn)定。據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，如果樣本零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差大于0.3公分，則表明該零件的質(zhì)量不穩(wěn)定，需要對(duì)該機(jī)器進(jìn)行停工檢修。數(shù)據(jù)如下：要求：根據(jù)資料，判斷該機(jī)器是否需要停工修。第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1085方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用解：計(jì)算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.2126公分，小于0.3分，表明該臺(tái)機(jī)器不需要停工檢修。注意：標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)重要的偏差，描述了各觀察值與均值的平均距離。第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五六、離散系數(shù)p94離散系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)或變異系數(shù)）通常是用標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算的，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，其計(jì)算公式為：式中：Vσ和Vs分別表示總體離散系數(shù)和樣本離散系數(shù)。第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1087離散系數(shù)的應(yīng)用平均水平或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值，不能直接用離散程度的測(cè)度值比較。平均水平或計(jì)量單位不同的不同組別進(jìn)行比較，需計(jì)算離散系數(shù)。離散系數(shù)大的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度小。第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1088離散系數(shù)的應(yīng)用【例3.22】從某管理局所屬的兩家企業(yè)中各隨機(jī)抽取10名職工，調(diào)查獲得他們的年收入數(shù)據(jù)如表所示：要求：根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算男女生的平均身高以及標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，說明兩組數(shù)據(jù)的離散程度及平均數(shù)的代表性。第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1089結(jié)論：

計(jì)算結(jié)果表明，v乙<v甲，說明乙企業(yè)職工年收入的離散程度小于甲企業(yè)的。說明乙企業(yè)職工年收入平均水平比的甲企業(yè)的更具有代表性。

注意：解決問題的程序與步驟。(四步)v甲=4667014354.25=30.76%v乙=5338015277.4=28.62%第90頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1090七、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)問題：某同學(xué)在期末考試中，英語成績91分，數(shù)學(xué)成績85分，問該同學(xué)這兩門課，哪門成績更好些？該班英語平均成績105分，標(biāo)準(zhǔn)差7分；該班數(shù)學(xué)平均成績80分標(biāo)準(zhǔn)差5分。該班80人，成績服從對(duì)稱分布標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式為：第91頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1091標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算

(標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱標(biāo)準(zhǔn)化值)

①對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量②可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(離群數(shù))③用于對(duì)變量值的標(biāo)準(zhǔn)化處理前例中，

Z＜0,觀察值低于平均數(shù)，位于平均值左側(cè)；Z＞0,觀察值高于平均水平，位于平均值右側(cè)。第92頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì))P97注意：

z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

第93頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1093標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì))一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的均值等于02. 一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的方差等于1第94頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1094經(jīng)驗(yàn)法則

p97標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可用以判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)。經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí)，約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。第95頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1095切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)p97如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再適用。切比雪夫不等式，它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的數(shù)據(jù)落在k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù)切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”第96頁，共108頁，2023年，2月20日，星期五2023/4/1096切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)p97至少有75%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)至少89%的數(shù)