級數(shù)收斂的判別方法

級數(shù)收斂的判別方法1級數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)我們知道,一系列無窮多個數(shù)u1,u2,u3,???un,…,寫成和式u1+u2+u3+???+un…就稱為無窮級數(shù)，記為un,且若級數(shù)un的部分和數(shù)列｛Sn｝收斂于有限值S,即則稱級數(shù)un收斂記為,un=S,也稱此值S為級數(shù)的和數(shù)。若部分和數(shù)列｛Sn｝發(fā)散，則稱un發(fā)散。研究無窮級數(shù)的收斂問題，首先我們給出大家熟悉的收斂級數(shù)的一些基本性質(zhì)：性質(zhì)1若級數(shù)un收斂,a為任意常數(shù)，則aun亦收斂，且有aun二aun。性質(zhì)2若兩個級數(shù)un和vn都收斂，則(un士vn)也收斂,且有(un士vn)二un士vn。性質(zhì)3一個收斂級數(shù)un,對其任意項加括號后所成級數(shù)(u1+u2+???ui)+(ui+1+???ui)+…仍為收斂,且其和不變。性質(zhì)4(收斂的必要條件)若級數(shù)un收斂，則un-0(n-8)。以上是收斂級數(shù)的一些最基本的性質(zhì),要指出的是,在實際問題中僅利用收斂原理來判斷級數(shù)的收斂性,往往是相當困難的，所以在級數(shù)的理論中還必須建立一系列的判別法，利用它們就可以簡便地來判別相當廣泛的一類級數(shù)的收斂性，建立和這些判別法，就是本文的中心任務。2正項級數(shù)的收斂性判別一般的數(shù)項級數(shù),它的各項可以是正數(shù)，負數(shù)或零?，F(xiàn)在我們討論各項都是正數(shù)或零的級數(shù)，這種級數(shù)稱為正項級數(shù)。本文將就正項級數(shù)的收斂判別方法做一，若級數(shù)un=u1+u2+???+un…是一個正項級數(shù)(uk0),它的部分和數(shù)列｛sn｝是一個單調(diào)增加的數(shù)列，即s1Ws2W??WskW…。如果數(shù)列伽｝有界,即存在M0使0WSKWM,由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準則，級數(shù)un必收斂于某個sN0,顯然SKWsWM。反之如正項級數(shù)un收斂于s,則limsn=s，根據(jù)數(shù)列極限存在必有界的性質(zhì)知｛sn｝有界。所以，我們得到正項級數(shù)收斂的基本定理。從基本定理出發(fā)，我們立即可以建立一個基本的判別法。2.1比較判別法設un與vn是兩個正項級數(shù)，若存在常數(shù)c0使unWcvn,（n=1,2,3…）,則:（i）當vn收斂時,un也收斂；（ii）當un發(fā)散時,vn也發(fā)散。例考察級數(shù)（12）的斂散性解:因為下面我們考慮級數(shù)的斂散性，因其部分和所以正項級數(shù)收斂,由比較判別法知級數(shù)（12）收斂。迄今為止,我們已經(jīng)知道p一級數(shù)二1+++???++…的斂散性為:當p1時收斂，當pW1時發(fā)散。利用比較判別法,把要判定的級數(shù)與幾何級數(shù)比較,就可以建立兩個很有用的判別法,即柯西判別法（根值法）和達朗貝爾判別法（比值法）。2.2柯西Cauchy判別法（根值法）設un是正項級數(shù),若從某一項起,（即存在N,當nN時）成立著（q為某確定的常數(shù)）,則級數(shù)un收斂;若從某一項成立著N1,則級數(shù)un發(fā)散。例判別正項級數(shù)的斂散性：解:因為由Cauchy判別法知級數(shù)收斂。