分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論及其簡單應(yīng)用

目錄摘要 錯誤!未定義書簽。Abstract 錯.誤!未定義書簽。TOC\o"1-5"\h\z一、 引言 1\o"CurrentDocument"二、 R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論 1\o"CurrentDocument"（一） 左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分 2\o"CurrentDocument"左R-L型分?jǐn)?shù)階積分 2\o"CurrentDocument"左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 2（二） 右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分 41?右R-L型分?jǐn)?shù)階積分 42.右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 4\o"CurrentDocument"三、 R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的聯(lián)系與區(qū)別 5（一） R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的聯(lián)系 5\o"CurrentDocument"R-L型分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣 5\o"CurrentDocument"R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也同樣具有線性性質(zhì) 7（二） R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的區(qū)別 7\o"CurrentDocument"對于常函數(shù)的求導(dǎo)兩者得到不同結(jié)果 7\o"CurrentDocument"R-L型分?jǐn)?shù)階微積分是一種加權(quán)積分 8\o"CurrentDocument"四、 分?jǐn)?shù)階微積分在眾多方面的具體應(yīng)用 8（一） 分?jǐn)?shù)階微積分在圖像降噪方面的應(yīng)用 9（二） 分?jǐn)?shù)階微積分在粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系領(lǐng)域中的作用 9\o"CurrentDocument"（三） 分?jǐn)?shù)階微積分在現(xiàn)代信號的處理中的應(yīng)用 10\o"CurrentDocument"（四） 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的冪律記憶性 10\o"CurrentDocument"五、 總結(jié) 10\o"CurrentDocument"參考文獻 11致謝 錯誤!未定義書簽。一、引言近年來,隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,分?jǐn)?shù)階微積分在科技領(lǐng)域的諸多方面所起到的重要作用也越來越明顯,例如物理力學(xué)領(lǐng)域、自動控制領(lǐng)域、信號處理領(lǐng)域以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域等.因此,研究了解分?jǐn)?shù)階微積分的基本原理及其簡單應(yīng)用就顯得尤為重要.分?jǐn)?shù)階微積分是將經(jīng)典的整數(shù)階微積分運算拓展到有理分?jǐn)?shù)以及無理數(shù)和復(fù)數(shù)的情形,因此研究分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)問題可以幫助本科生更好地理解和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中所涉及的整數(shù)階微積分方面的知識理論,建構(gòu)好微積分領(lǐng)域的認知結(jié)構(gòu),形成更加系統(tǒng)完善的知識體系,從而對微積分知識有更加清晰深入的理解.文章將主要從R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論、分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的區(qū)別與聯(lián)系以及分?jǐn)?shù)階微積分在實際生活中的應(yīng)用三大部分出發(fā),對分?jǐn)?shù)階微積分的基本原理及其簡單應(yīng)用進行說明.二、R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的基本理論分?jǐn)?shù)階微積分這一問題的研究已經(jīng)具有較長時間,早在微積分創(chuàng)立的時代就已經(jīng)被提出.1695年,Leibniz給Hospital寫信時第一次提出了將微分階次從整數(shù)

