全國10月自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)試題解析

全國2012年10月概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）真題與解析一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。已知事件A，B，A∪B的概率分別為0.5，0.4，0.6，則P（A）=0.1B.0.2C.0.3D.0.5答案】B解析】因為，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以 ＝0.5－0.3＝0.2，故選擇B.

【提示】1.本題涉及集合的運算性質(zhì)：（i）交換律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）結(jié)合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；∩（B∪C）；A與B互不相容或互斥，（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪∩（B∪C）；A與B互不相容或互斥，（iv）摩根律（對偶律） ,.本題涉及互不相容事件的概念和性質(zhì)：若事件A與B不能同時發(fā)生，稱事件可表示為A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.本題略難，如果考試時遇到本試題的情況，可先跳過此題，有剩余時間再考慮。2.設(shè)F（x）為隨機變量X的分布函數(shù)，則有A.F（-∞）=0，F(xiàn)（+∞）=0B.F（-∞）=1，F(xiàn)（+∞）=0C.F（-∞）=0，F(xiàn)（+∞）=1D.F（-∞）=1，F(xiàn)（+∞）=1答案】C解析】根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇C?！咎崾尽糠植己瘮?shù)的性質(zhì)：0≤F（x）≤1；對任意x1，x2（x1<x2），都有P{x1<X≤x2}=F（x2）-F（x1）；F（x）是單調(diào)非減函數(shù)；⑤F（x）右連續(xù)；⑥設(shè)x為f（x）的連續(xù)點，則F‘（x）存在，且F'（x）=f（x）3.設(shè)二維隨機變量（X，Y）服從區(qū)域D：x2+y2≤1上的均勻分布，則（X，Y）的概率密度為A.f（x，y）=1B.C.f（x，y）=D.【答案】D【解析】由課本p68，定義3－6：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0.如果二維隨機變量（X,Y）的概率密度為，則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布.本題x2+y2≤1為圓心在原點、半徑為1的圓，包括邊界，屬于有界區(qū)域，其面積 S=π，故選擇D.【提示】課本介紹了兩種二維連續(xù)型隨機變量的分布：均勻分布和正態(tài)分布，注意它們的定義。若（X,Y）服從二維正態(tài)分布，表示為（X,Y）～ .設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則E（2X－1）=A.0B.1C.3D.4【答案】A【解析】因為隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，即λ=2，所以 ；又根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故選擇A.提示】1.常用的六種分布1）常用離散型隨機變量的分布：X01概率qpA.兩點分布分布列數(shù)學(xué)期望：E（X）=P方差：D（X）=pq。二項分布：X～B（n,p）分布列： ，k=0，1，2，?，n；數(shù)學(xué)期望：E（X）=np方差：D（X）=npq泊松分布：X～P（λ）分布列： ，k=0，1，2，數(shù)學(xué)期望：E（X）=λ方差：D（X）＝λ（2）常用連續(xù)型隨機變量的分布A.均勻分布：X～U[a,b]密度函數(shù)：,分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：E（X）＝④方差：D（X）＝Ｂ.指數(shù)分布：X～E（λ）密度函數(shù)：分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：E數(shù)學(xué)期望：E（X）＝方差：D（方差：D（X）＝C.正態(tài)分布（A）正態(tài)分布：X～N（μ,σ密度函數(shù)：，－∞密度函數(shù)：，－∞<x<＋∞分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：E（X）＝μ,分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：E（X）＝μ,④方差：2D（X）＝σ2，標(biāo)準(zhǔn)化代換：若X～N（μ,σ2)，則Y～N（0,1）.B）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：B）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：X～N（0,1）密度函數(shù)： ，－∞<x<＋∞分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：分布函數(shù)：數(shù)學(xué)期望：，－∞<x<＋∞E（X）＝0,方差：D（X）＝1.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E（c）=c，c為常數(shù)；E（aX）=aE（X），a為常數(shù)；E（X+b）=E（X）+b，b為常數(shù)；E（aX+b）=aE（X）+b，a，b為常數(shù)。設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律A.B.2C.4D.6答案】B解析】由已知的分布律，X的邊緣分布律為X12P2/31/3則，；根據(jù)方差的性質(zhì)有D（3X）=9D（X）=2，故選擇B.【提示】（1）離散型隨機變量的方差：定義式計算式：D（X）=E（X）2-[E（X）]2（2）方差的性質(zhì)①D（c=0），c為常數(shù)；D（aX）=a2D（X），a為常數(shù)；D（X）+b）=D（X），b為常數(shù)；D（aX+b）=a2D（X），a，b為常數(shù)。設(shè)X1，X2，?，Xn?為相互獨立同分布的隨機變量序列，且 E（X1）=0，D（X1）=1，則A.0 B.0.25C.0.5 D.1答案】C解析】不等式等價于不等式由獨立同分布序列的中心極限定理，代入μ=0，σ=1，則故選擇C.【提示】獨立同分布序列的中心極限定理：（課本 P120，定理5－4）：設(shè)X1，X2，?，Xn，?是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差 E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i＝1，2，?）