初三中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖含答案

尺規(guī)作圖一、作圖題（共14題；共133分）1.如圖，AD是△ABC的角平分線F；F；.）2）連接DE、DF，四邊形AEDF是 形.（直接寫出答案）2.如圖，中，，，．1）用直尺和圓規(guī)作 的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）2）若（1）中所作的垂直平分線交 于點，求的長．保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加墨）；（2）求證：△BCD是等腰三角形.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上.

（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線，與⊙O交于點D；連接OD，交BC于點E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；（2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F分別是AC,AB,BC的中點，連接ED,EF.（1）求證：四邊形DEFC是矩形；（2）請用無刻度的直尺在圖中作出∠ABC的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法） .如圖，在中，，， ，D、E分別是斜邊AB、直角邊BC上的點，把沿著直線DE折疊．（1）如圖1，當(dāng)折疊后點B和點A重合時，用直尺和圓規(guī)作出直線 DE；不寫作法和證明，保留作圖痕跡（2）如圖2，當(dāng)折疊后點B落在AC邊上點P處，且四邊形PEBD是菱形時，求折痕DE的長．如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°，1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分線交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡）（2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果．如圖，在中，.10.如圖，在 中．10.如圖，在 中．（1）作 的平分線交邊于點，再以點為圓心，的長為半徑作；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（2）判斷（1）中 與的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果.P，使得點P到AB的距離的長等于PC的長；②利用尺規(guī)作圖，作出（1）中的線段PD．要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑（1）作圖，作BC邊的垂直平分線分別交于AC，BC于點D，E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）條件下，連接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A。（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法 ）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由。在△ABC中，∠C＝90°（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E；（不寫作法圖，保留作圖痕跡）（2）若AC＝2，∠B＝15°，求BD的長．如圖，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC（1）尺規(guī)作圖：在AD上標(biāo)出一點P，使得點P到點B和點C的距離相等（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）；（2）過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，求證：BE=CF；（3）若AB=a，AC=b，則BE= ，AE= ．二、綜合題（共3題；共30分）如圖， 是菱形的對角線，，（1）請用尺規(guī)作圖法，作 的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接 ，求的度數(shù)．如圖，在 中，點是邊上的一點.1）請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)，求作，使，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）2）在（1）的條件下，若，求的值.．1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．①作的平分線，交斜邊AB于點D；②過點D作BC的垂線，垂足為點E．（2）在（1）作出的圖形中，求DE的長．答案解析部分、作圖題【答案】（1）解：如圖,直線EF即為所求作的垂直平分線（2）菱形【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義【解析】【解答】（2）∵EF為AD的垂直平分線，則EA=ED，∠EAD=∠FAD，F(xiàn)A=FD，又∵AD是∠BAC的平分線，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，則AF∥ED，同理AE∥FD，∴四邊形AEDF為平行四邊形，又∵EF⊥AD，故四邊形AEDF為菱形.【分析】先利用垂直平分線的性質(zhì)定理，和角平分線推導(dǎo)兩組對邊分別平行，得四邊形形，由對角線互相垂直，進而推導(dǎo)四邊形 EDFA【分析】先利用垂直平分線的性質(zhì)定理，和角平分線推導(dǎo)兩組對邊分別平行，得四邊形形，由對角線互相垂直，進而推導(dǎo)四邊形 EDFA為菱形?！敬鸢浮浚?）解：如圖直線 即為所求．EDBF為平行四邊TOC\o"1-5"\h\z（2）解：∵ 垂直平分線段 ，∴ ，設(shè)，在中，∵ ，∴ ，解得 ，∴【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出AB的垂直平分線MN。（2）利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可證得 DA=DB；設(shè)DA=DB=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的長?！敬鸢浮浚?）解：如圖，點D為所作；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180﹣°36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36＝°72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形.【考點】三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作圖—基本作圖【解析】【分析】（1）分別以點A,B為圓心，大于AB長度的一半為半徑畫弧，兩弧分別在AB的兩側(cè)相交，過這兩交點作直線，該直線交 AC于點D，點D就是所求的點；（2）根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠A＝36°，根據(jù)三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度數(shù)，根據(jù)等量代換得出∠BDC＝∠C，故△BCD是等腰三角形。4.【答案】（1）解；如圖所示；

