函數(shù)及其應(yīng)用精選試題及答案

函數(shù)及其應(yīng)用一、核心考點1.求函數(shù)定義域的類型(1)已知解析式函數(shù)的定義域就是自變量的eq\x\bo(允許取值)范圍.(2)未知解析式已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域.①的定義域是eq\x\bo(x)的取值范圍；②的定義域是eq\x\bo(x)的取值范圍；③中的x與中的的取值范圍eq\x\bo(相同).(3)實際問題求定義域時，除要考慮使解析式有意義外，還要考慮使實際問題eq\x\bo(有意義).2.求函數(shù)值域的類型(1)常見函數(shù)的值域；(2)由常見函數(shù)eq\x\bo(復(fù)合)而成的函數(shù)的值域；(3)由常見函數(shù)作某些eq\x\bo(運算)而得的函數(shù)的值域.3.求函數(shù)值域的常用方法(1)直接法①一次函數(shù)的定義域為eq\x\bo()，值域為eq\x\bo().②反比例函數(shù)的定義域為eq\x\bo()，值域為eq\x\bo().③二次函數(shù)的定義域為eq\x\bo()，當(dāng)時，值域為eq\x\bo()；當(dāng)時，值域為eq\x\bo().(2)配方法二次函數(shù)，的值域求法：討論對稱軸在區(qū)間eq\x\bo(左)，區(qū)間內(nèi)偏eq\x\bo(左)，區(qū)間內(nèi)偏eq\x\bo(右)，區(qū)間eq\x\bo(右).(3)常數(shù)分離法線性分式函數(shù)(，)的定義域為eq\x\bo()，值域為eq\x\bo().分析：(4)換元法通過變量代換轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù)，體現(xiàn)eq\x\bo(化歸)思想.(5)單調(diào)性法根據(jù)函數(shù)的eq\x\bo(單調(diào))性求值域.(6)數(shù)形結(jié)合法利用eq\x\bo(數(shù)形結(jié)合)的思想方法求值域.(7)反解法通過反解，用表示，根據(jù)的取值范圍，得出的取值范圍.(8)判別式法利用eq\x\bo()求值域.(9)弦函數(shù)的有界性法利用eq\x\bo()或eq\x\bo()求值域.(10)基本不等式法利用eq\x\bo()(，)求值域.二、能力形成AUTONUM\*Arabic.若f(x)＝eq\f(1,log\f(1,2)(2x＋1))，則f(x)的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))【答案】C【解析】要使函數(shù)式有意義，x必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞0，,log\f(1,2)(2x＋1)≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(1,2)，,x≠0.,))所以f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)，故選C.選C.

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)y＝eq\f(1,\r(log0.5(4x－3)))的定義域為()A.(eq\f(3,4)，1) B.(eq\f(3,4)，＋∞)C.(1，＋∞) D.(eq\f(3,4)，1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】由log0.5(4x－3)＞0，得0＜4x－3＜1，∴eq\f(3,4)＜x＜1.即函數(shù)的定義域是(eq\f(3,4)，1)，故選A.

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是()A.[0，＋∞) B.[0，4] C.[0，4) D.(0，4)【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則16－4x≥0，即4x≤16.又因為4x>0，∴0<4x≤16，∴0≤16－4x<16，即函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域為[0，4).選C.

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ln(x＋1))＋eq\r(4－x2)的定義域為()A.[－2，0)∪(0，2] B.(－1，0)∪(0，2]C.[－2，2] D.(－1，2]【答案】B【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠1，,x＋1>0，,4－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x>－1，,－2≤x≤2.))所以f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，2].

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，有f(x)＝eq\f(1,x)，則當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f(x)的解析式為()A.f(x)＝－eq\f(1,x) B.f(x)＝－eq\f(1,x－2)C.f(x)＝eq\f(1,x＋2) D.f(x)＝－eq\f(1,x＋2)【答案】D【解析】設(shè)x<－2，則－2－x>0，由函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對稱，得f(x)＝f(－2－x)＝eq\f(1,－x－2)，所以f(x)＝－eq\f(1,x＋2).故應(yīng)選D.