.記隨機變量的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意實數(shù)x，有其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。應(yīng)用：不論X1，X2，?，Xn，?服從什么分布，當(dāng)n充分大時，（1） 近似服從正態(tài)分布；2） 近似服從正態(tài)分布，其中 ，D（Xi）=σ2（i＝1，2，?）。（2）對于大數(shù)定律與中心極限定理，除了清楚條件和結(jié)論外，更重要的是理解它們所回答的問題，以及在實際中的應(yīng)用。（課本 P118，看書講解）D.設(shè)x1,x2，?，xn為來自總體N（μ，σ2）的樣本，μ，σ2是未知參數(shù)，則下列樣本函數(shù)為統(tǒng)計量的是D.A.C.【答案】D【解析】根據(jù)統(tǒng)計量定義，選擇 D?！咎崾尽空n本p132，定義6－1：設(shè)x1,x2,?,xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T（x1,x2,?,xn）中包含任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計量.對總體參數(shù)進行區(qū)間估計，則下列結(jié)論正確的是A.置信度越大，置信區(qū)間越長B.置信度越大，置信區(qū)間越短C.置信度越小，置信區(qū)間越長D.置信度大小與置信區(qū)間長度無關(guān)【答案】D【解析】選項A，B，C不正確，只能選擇D。【提示】置信區(qū)間長度的增大或減小不僅與置信度有關(guān)，還與樣本容量有關(guān)，其中的規(guī)律是：在樣本容量固定的情況下，置信度增大，置信區(qū)間長度增大，區(qū)間估計的精度降低；置信度減小，置信區(qū)間長度減小，區(qū)間估計的精度提高。在假設(shè)檢驗中，H0為原假設(shè)，H1為備擇假設(shè)，則第一類錯誤是A.H1成立，拒絕H0 B.H0成立，拒絕H0C.H1成立，拒絕H1 D.H0成立，拒絕H1【答案】B【解析】假設(shè)檢驗中可能犯的錯誤為：第一類錯誤，也稱“拒真錯誤”；第二類錯誤，也稱“取偽錯誤”。無論“拒真”還是“取偽”，均是針對原假設(shè)而言的。故選擇 B。【提示】（1）假設(shè)檢驗全稱為“顯著性水平為 α的顯著性檢驗”，其顯著性水平α為犯第一類錯誤的概率；而對于犯第二類錯誤的概率β沒有給出求法；（2）當(dāng)樣本容量固定時，減小犯第一類錯誤的概率 α，就會增大犯第二類錯誤的概率 β；如果同時減小犯兩類錯誤的概率，只有增加樣本容量。設(shè)一元線性回歸模型： 且各εi相互獨立.依據(jù)樣本（xi,yi）（i=1,2,?,n）得到一元線性回歸方程 ，由此得xi對應(yīng)的回歸值為 ，yi的平均值，則回歸平方和S回為TOC\o"1-5"\h\zA. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)回歸平方和的定義，選擇 C?！咎崾尽?.根據(jù)回歸方程的的求法，任何一組樣本觀察值都可以得到一個回歸方程；2.在回歸方程的顯著性檢驗的F檢驗法（課本p188）中，要檢驗所求回歸方程是否有意義，必須分析yi隨xi變化而產(chǎn)生的偏離回歸直線的波動的原因。為此，選擇了一個不變值――y i的平均值為基準(zhǔn)，總偏差為＝此式稱為平方和分解式。可知，S回反映了觀察值yi受到隨機因素影響而產(chǎn)生的波動，S回反映了觀察值yi偏離回歸直線的程度。所以，若回歸方程有意義，則 S回盡可能大，S剩盡可能小。非選擇題部分二、填空題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）0.8，0.50.8，0.5，則甲、乙兩人同時【答案】0.4【解析】設(shè)A，B分別表示甲、乙兩人擊中目標(biāo)的兩事件，已知 A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.5＝0.4故填寫0.4.【提示】二事件的關(guān)系（1）包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記做 ；對任何事件C，都有 ，且0≤P（C）≤1；（2）相等關(guān)系：若 且，則事件A與B相等，記做A＝B，且P（A）=P（B）；（3） 互不相容關(guān)系：若事件A與B不能同時發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為A∩B=Ф，且P（AB）=0；（4）對立事件：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對立事件或逆事件，記做；滿足且.顯然：①；②，.（5）二事件的相互獨立性：若P（AB）=P（A）P（B）,則稱事件A,B相互獨立；性質(zhì)1：四對事件A、B，、A，A、，、其一相互獨立，則其余三對也相互獨立；性質(zhì)2：若A,B相互獨立，且P（A）>0,則P（B|A）=P（B）.設(shè)A，B為兩事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，則P（|）= 答案】解析】，由1題提示有，所以，，，所以提示】條件概率：事件故填寫.提示】條件概率：事件B（P（B）＞0）發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率 ；乘法公式P乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。答案】0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填寫0.8.【提示】本題給出一個結(jié)論：若，則有.X12345P2a0.10.3a0.3設(shè)隨機變量X的分布律則a= .【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以a=0.1，故填寫0.1.【提示】離散型隨機變量分布律的性質(zhì)：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，3，?，（1）pk≥0，k＝1，2，3，?；（2） ；（3） .2設(shè)隨機變量X～N（1，22），則P{-1≤X≤3}= .（附：Ф（1）=0.8413）【答案】0.6826解析】＝Ф（1）-Ф（-1）=2Ф（1）-1=2×0.8413-1=0.6826設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[2，θ]上的均勻分布，且概率密度則設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[2，θ]上的均勻分布，且概率密度則θ= .x)=答案】6解析】根據(jù)均勻分布的定義，θ-2=4，所以θ=6，故填寫6.17.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1則P{X=Y}= 【答案】0.4【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=0.1+0.2+0.1=0.4故填寫0.4.