推廣到非整數(shù)的含義的問題.在此之前,整數(shù)階微積分在人們的生產(chǎn)生活中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用,但人們逐漸發(fā)現(xiàn),在描述一些復(fù)雜問題和復(fù)雜現(xiàn)象時,整數(shù)階微積分逐漸出現(xiàn)了一些限制,例如因材料或外界條件的微小改變就需要構(gòu)造新的模型等問題,由這些限制引發(fā)的對問題的思考讓分?jǐn)?shù)階微積分逐漸走入了人們的視野.那么何為分?jǐn)?shù)階微積分?如何定義?它又有怎樣的性質(zhì)?以下這一部分就將對Riemann-Liouville型(R-L型)分?jǐn)?shù)階微積分的定義及其若干性質(zhì)進行詳細介紹.左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分1.左R-L型分?jǐn)?shù)階積分如何對左R-L型分?jǐn)?shù)階積分進行定義?在本科階段的數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)過整數(shù)階積分,并且知道函數(shù)u(x)的n階積分的表達式冷噸)=擊以通過Gamma函數(shù),我們可以將上式記為aDaDnU(t)=丄廊r(n)a因此我們將函數(shù)u(x)的n(n6N)重積分推廣到非整數(shù)的情形時可以得出如下定義：設(shè)函數(shù)u(x)定義在區(qū)間(a,b)上,|1>0,則次數(shù)為卩的左R-L分?jǐn)?shù)階積分定義為屮￡u(t)=^ft(t ,at r(“)a其中『(Q為Gamma函數(shù)：r(z)=嚴(yán)ettzidt, Re(z)>0.所有使上式有意義的函數(shù)u所構(gòu)成的函數(shù)類記為W.因此根據(jù)左R-L型分?jǐn)?shù)階積分的定義，我們不難得出以下性質(zhì)：性質(zhì)1左R-L型分?jǐn)?shù)階積分滿足下面的線性關(guān)系：D"[Au(t)+Au(t)]=AD"u(t)+AD"u(t),A,A6R.atL11、丿22、丿」1at1、丿2at2、" 1 2性質(zhì)2左R-L型分?jǐn)?shù)階積分算子有可以順序交換的性質(zhì)，即對于任意的|i,v>0,有D"Dvu(t)=D(M+v)^(t)=DvDmu(t).atat at atat性質(zhì)3u(t)在(0,+8)上具有連續(xù)的p階導(dǎo)數(shù)，其中p為正整數(shù)，且卩>卩,就會有Dp[o伴"(切=伽)"◎此性質(zhì)為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與左R-L型分?jǐn)?shù)階積分的復(fù)合運算性質(zhì)的推論.2.左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可以根據(jù)上面所給出的左R-L型分?jǐn)?shù)階積分并結(jié)合整數(shù)階積分的定義后得出,即：設(shè)函數(shù)u(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù),其中卩>0,n>仏,o=n-卩,則次數(shù)為卩的左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為D^D^u(t)=Dn[D-^u(t)]=t t丄心仃訛―§”5(§)處).r(b)dtna根據(jù)左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到它的以下若干性質(zhì):性質(zhì)4左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)類似的線性關(guān)系:D"［久u(t)+Au(t)］=久D^u(t)+久D^u(t),X，久WR?性質(zhì)5階數(shù)為卩的左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與和它同樣階數(shù)的左R-L型分?jǐn)?shù)階積分互為逆算子.即設(shè)n-1<仏Sn,u(t)在［a,b］上的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有DuD-^u(t)=u(t),Vu>0.atat再結(jié)合前面介紹的左R-L型分?jǐn)?shù)階積分的定義和性質(zhì)，我們可以得出以下：性質(zhì)6若卩>0,n-1<^<n,u(t)在［a,b］上的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，那么同階的左R-L型分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)進行復(fù)合運算即為：(n-1<^<n).aD-aD，u(t)=u(t)-^n=1[aDrju(t)]t=a^,(n-1<^<n).性質(zhì)7設(shè)a>0，B>0,nD^-a存在，則左R-L型B階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和左R-L型a階分?jǐn)?shù)階積分運算的復(fù)合公式為DBD-au(t)=D^-au(t).

atat at性質(zhì)8設(shè)aA0，BA0,u(t)有n=[a]+1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則左R-L型B階分?jǐn)?shù)階積分和左R-L型a階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)運算的復(fù)合公式為D-B(Dau(t))=Da-Bu(t)— [Da-ju(t)](t-a)B-j.atat at j=1at t=ar(p-j+1)性質(zhì)9由性質(zhì)3和性質(zhì)7的結(jié)論可得:設(shè)nWN,m-1<^<m,且卩n>0,u(t)在區(qū)間(a,b)上具有r(r=max{m,n})階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有u(k)(a)(t-a)k卩—n

r(1+k—“一-^)(i)Dn(aD^u(t))u(k)(a)(t-a)k卩—n