2.3達朗貝爾D’Alembert判別法（比值法）設un是嚴格正項級數(shù)，且從某一項起成立Wq1（q為確定的數(shù),nNN），則級數(shù)un收斂;若從某一項起N1（nNN）則J級數(shù)發(fā)散。例討論級數(shù)xn=++++++…的斂散性.解：因為由Cauchy判別法知級數(shù)收斂，但如果用D’Alembert判別法因為，從而不能判定。也就是說，根值判別法的適用范圍較之比值判別法要廣。但對某些級數(shù)而言，兩者都能用，且比值判別法可能比根值判別法更方便。但這兩種判別法對諸如這樣簡單的級數(shù)都是無能為力的，從而在應用上有很大的局限性。下面我們再引入幾種判別法。以p-級數(shù)為標準建立起來的判別法及其有效性比較。2.4拉阿比Raabe判別法設un是正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)N及常數(shù)r,若對一切nN,成立不等式,則級數(shù)un收斂；成立不等式，則級數(shù)un發(fā)散。例判斷級數(shù)的斂散性解:設un=,則也就是說，此時Cauchy判別法與D’Alembert判別法都不適用，如果使用Raabe判別法，可得，所以級數(shù)收斂。注在Raabe判別法中，如果S=1,在我們給出的定理中未作任何一般性的結(jié)論,對此臨界情形，需要更精細的判別尺度，例如以(p老1)作為比較的標準。此外，以p-級數(shù)為標準建立起來的判別法還有對數(shù)判別法和雙比值判別法，下面將這兩種判別法簡單敘述,并與拉阿比判別法放在一起比較他們的有效性。2.5對數(shù)判別法對于正項級數(shù)un,如果存在，則當q1時級數(shù)un收斂;當q1時，級數(shù)un發(fā)散。2.6雙比值判別法對于正項級數(shù)un,如果存在，則當p<時，級數(shù)un收斂;當p>時,級數(shù)un發(fā)散。</時，級數(shù)un收斂;當p>例9設有正項級數(shù)，我們有不存在，從而此時雙比值判別法失效。而因此由對數(shù)判別法可知級數(shù)an收斂。此命題說明:對于正項級數(shù)，如果能用拉阿比判別法確定其斂散性,則必可用雙比值判別法確定之;反之則不能，也就是說,雙比值判別法較之拉阿比判別法更有效。2.7高斯判別法下面將要介紹的Gauss判別法，概括了達朗貝爾判別法和拉阿比判別法,而且達到了用作比較標準的精度,因而是一種適用范圍較廣的判別法。設an是嚴格正項級數(shù),并設則J關(guān)于級數(shù)an的斂散性,有以下結(jié)論:如果入1,那么級數(shù)收斂如果入1,那么級數(shù)an發(fā)散；如果入二卻1,那么級數(shù)an收斂，如果，入二卻1,那么級數(shù)an發(fā)散。如果入二^=1,v1,那么級數(shù)an收斂，如果入二^=1,v1,,那么級數(shù)an發(fā)散。例Gauss超幾何級數(shù)的斂散性其中a,p，Y，x均為非負常數(shù)。解:因為又因為所以。根據(jù)Gauss判別法可以判定：如果x或者x=1ya+B，那么級數(shù)收斂。如果x或者x=1yWa+B，那么級數(shù)發(fā)散。2.8柯西積分判別法從比較判別法入手，我們還可以導出一種非常有用的積分判別法,由于它是由Cauchy首先研究的,我們把它叫做Cauchy積分判別法。設函數(shù)f(x)在［1,+8］內(nèi)單調(diào)下降并且非負，則級數(shù)f(n)與廣義積分同時收斂或同時發(fā)散。例求證級數(shù)收斂證明：，所以級數(shù)收斂。由上文中我們知道，正項級數(shù)的收斂和發(fā)散常常可以通過跟另一已知收斂或發(fā)散的級數(shù)的對比來確定，把這一精確表達出來就是比較原則。從縱向看,現(xiàn)已建立了精細度不斷提高的一系列判別方法;從橫向看，在每一精細程度上，（以下簡