（2）解；OE∥AC，OE=AC.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，∵∠BAD=∠BOD，∴∠BOD=∠BAC，∴OE∥AC，∵OA=OB，∴OE為△ABC的中位線，∴OE∥AC，OE=AC【考點】三角形中位線定理，作圖—基本作圖【解析】【分析】（1）以點A為圓心，任意長度為半徑畫弧，交∠CAB的兩邊各一點，再分別以這兩點為圓心，大于這兩點間距離的一半的長度為半徑畫弧，兩弧在 ∠BAC內(nèi)部相交于一點，過這一點及點A畫線交圓于點D，AD就是∠BAC的平分線；（2）OE∥AC，OE=AC，理由如下：根據(jù)角平分線的定義得出 ∠BAD=∠BAC，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的一半得出 ∠BAD=∠BOD，故∠BOD=∠BAC，根據(jù)同位角相等，二直線平行得出OE∥AC，根據(jù)過一邊中點且平行于另一邊的直線一定平分第三邊得出 OE為△ABC的中位線，從而得出結(jié)論OE∥AC，OE=AC?！敬鸢浮浚?）證明：∵點D，E，F(xiàn)分別是AC,，AB，BC的中點，∴DE、EF是△ABC的中位線∴DE∥CF，EF∥DC∴四邊形DEFC是平行四邊形∵∠C=90°∴四邊形DEFC是矩形2）解：如圖所示考點】三角形中位線定理，矩形的判定，作圖基本作圖考點】三角形中位線定理，矩形的判定，作圖基本作圖【解析】【分析】（1）利用三角形中位線的定義及定理，易證 DE∥CF，EF∥DC，利用平行四邊形的判定定理，可證得四邊形DEFC是平行四邊形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可證得結(jié)論。（2）連接EC、DF交于一點，然后過這一點和B作射線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易證△BCE是等邊三角形，利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)，因此過點B和矩形CFED對角線的交點作射線即可。【答案】（1）解：依題可得：作直線AB的垂直平分線DE，如圖1所示：（2）解：連結(jié)BP，∵四邊形PEBD是菱形，∴PE=BE,PE∥BD，設(shè)CE=x，∵BC=4，則BE=PE=4-x，又∵PE∥AB，∴△PCE∽△ACB，∴，∵BC=4，AC=3,∴AB=5，∴x=即CE=∴BE=PE=，在Rt△PCE中，TOC\o"1-5"\h\z∴PC= =在Rt△PCB中，∴PB= =,又∵S菱形PEBD=BE·PC=·PB·DE，∴DE= .【考點】菱形的性質(zhì)，作圖—基本作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意作直線AB的垂直平分線DE，由垂直平分線的做法作圖即可.（2）連結(jié)BP，設(shè)CE=x，根據(jù)菱形性質(zhì)和相似三角形的判定可得 △PCE∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)得，代入數(shù)值可得CE= ；在Rt△PCE和Rt△PCB中，根據(jù)勾股定理得PC、PB長，由菱形的等面積即可得DE值.【答案】（1）解：如圖所示，直線EF即為所求；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75，°DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150，°∠ABC+∠C=180，°∴∠C=∠A=30，°∵EF垂直平分線線段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30，°∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作圖—復(fù)雜作圖【解析】【分析】（1）分別以A,B兩點為圓心，大于AB長度一半的長度為半徑畫弧，兩弧在 AB的兩側(cè)分別相交，過這兩個交點作直線，交 AB于點E，交AD于點F，，直線EF即為所求；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=15°0，∠ABC+∠C=180，°∠C=∠A=30，°根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出 AF=FB，根據(jù)等邊對等角及角的和差即可得出答案?！敬鸢浮浚?）解：如圖所示：（2）解：相切；過O點作OD⊥AC于D點，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O與直線AC相切【考點】直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，作圖—基本作圖【解析】【分析】（1）利用基本作圖中作角平分線的方法做出角平分線， 再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O即可。（2）過O點作OD⊥AC于D點，由角平分線性質(zhì)定理可得OB=OD，即d=r，即可得出⊙O與直線AC相切?！敬鸢浮浚?）解：如圖,作出角平分線CO;作出⊙O.2）解：AC與⊙O相切．考點】角平分線的性質(zhì)，切線的判定，作圖—基本作圖解析】【分析】（1）根據(jù)題意先作出∠ACB的角平分線，再以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓即可。2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等及切線的判定定理，即可得出 AC與⊙O相切?！敬鸢浮拷猓喝鐖D，點P、線段PD即為所求；【考點】作圖—復(fù)雜作圖【解析】【分析】根據(jù)題意可知到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，因此先利用尺規(guī)作圖作出的角平分線，交【考點】作圖—復(fù)雜作圖【解析】【分析】根據(jù)題意可知到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，因此先利用尺規(guī)作圖作出的角平分線，交BC于點P，再過點P作AB的垂線，交AB于點D。即可解答?！敬鸢浮浚?）解：如圖所示，直線DE即為所求；∠CAB（2）解：∵DE是BC（2）解：∵DE是BC的垂直平分線，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝ ＝＝．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義，【解析】【分析】（1）分別以點B、點C為圓心，以大于的上方與下方，過這兩個交點畫一條直線，與 AC交于點銳角三角函數(shù)的定義BC一半的長度為半徑畫弧，分別交于線段D，BC交于點E，直線DE即為所求；BD=CD=9，BE=EC= ，即可求得cos∠C= 。BC2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可知2）解：DE∥AC（理由略）考點】平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可得到答案。（2）根據(jù)∠BDC為三角形ADC的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由DE為∠BDC的平分線，∠A=∠DCA，即可證明∠EDC=∠DCA，根據(jù)直線平行的判定定理得到 DE∥AC。DD、E為所作；（2）解：連接AD，如圖，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15＝°30°，在Rt△ADC中，DA＝2AC＝4，∴DB＝4．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義【解析】【分析】（1）分別以點A、點B為圓心，以大于AB長的一半為半徑在線段AB兩側(cè)畫弧，分別相交于兩點，過這兩個交點做直線，與AB交于點E，BC交于點D，直線DE即為所求直線；（2）DE為AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知 BD=AD，根據(jù)等邊對等角可知∠B=∠BAD；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可知 ∠ADC=3°0，根據(jù)直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AD的長，也就可知BD的長。【答案】（1）解：①作線段BC的垂直平分線交AD于P．點P就是所求的點．

（2）解：連接PB、PC．∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF，在Rt△PEB和Rt△PFC中，，，∴△PEB≌△PFC，∴BE=CF．3）3）考點】直角三角形全等的判定，角平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義【解析】【解答】解：（3）設(shè)BE=CF=x，在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，∴△PAE≌△PAF，∴AE=AF，∴AB-BE=AC+CF，∴a-x=b+x，∴x=，∴BE= ，AE=AB-BE=a- =故答案為∴BE= ，AE=AB-BE=a- =故答案為【分析】（1）、直接利用尺規(guī)作圖法則作圖（2）、依題做出圖形，根據(jù)角平分線性質(zhì)可知 PE=PF，再根據(jù)直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，從而得到結(jié)論（3）、結(jié)合角平分線的性質(zhì)和直角三角形的判定可知 △PAE≌△PAF，從而得