r(1+k—“一-^)(ii)/f(u(n)(t))=aD^u(t)-^n-1性質(zhì)10設(shè)a,^>0,m-1<B<m,n-1<a<n,m,nEZ+,r=max{m,n},u(t)在區(qū)間(a,b)上具有r階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有nDB(nDaU(t))=nDa+Bu(t)-況二〃*%?-(t-a)k-n-B；atat at r(k-n-B+1)Da(DBu(t))=Da+Bu(t)—^m-1aD^m+ku(a)-(t—a)k-m-B.atat at k=0r(k-m-a+1)性質(zhì)11設(shè)u(t)=tXg(t),X>—1,g(t)=^^=0antna,級數(shù)的收斂半徑為R，0<a<1.若B<X+1,0<a<1;或者B>X+1,Y>0,且當(dāng)k=0,1,2,m-1時,aR=0,其中m—1<B<m.則有。伴。伴"(￡)=訛)=°Df「DM右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分1.右R-L型分?jǐn)?shù)階積分與左R-L型分?jǐn)?shù)階積分類似，我們知道，函數(shù)u(t)在區(qū)間(t,b)上求n(n6N)重積分有必心=(爲(wèi)代如心皿?因此將此式子中的n推廣到非整數(shù)的情形，可得到右R-L型分?jǐn)?shù)階積分的定義,如下：設(shè)函數(shù)u(x)定義在區(qū)間(a,b)上,|1>0,則階數(shù)為卩的右R-L型分?jǐn)?shù)階積分定義為右R-L型分?jǐn)?shù)階積分的很多性質(zhì)都與左R-L型分?jǐn)?shù)階積分相類似，這里我們只給出右R-L型分?jǐn)?shù)階積分的部分性質(zhì)：性質(zhì)12右R-L型分?jǐn)?shù)階積分算子是可以互換的，即對任意的p,v>0,有D" Dvu(t) =D3 )u(t) =Dv Dm u(t).tb tb'丿tb '丿tb tb'丿2.右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的得出類似,我們將通常意義下的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)與右R-L型分?jǐn)?shù)階積分算子作復(fù)合運算，即可得到右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下:設(shè)函數(shù)u(x)定義在區(qū)間(a,b)上，|1>0,n是大于卩的最小整數(shù)(n1<^<n),則次數(shù)為卩的右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為D^u(t)=(D)nDMnu(t)=_O!^匹(嚴(yán)(ft)nM1 "(f)df).tb tb r(n^)dtnt同樣，我們可以類比左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)13卩階右R-L型分?jǐn)?shù)階微分算子是卩階右R-L型分?jǐn)?shù)階積分算子的逆算子?即設(shè)n1<“<n,u(t)在a,b上的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有u(t)=u(t),V^>0.性質(zhì)14令卩>0,n 1<“<n,u(t)在&b上的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則右R-L型分?jǐn)?shù)階積分和右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)運算的復(fù)合公式為DuD^u(t)=u(t) DMu(t) (阮W,(n1<^<n).tbtb Jitb t=br(M；1)性質(zhì)15設(shè)a>0，B>0,/嚴(yán)存在，則右R-L型B階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和右R-L型a階分?jǐn)?shù)階積分算子的復(fù)合公式為/代仔u(t)=/儼性質(zhì)16⑴設(shè)a>阻0,u(t)有皿=⑹+1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則右R-L型a階分?jǐn)?shù)階積分和右R-L型B階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的復(fù)合公式為Da( DPu(t)) =D (aP )u(t) Y嚴(yán)[DBju(t)] 3 )町(a>P>tbtb tb j=1tb t=br(aj+1)0).(ii)設(shè)B>a>0,u(t)有皿=⑹+1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則右R-L型a型分?jǐn)?shù)階積分和右R-L型B階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的復(fù)合公式為Da(D^u(t))=DBau(t) [DBju(t)] (bt)町(p>a>0)tbtb tb J=1tb t=br(aj+1)性質(zhì)17設(shè)meN,^>0>n^u(t),D^+mu(t)存在，則有tb tbDm(tD^u(t))=(1)m^D^+mu(t).D^(Dmu(t))=(1)rnD^+mu(t) Ym1(1)m+ju(j^(b)(b t)j^m.tb tb j=0 r(1+j^m )性質(zhì)18設(shè)a,B>O,m1<p<m,n1<a<n,m,nEZ+,r=max{m,n},且a+B<n,u(t)在區(qū)間(a,b)上具有r階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有Da(DPu(t))=Da+Pu(t) .