三角形問題-決勝2018中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘

《中考?jí)狠S題全揭秘》三年經(jīng)典中考?jí)狠S題

專題14三角形問題

一、選擇題

1.（2017天津，第11題，3分）如圖，在AABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）

A

BDC

A.BCB.CEC.ADD.AC

【答案】B.

【分析】如圖連接尸C,只要證明P8=PC,即可推出P8+PE=PC+PE,由PE+PC2CE,推出P、C、E共線

時(shí)-，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度.

【解析】如圖連接PC,,：AB=AC,BD=CD,：.AD±BC,:.PB;PC,：.PB+PE=PC+PE,,:PE+PC3CE,

...P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，故選B.

BDC

點(diǎn)睛：本題考查軸對(duì)稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；等腰三角形的性質(zhì)；最值問題.

2.（2017濱州，第H題，3分）如圖，點(diǎn)P為定角NA08的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且NMPN與NAOB互

補(bǔ)，若/MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與04、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN

恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變：（4）MN的長不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

C.2D.1

【答案】B.

【分析】如圖作PE_LOA丁E,PFLOBTF.只要證明△POEZ/XPOF,4PEM/△PFN,即可---判斷.

【解析】如圖作PE1OA于E,PF1OB于F.

?：〃>EO=4PFgO0,：.ZEPF+A.4OB=130°,：乙心監(jiān)4408=180°,：./EPF=4MPN,：./EP*

/FPN,：OP平分NAOB,PE1OA^-E,PFlOB干F,：.PE=PF,在"期和△POF中，

PE=PF,：.APOE^APOF,：.OE=OF,在和△丹二中，?.,NMJE=NA?,PE=PF,乙PE\f=』PFN,

:ZEgNFN,：.E*NF,P\t=PN,故（D正確，.*.Sd￡*S*F,.?.53”皿\=$—尸￡。尸定值，故

（3）正確，?.?。1介。,卡3+兒3：+。尸-M"2CE=定值，故（2）正確，MV的長度是變化的，故（4）錯(cuò)誤，

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；定值問題.

3.（2017廣西河池市，第12題，3分）已知等邊△ABC的邊長為12,。是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過。作QELAC

于點(diǎn)E,過E作EFLBC于點(diǎn)F,過F作FGLA8于點(diǎn)G.當(dāng)G與O重合時(shí)，AO的長是（）

A.3B.4C.8D.9

【答案】B.

【分析】設(shè)AD=x,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NA=NB=NC=60°,由垂直的定義得到NAOF=NQEB=/

￡FC=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解析】設(shè)4)=x,「△ABC是等邊三角形，.,./A=NB=NC=60°,從LAC于點(diǎn)E,EFLBC于點(diǎn)F,

FG1AB,：.ZADF=ZDEB=ZEFC=90a,：.AF=2x,：.CF=\2-lx,：.CE=2CF=24-4x,：.BE=\2-CE=4x

-12,：.BD=2BE=Sx-24,'：AD+BD=AB,；.x+8x-24=12,...尤=4,；.AO=4.故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；動(dòng)點(diǎn)型.#網(wǎng)

4.（2017江蘇省宿遷市，第8題，3分）如圖，在RtZ\A8C中，NC=90°,AC=6cm,BC2cw,點(diǎn)尸在邊

AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)。在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng).若點(diǎn)尸，。均以lcm/s的速度同時(shí)出

發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接P。，則線段產(chǎn)。的最小值是（）

【答案】C.

【分析】根據(jù)已知條件得到CP=6-/,得到PQ=j2（53）2+18,r?是得到結(jié)論.

【解析】；”=CQ=f,；.CP=67,PQ=y/PC2+CQ2=7（6-O2+r-72（r-3）2+18,V0^^2,A

當(dāng)尸2時(shí)、P。的值最小，...線段PQ的最小值是2石，故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值：勾股定理；最值問題：動(dòng)點(diǎn)型.

5.（2017江蘇省無錫市，第10題，3分）如圖，△ABC中，/BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)。是BC的中

點(diǎn)，將△A3。沿AO翻折得到△AED,連CE,則線段CE的長等于（）

E

557

A.2B.一C.D.

435

【答案】D.

【分析】如圖連接BE交A￡>于O,作于首先證明AQ垂宜平分線段BE,△BCE是宜角三角

形，求出8C、2E在RtZYBCE中，利用勾股定理即可解決問題.