18.設(shè)二維隨機變量（X，Y）～N（0，0，1，4，0），則X的概率密度fX（x）=答案】答案】【解析】根據(jù)二維正態(tài)分布的定義及已知條件，相關(guān)系數(shù)

要條件是X與Y【解析】根據(jù)二維正態(tài)分布的定義及已知條件，相關(guān)系數(shù)

要條件是X與Y相互獨立，則有f（x,y）=fx（x）fy（y）；p=0，即X與Y不相關(guān)，X與Y不相關(guān)的充又已知（X,Y）～N（0,0,1,4,0），所以X～N（0,1），Y～N（0,4）。因此，，.因此，，.故填寫，提示】本題根據(jù)課本p76，【例3－18】改編.19.設(shè)隨機變量X～U（-1，3），則D（2X-3）= .【答案】【解析】因為X～U（-1，3），所以 ，根據(jù)方差的性質(zhì)得故填寫.【提示】見5題【提示】。20.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律-11-10.250.2510.250.25則E（X2+Y2）= .【答案】2-1）2+12]×0.25+[12+（-1）2]-1）2+12]×0.25+[12+（-1）2]×0.25+（12+12）×0.25=2故填寫2.【提示】二維隨機變量函數(shù)的期望（課本變量（X,Y）的函數(shù)g（X,Y），（故填寫2.【提示】二維隨機變量函數(shù)的期望（課本變量（X,Y）的函數(shù)g（X,Y），（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，級數(shù)；（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機變量，積分收斂，則收斂，則，有，有21.設(shè)m為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為事件A的概率，則對任意正數(shù)ε答案】1提示】1.貝努利大數(shù)定律（課本提示】1.貝努利大數(shù)定律（課本p118，定理5－2）：設(shè)m為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為事件A的概率，則對任意正數(shù)數(shù)，p為事件A的概率，則對任意正數(shù)2.認真理解貝努利大數(shù)定律的意義ε，有＝1；22.設(shè)x122.設(shè)x1，x2，?，xn是來自總體P（λ）的樣本，是樣本均值，則D（）=【答案】【解析】已知總體X～P（λ），所以D（X）=λ，由樣本均值的抽樣分布有故填寫.解析】根據(jù)貝努利大數(shù)定律得＝1，故填寫1.提示】樣本均值的抽樣分布：定理6－1（課本提示】樣本均值的抽樣分布：定理6－1（課本p134）設(shè)x1，x2，?，xn是來自某個總體X的樣本，是樣本均值，1）若總體分布為n充分大時，22）若總體X分布未知（或不是正態(tài)分布），但 E（X）=μ，D（X）=σ2，則當(dāng)樣本容量的近似分布為23.設(shè)x1，x2，?，xn是來自總體B（20，p）的樣本，則p的矩估計= 解析】因為總體X～B（20,p），所以E（X）=μ=20p，而矩估計 ，所以p的矩估計＝，故填寫?！咎崾尽奎c估計的常用方法（1）矩法（數(shù)字特征法）：基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計值；用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值。估計方法：同A。（2）極大似然估計法A.基本思想：把一次試驗所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計值。B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為p（x;θ），θ∈⊙，其中θ為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，為θ可能