[N護""兒=0-(bt)ja.tbtb tb k=ir(1ja)以上是關(guān)于R-L型分?jǐn)?shù)階微積分基本概念的綜述，它可以幫助我們更好地理解R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)和意義,也為下面我們研究分?jǐn)?shù)階微積分同傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分之間的聯(lián)系與區(qū)別創(chuàng)造了前提條件.三、R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的聯(lián)系與區(qū)別通過上一部分的介紹，我們知道，分?jǐn)?shù)階微積分可以看作是整數(shù)階微積分的推廣，因此它們之間也一定存在著千絲萬縷的關(guān)系.了解分?jǐn)?shù)階微積分與傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的聯(lián)系與區(qū)別將會有利于我們更好地把握分?jǐn)?shù)階微積分的特點及作用?下面將分別按照左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分和右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的聯(lián)系與區(qū)別進行闡述.(一)R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的聯(lián)系R-L型分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣對卩階左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(卩>0),n是大于等于卩的最小整數(shù),若函數(shù)u(t)的n+1階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(0,+8)上連續(xù)時,有極限等式：lim 0D^u(t)=Dmu(t)=dn1u(t),^^(n1)+0t dtn1

limD^u(t)=Dnu(t)=dnu(t).An0t dtn上兩式說明，若卩=n1為正整數(shù),則可得到一個傳統(tǒng)意義下的n1階整數(shù)階導(dǎo)數(shù)：Dn1u(t)=衛(wèi)上[D1u(t)]=u(n1)(上).at dtnat若卩=n為正整數(shù),則可得到一個傳統(tǒng)意義下的n階整數(shù)階導(dǎo)數(shù)：D^U(t)=-^―[D0U(t)]=恥吩)=u(n)(t).at dtnat dtn這表明當(dāng)a>t,^=n>1(nEN)時，左R-L型分?jǐn)?shù)階微分算子與傳統(tǒng)的n階導(dǎo)數(shù)是一致的?所以，當(dāng)卩為正整數(shù)時,aD^u(t)就是整數(shù)階微分里的卩階微分，也稱為卩階導(dǎo)數(shù). "力同樣的，在左R-L型分?jǐn)?shù)階積分的定義式子1ftU(t)=r(^)j(t ^)^1U(^)a中，當(dāng)卩=n為正整數(shù)時，^)^1U(^)d^=丄帥r(n)Jau(t)=Dnu(t)=^)^1U(^)d^=丄帥r(n)Jat t即是普通意義下的n(nEN)重積分.綜上,我們不難看出，在左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分中，取階數(shù)卩為整數(shù)n,當(dāng)n>0時即可得函數(shù)u(x)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)n<0時即可得函數(shù)u(x)的整數(shù)階積分，左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分因此可以看作是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣，整數(shù)階微積分是左R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的特殊情況.與左R-L型分?jǐn)?shù)階積分類似，當(dāng)右R-L型分?jǐn)?shù)階積分定義式中卩=n為正整數(shù)時,我們可以得到必u(必u(t)=t)n1u(^)df.出期=厲皿=盤卜§切心)妹為普通意義下的n(nEN)重積分.同樣的，在右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義式D^u(t)=(D)n[D0u(t)]=_0!^迥([b(^t)n^1 u(^)d^)?tb tb P(np)dtnJt中，當(dāng)卩=n1為正整數(shù)時，則可以得到一個傳統(tǒng)意義下的n1階整數(shù)階導(dǎo)數(shù)D^u(t)=(D)n[D^nu(t)]=(1>)n([b(^t)n^1u(^)d^)?tb tb P(n^)dtnJt綜上,我們不難看出，在右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分中，取階數(shù)卩為整數(shù)n,當(dāng)n>0時即可得函數(shù)u(x)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)乘(1)n,當(dāng)n<0時即可得函數(shù)u(x)的變下限整數(shù)階積分，右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分同樣可以看作是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣，整數(shù)階微積分是右R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的特殊情況.