AUTONUM\*Arabic.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A.[15，20] B.[12，25]C.[10，30] D.[20，30]【答案】C【解析】如圖△ADE∽△ABC，設(shè)矩形的另一邊長為y，則，所以y＝40－x，又xy≥300，所以x(40－x)≥300即，解得10≤x≤30.

AUTONUM\*Arabic.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x(x≥0),\f(1,x)(x<0)))，若f(a)＝a，則實數(shù)a的值是____.【答案】－1或eq\f(2,3)【解析】當(dāng)a≥0時，1－eq\f(1,2)a＝a，∴a＝eq\f(2,3).當(dāng)a<0時，eq\f(1,a)＝a，∴a＝－1.∴實數(shù)a的值是－1或eq\f(2,3).

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)的值域是____.【答案】【解析】反解法由，得，，.∵，∴，解得.

AUTONUM\*Arabic.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－x2,1＋x2)，則f(x)的解析式可以為____.【答案】f(x)＝eq\f(2x,1＋x2)，【解析】令t＝eq\f(1－x,1＋x)，，則x＝eq\f(1－t,1＋t)，∴f(t)＝eq\f((1＋t)2－(1－t)2,(1＋t)2＋(1－t)2)＝eq\f(2t,1＋t2)，∴f(x)＝eq\f(2x,1＋x2)，.

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)f(2x)的定義域是[1，2]，則函數(shù)f(x＋1)的定義域為____.【答案】[1，3]【解析】在函數(shù)f(2x)中，定義域為[1，2]，即1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴f(x＋1)中，2≤x＋1≤4，∴1≤x≤3f(x＋1)的定義域為[1，3].

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】(0，1)【解析】數(shù)形結(jié)合

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x－1)(x＞1)的最小值為____.【答案】3【解析】y＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r((x－1)·\f(1,x－1))＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2時，函數(shù)y取得最小值3.

AUTONUM\*Arabic.求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解：設(shè)，則，∴原函數(shù)可化為，∴.∴原函數(shù)值域為.說明：型函數(shù)的值域都可用這種方法，即令，采用換元法解決.換元法

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的解析式.【答案】【解析】(1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x.令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x.∴f(x)＝x2＋x－2.

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)，a∈(－∞，1].(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】解:(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2在[1，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝eq\f(7,2).(2)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2，x∈[1，＋∞).①當(dāng)a≤0時，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).最小值為f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3<a≤0.②當(dāng)0<a≤1時，f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋3>0，a>－3，所以0<a≤1.綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時，a的取值范圍是(－3，1].注意：變量分離簡單！

四、自我嘗試AUTONUM\*Arabic.函數(shù)f(x)＝lneq\f(1,|x|＋1)的值域是____.【答案】(－∞，0]【解析】依題意，因為|x|＋1≥1，則0<eq\f(1,|x|＋1)≤1，lneq\f(1,|x|＋1)≤ln1＝0，即函數(shù)的值域是(－∞，0].

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】平方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值的求法.由，平方得令，，則，當(dāng)時，.∴，∴.又，∴，故，另法：(1)平方后，利用基本不等式；(2)柯西不等式

五、能力提高AUTONUM\*Arabic.若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值為1，則實數(shù)m的值為()A.－3 B.－2 C.－1 D.1【答案】B【解析】∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值為1，∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.

AUTONUM\*Arabic.已知定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實根，則等于()A.13 B. C.5 D.【答案】C【解析】由，得或.故方程的3個不同的實根為.∴.故選C.

AUTONUM\*Arabic.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為____.【答案】3【解析】由于y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上遞減，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上遞增，所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1，1]上的最大值為f(－1)＝3.

AUTONUM\*Arabic.已知函數(shù)g(x)＝eq\r(x)＋1，h(x)＝eq\f(1,x＋3)，x∈(－3，a]，其中a為常數(shù)且a>0，令函數(shù)f(x)＝g(x)·h(x).(1)求函數(shù)f(x)的表達式，并求其定義域；(2)當(dāng)a＝eq\f(1,4)時，求函數(shù)f(x)的值域.【答案】【解析】解：(1)f(x)＝eq\f(\r(x)＋1,x＋3)，x∈[0，a](a>0).(2)當(dāng)a＝eq\f(1,4)時，函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，令t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，f(x)＝eq\f(t,t2－2t＋4)＝eq\f(1