取值的空間，x1,x2,?,xn是來自該總體的一個樣本，函數(shù) 稱為樣本的似然函數(shù)；若某統(tǒng)計量滿足，則稱為θ的極大似然估計。估計方法利用偏導(dǎo)數(shù)求極大值）對似然函數(shù)求對數(shù)）對θ求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組）解方程或方程組得即為θ的極大似然估計。對于似然方程（組）無解時，利用定義：見教材 p150例7－10；理論根據(jù)：若是θ的極大似然估計，則即為g（θ）的極大似然估計。方法：用矩法或極大似然估計方法得到g（大似然估計方法得到g（θ）的估計 ，求出。設(shè)總體服從正態(tài)分布N（μ，1），從中抽取容量為16的樣本，ua是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)，則μ的置信度為0.96的置信區(qū)間長度是 .【答案】【解析】1-α=0.96，α=0.04，所以μ的置信度為0.96的置信區(qū)間長度是故填寫.【提示】1.本題類型（單正態(tài)總體，方差已知，期望的估計）的置信區(qū)間為2.記憶課本p162，表7－1，正態(tài)總體參數(shù)估計的區(qū)間估計表。設(shè)總體X～N（μ，σ2），且σ2未知，x1，x2，?，xn為來自總體的樣本， 和分別是樣本均值和樣本方差，則檢驗假設(shè)H0:μ=μ0;H1:μ≠μ0采用的統(tǒng)計量表達式為 .答案】解析】答案】解析】提示】1.提示】1.本題類型（單正態(tài)總體，方差未知，對均值的假設(shè)檢驗）使用t檢驗，統(tǒng)計量為2.記憶課本p1812.記憶課本p181，表8－4，各種假設(shè)檢驗（檢驗水平為 a）表。三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）一批零件由兩臺車床同時加工，第一臺車床加工的零件數(shù)比第二臺多一倍品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)不合格品的概率是0.06.（1）求任取一個零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二臺車床加工的概率 ..第一臺車床出現(xiàn)不合格【分析】本題考查全概公式和貝葉斯公式?！窘馕觥吭O(shè)A1、A2分別表示“第一、第二臺車床加工的零件”的事件，由已知有B表示“合格品”，，，，1）根據(jù)條件概率的意義，有，所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝ 。2）2）【提示】全概公式和貝葉斯公式：（1）全概公式：如果事件A1,A2,?,An滿足①A1,A2,?,An互不相容且P（Ai）＞0（1,2,?,n）；②A1∪A2∪?∪An=Ω，則對于Ω內(nèi)的任意事件B，都有 ；2）貝葉斯公式：條件同2）貝葉斯公式：條件同A，則，I=1,2,?,n。（3）上述事件A1,A2,?,An構(gòu)成空間Ω的一個劃分，在具體題目中，“劃分”可能需要根據(jù)題目的實際意義來選擇。27.已知二維隨機變量（X，Y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）.【分析】本題考查離散型二維隨機變量的邊緣分布及協(xié)方差。【解析】（1）根據(jù)二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律，有X的邊緣分布律為（2）由（1）有E（X）=0×0.6+1×0.4=0.4，E（Y）=（-1）×0.4+0×0.5+1×0.1=-0.3又+1×（-1）×0.1+1×0×0.3+1×1×0=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4×（-0.3）=0.02。【提示】協(xié)方差：A）定義：稱E（X-E（X））（Y=E（Y））為隨機變量X與Y的協(xié)方差。記做Cov（X,Y）B）協(xié)方差的計算離散型二維隨機變量：連續(xù)性二維隨機變量：協(xié)方差計算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）；特例：cov（X,Y）=D（X）

C）協(xié)方差的性質(zhì)：①Cov（X,Y）＝Cov（Y,X）；②Cov（aX,bY）＝abCov（X,Y），其中a，b為任意常數(shù)；Cov（X1+X2,Y）＝Cov（X1,Y）＋Cov（X2,Y）；若X與Y相互獨立，Cov（X,Y）＝0，協(xié)方差為零只是隨機變量相互獨立的必要條件，而不是充分必要條件；；四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）某次抽樣結(jié)果表明，考生的數(shù)學(xué)成績（百分制）近似地服從正態(tài)分布 N（75，σ2），已知85分以上的考生數(shù)占考生總數(shù)的5%，試求考生成績在65分至85分之間的概率.

分析】本題計算過程可按服從正態(tài)分布進行。解析】設(shè)考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)殡S機變量 X，已知X～N（75,σ2），且其中Z～N[0,1]。所以因此，考生成績在65分至85分之間的概率約為0.9.X與Y相互獨立.1）X的概率密度函數(shù)為Y的概率密度函數(shù)為2）因為X與X與Y相互獨立.1）X的概率密度函數(shù)為Y的概率密度函數(shù)為2）因為X與Y相互獨立，所以f（x,y）=f（x）f（y），則設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[0，1]上的均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求：（1）X及Y的概率密