R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也同樣具有線性性質(zhì)在整數(shù)階導(dǎo)數(shù)中,我們有就嚴(yán)衛(wèi))+A2U2(t)](n)=[AiUi(t)](n)+[A2U2(t)](n)=人氣億)?)+坷鶴⑵⑺)即整數(shù)階導(dǎo)數(shù)有線性性質(zhì).由前文提到的性質(zhì)1、性質(zhì)4,我們可以知道,R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)同樣都具有線性性質(zhì).我們可以通過下面一個簡單的例子,更加清晰地觀察到兩者線性性質(zhì)之間的相同之處.例1設(shè)叫(t)=t3,u2(t)=t4,分別求2Ul(t)+5u2(t)的2階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù).解：對2u1(t)+5u2(t)求2階導(dǎo)可得：[2t3+5t4](2)=[6t2+20^3]，=12t+60t2=2(t3)(2)+5(t4)(2),可以發(fā)現(xiàn),線性性質(zhì)在整數(shù)階導(dǎo)數(shù)中得到滿足?下面對其求1階導(dǎo):1D21D2[2t3+5t4]=丄d0t r(1)丄{M：(t-『(丄)d八0{2[J>—§)-1§3豹丄{M：(t-『(丄)d八0{2[J>—§)-1§3豹+5[啓―d八 0 0§)-宓3豹+[/；(t-§)-15§4處]}=七"0 丿璋)§)-1§噸]}=20砂3+50?"4?可以發(fā)現(xiàn),線性性質(zhì)在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)中同樣適用.(二)R-L型分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分的區(qū)別1.對于常函數(shù)的求導(dǎo)兩者得到不同結(jié)果(*)我們來看當(dāng)t>a且卩>0函數(shù)卩(x)為常函數(shù)|i(x)=C時，其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由R-L型分?jǐn)?shù)階微分的定義易求得：(*)DMu(t)=D"C=CD-",(n—1<^<n,n6W).at atr(1—“)例如,當(dāng)C=2,a=0,卩=2時,1 —102==-^.0tr(2)忌可以看到，與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)不同，我們對常函數(shù)C=2求1階導(dǎo)數(shù)所得的結(jié)果并不為20.另外，根據(jù)(*)式可以知道，當(dāng)p(x)=C=0時,詔￡°=°，由此我們可以得出,在整數(shù)階導(dǎo)數(shù)意義下對常函數(shù)求導(dǎo)是為零的,然而在R-L型非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的情況下對常函數(shù)求導(dǎo)不為零.在這個意義上能夠看出，引

入分?jǐn)?shù)階微積分實際上是對整數(shù)階微積分的推廣和補充.2.R-L型分?jǐn)?shù)階微積分是一種加權(quán)積分以左R-L型分?jǐn)?shù)階積分為例,在左R-L型積分的定義式1ftaDf叭°=麗丿(tC"1U?*a中，令a=0,^=1,可得u(t)=^—u(t)=^—[t(tr(i)Jof)ou(§)處=[u(0處.顯然這是一個普通的變上限積分?而當(dāng)卩取分?jǐn)?shù)時，例如，當(dāng)卩=3時，有：22U(t)=-1—[t(t d§,0七 璋)丿0而當(dāng)卩=丄時，有：2D2u(t)=^-[訛f)2"(Cd§.0t r(1)Jo可以看出，左R-L型實數(shù)階積分實際上是一種加權(quán)積分，當(dāng)卩=1時,其權(quán)值為1;當(dāng)卩>1時，卩1>0,則積分變量驛巨離積分上限t越遠,(t§)"越大，權(quán)值越大;當(dāng)卩<1時,卩1<0,則積分變量§距離積分上限t越遠,(tE)"1越小,權(quán)值越小.與左R-L型分?jǐn)?shù)階積分類似，在左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義式中，取a=0,則當(dāng)卩=1時，稍加變形就可以得到:20巧心=r(M包C3心處可以看出，同樣地，左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也可以視作一種加權(quán)積分，積分變量驛巨離積分上限t越遠，權(quán)值越小.右RL型分?jǐn)?shù)階微積分與其同理.由此我們可以得知，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上也是一種積分，它能夠記錄下之前的所有變化，我們稱之為分?jǐn)?shù)階微積分的“記憶”功能.正是分?jǐn)?shù)階積分的積分結(jié)構(gòu)使得積分變量§取不同值時所對應(yīng)的權(quán)重不同，因此具有了記憶功能.由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有上述的“積分”作用，因此在非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的極限形式表達式里，“積分”作用使得其表現(xiàn)為求和項數(shù)為無窮，但這與階數(shù)沒有關(guān)系，對比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)只有極限形式表達式，它的求和項數(shù)是有限的，且求和項數(shù)與階數(shù)相同.四、分?jǐn)?shù)階微積分在眾多方面的具體應(yīng)用隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，分?jǐn)?shù)階微積分在眾多領(lǐng)域所起到的重要作用也越來越明顯.目前國內(nèi)對于分?jǐn)?shù)階微積分的研究集中于在自然科學(xué)與社會科學(xué)的各個領(lǐng)域的應(yīng)用，主要有物理力學(xué)領(lǐng)域、反常擴散相關(guān)問題研究領(lǐng)域、自動控制領(lǐng)域、信號處理領(lǐng)域、生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域等方面.下面通過幾個例子來說明分?jǐn)?shù)階微積分目前在科技領(lǐng)域的具體應(yīng)用.(一)分?jǐn)?shù)階微積分在圖像降噪方面的應(yīng)用在數(shù)字圖像的采集、轉(zhuǎn)換和傳輸過程中,一些孤立的像素點由于成像設(shè)備本身或外部環(huán)境的因素,會產(chǎn)生一些隨機位置,形成噪聲.不管它是改進成像設(shè)備本身還是減少環(huán)境干擾,噪聲都很難避免.這些噪聲不僅影響視覺效果而且還可能掩蓋圖像中的重要特征信息,給圖像的后續(xù)處理帶來困難.因此,圖像去噪是一個重要的問題,是數(shù)字圖像處理研究的主要內(nèi)容.分?jǐn)?shù)階微積分理論是分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一,它在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用為許多學(xué)者所接受.基于分?jǐn)?shù)階微積分,去噪成了其中的一個重要分支.近年來,使用分?jǐn)?shù)階微積分進行圖像處理的方法在這一領(lǐng)域逐漸引起了人們的關(guān)注.近年來有學(xué)者提出了一種對每個像素都進行不同階次分?jǐn)?shù)階積分運算的方法，稱為圖像去噪算法?具體為:首先設(shè)圖像f(j)其中每個像素都有八個方向，設(shè)M(i,j為這八個方向上的梯度幅值的平均值，對其進行歸一化處理后就得到與像素對應(yīng)的積分階數(shù)，例如取M(i,j)的最大值為Y,最小值為X,就能通過歸一化獲得動態(tài)分?jǐn)?shù)階：v二(1)x —.(,)因此,我們可以認識到,當(dāng)梯度均值較大時,存在一個小的負序,它的分?jǐn)?shù)階積分對噪聲有較大的衰減作用;對于中、小梯度幅度與相應(yīng)大小的積分階數(shù),其分?jǐn)?shù)階積分對圖像紋理有一定的增強和保持作用.可以知道，鄰域半徑越大的像素與中心點的像素相關(guān)性越小.距離中心點較遠的像素將抑制中心點的變化，而靠近中心點的像素將增加中心點的趨勢.因此，這種改進方法明顯優(yōu)于其他方法.二)分?jǐn)?shù)階微積分在粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系領(lǐng)域中的作用以粘彈性材料為例，因為粘彈性材料是一種在外力作用下，粘性和彈性這兩種變形機制同時存在的材料，因此要得到粘彈性材料的力與形變之間的關(guān)系模型就變得比較復(fù)雜?經(jīng)典的粘彈性模型雖然做到了方便理解，但是由于整數(shù)階微分算子性質(zhì)的限制，其在蠕動和松弛初期的情況下不能很好地做到同實驗數(shù)據(jù)精準(zhǔn)匹配.在這種情況下，分?jǐn)?shù)階微積分的出現(xiàn)為計算有關(guān)粘彈性材料的力與形變量存在的關(guān)系的問題提供了很大幫助.首先，彈性變形指的是，物體在外力的作用下變形，外力撤銷后變形完全消失的情況?在牛頓經(jīng)典力學(xué)中，理想彈性模型的線彈性變形的力與形變量之間的關(guān)系滿足虎克定律，即F(t)二k T(t)其中F(t是力，t(是形變量,k是材料的勁度系數(shù).其次，牛頓流體是指任一點上的剪應(yīng)力都同剪切變形速率呈線性函數(shù)關(guān)系的流體，其力與形變量之間的關(guān)系滿足牛頓粘性定律，即F(t)二/!—,其中F(t)是指剪應(yīng)力，卩是指流體動力粘性系數(shù)(即粘度)，迪是指剪切變形速率.dt粘彈性材料由于介于彈性材料和牛頓流體之間,因此它的力與形變量之間的關(guān)系就滿足F(t)=即廠(t)(0<Q<1).可以觀察到,在粘彈性材料的力與形變量的關(guān)系公式中，當(dāng)a取0時,得到的就是理想彈性材料所滿足的虎克定律;當(dāng)a取1時，得到的是牛頓流體所滿足的牛頓粘性定律.分?jǐn)?shù)階微積分在現(xiàn)代信號的處理中的應(yīng)用現(xiàn)代信號的分析與處理要依靠分?jǐn)?shù)階微積分領(lǐng)域的基礎(chǔ).由于現(xiàn)代信號具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的特性,所以傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)無法很好地描述和處理信號.主要原理是通過控制階數(shù)u(0<u<1)來達到既使信號保持在低頻范圍,又能增強信號強度的效果.分?jǐn)?shù)階微積分在現(xiàn)代信號的處理與應(yīng)用中,有一個重要的應(yīng)用方面被稱為“分?jǐn)?shù)階內(nèi)插”,表示為Piecewise能量函數(shù)即：仔U=—1—卜u]XV=—1—y(y1)(-1)k(x—k)v,r@i) r(v1)k0k價(e)=(—z馬.j3目前,分?jǐn)?shù)階內(nèi)插在圖像增強、圖像壓縮等方面已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的冪律記憶性在熱力學(xué)中,布朗粒子在白噪聲的環(huán)境下受到的阻尼力只與粒子當(dāng)前的速度有關(guān),不涉及歷史速度的問題;但在非均勻介質(zhì)中,布朗粒子受到的阻尼力還與歷史速度有關(guān),即距離當(dāng)前時刻越近,其所占權(quán)重越大,距離當(dāng)前時刻越遠,其所占權(quán)重越小.這種記憶性表現(xiàn)為下面的阻尼核函數(shù)Y(t):Y(t)=—1一t-a,0<a<1.r(l_a)我們注意到，當(dāng)取B=1-a時，得到：Y(t)=丄尬-1,0 <仔<1,W)上式即為分?jǐn)?shù)階積分的核函數(shù).五、總結(jié)從數(shù)學(xué)分類來看,分?jǐn)?shù)階微積分是數(shù)學(xué)分析的一個分支,或者整體微積分的一個部分內(nèi)容,當(dāng)微分或積分的階數(shù)為整數(shù)時,分?jǐn)?shù)階微積分就轉(zhuǎn)化為了經(jīng)典的微積分.因此,分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的推廣,一方面為我們更加深入地了解整數(shù)階微積分提供了有利條件;另一方面,它是我們解決復(fù)雜問題時的有力工具.因此,研究分?jǐn)?shù)階微積分具有十分重要的意義.綜上,本文主要有以下三點結(jié)論:首先分為左R-L型分?jǐn)?shù)階積分、左R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、右R-L型分?jǐn)?shù)階積分和右R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別介紹了R-L型分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念以及性質(zhì).以此了解分?jǐn)?shù)階微積分的基本原理,為幫助理解和應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分提供了必要條件.主要分析了分?jǐn)?shù)階微積分和整數(shù)階微積分之間的聯(lián)系和區(qū)別.聯(lián)系主要有以下兩點：①當(dāng)分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)取整時，即可得到整數(shù)階微積分，從而說明了整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的特例,分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣和補充?②整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都具有線性性質(zhì)?區(qū)別有兩點：①對于常函數(shù)，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到的結(jié)果為零，但非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)結(jié)果不為零，只有當(dāng)常函數(shù)為零時，非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)結(jié)果才為零?②分?jǐn)?shù)階微積分是一種加權(quán)函數(shù)，具有“記憶”功能，具有非局部的性質(zhì)，其微分和積分是對之前過程的疊加，而整數(shù)階微積分則只有局部性質(zhì)，也并無“記憶”功能.分?jǐn)?shù)階微積分目前已經(jīng)應(yīng)用十分廣泛，本文主要介紹了它其中的四種簡單應(yīng)用，即圖像降噪、粘彈性材料的本構(gòu)關(guān)系、現(xiàn)代信號的處理以及布朗粒子在非均勻介質(zhì)中的受力情況，涉及生物醫(yī)學(xué)、電子科技、物理力學(xué)等多個方面?除此之外，分?jǐn)?shù)階微積分還在環(huán)境力學(xué)、自動控制、信號處理等多個研究領(lǐng)域中得到廣泛使用.根據(jù)以上的分析我們不難發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的推廣，其與整數(shù)階微積分有聯(lián)系也有區(qū)別，因此可以作為許多復(fù)雜問題的解決方案?毋庸置疑，分?jǐn)?shù)階微積分在當(dāng)