【解析】如圖連接BE交AD于。，作AH_L8C于從

在RtZiA8C中，：AC=4,A8=3,.,.BC=A/32+42=5,；CD=DB,：.AD=DC=DB-?，;--BC'AH--AB-AC,

222

1211

J.AH--,,.,AE=A8,DE=￡）B=OC,垂直平分線段BE,△BCE是直角三角形，：-?AD?BO=--BD?AH,

522

1224i---------/247

：.OB=—,；.BE=2OB=一，在RtZXBCE中，EC=^BC2-BE1=J52-（一）2=-,故選D.

55V55

點(diǎn)睛：本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積

法求高，屬于中考?？碱}型.

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

6.（2017浙江省寧波市，第11題，4分）如圖，四邊形A8CD是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在邊ABEBE=4,

過點(diǎn)E作EF〃BC,分別交B。，CD于G,尸兩點(diǎn).若M,N分別是。G,CE的中點(diǎn)，則MN的長為（）

A.3B.26C.713D.4

【答案】C.

【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△成「四△CM￡>,則EM=CM,利用勾股定理得：BD,EC的長,

可得AEBG是等腰直角三角形，分別求EM=CM的長，利用勾股定理的逆定理可得△加（?是等腰直角三角

形，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得MN的長.

【解析】連接FM、EM、CM,：四邊形A8CD為正方形，二/4BON8co=440090°,BC=CD,,:EF

//BC,:.NGFD=NBCD=9G°,EF=BC,：.EF=BC=DC,ZBDC^-ZADC=45°,△GF。是等腰直角

2

三角形，是。G的中點(diǎn)，:.FM=DM=MG,FMVDG,；.NGFM二NCDM=45°,二△EMF四△CM。，

；.EM=CM,過M作用，_LCD于”，由勾股定理得：BD=《?+6=6夜,￡6依+6?=2屈,VZ

E8G=45°,.?.△EBG是等腰直角=角形，：.EG=BE=4,：.BG=4O,；中乂=無，；.MH=DH=l,；.CH=6

-1=5,CM=EM=>/l2+52=V26,"ZC^EM'+CM1,：.ZEMC=90°,：N是EC的中點(diǎn)，/.

點(diǎn)睛：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形

斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，本題的關(guān)鍵是證明△EMC是直角三角形.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形：正方形的性質(zhì).

7.（2017浙江省杭州市，第10題，3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,8c=12,E為AC邊的中點(diǎn)，線段

8E的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D設(shè)8D=x,tan/4cB=），，則（）

A.x-7=3B.2x-y2=9C.3x-7=15D.4x-y2=2}

【答案】B.

【分析】過A作AQLBC于Q,過E作于M,連接OE,根據(jù)線段垂直平分線求出OE=5D=x,根

據(jù)等腰三角形求出8D=OC=6,求出CM=OM=3,解直角三角形求出EA/=3y,AQ=6y,在中，根據(jù)

勾股定理求出即可.

【解析】過A作AQ_L8c于。，過E作EM_LBC于歷，連接CE,：BE的垂直平分線交8c于BD=x,

EMAQ,

:.BD=DE=x,'：AB=AC,8c=12,tanNACB=y,/.=y,BQ=CQ=6,：.AQ=6y,'：AQ1BC,EM

IBC,：.AQ//EM,為AC中點(diǎn)，：.CM=QM=-CQ=3,：.EM=3y,：.DM=\2-3-x=9-x,在RtAEDM

中，由勾股定理得：?=(3y)2+(9-x)2,即2x-「=9,故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能正確

作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：解宜角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；綜合題.

8.（2017湖北省武漢市，第10題，3分）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰

三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在AABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）

【答案】D.

【分析】①以8為圓心，8c長為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)。，△8CQ就是等腰三角形;

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E,ZVICE就是等腰三角形：

③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)色△BCF就是等腰三角形；

④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H,△AC”就是等腰三角形：

⑤作AB的垂直平分線交AC于G,則AAGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分線交AB于I,則是等腰三角形.

⑦以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)K,ABCK就是等腰三角形;

【解析】如圖:

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力.

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；分類討論；綜合題；操作型.

9.（2017湖北省鄂州市，第10題，3分）如圖四邊形ABC。中，AD//BC,NBC￡）=90°,AB^BC+AD,Z

DAC=45°,E為CD上一點(diǎn),且NBAE=45°.若CQ=4,則aABE的面積為（）

【答案】D.

【分析】如圖取CD的中點(diǎn)F,連接BF延長BF交的延長線于G,作FHLAB于H,EALLA8于K.作

BT1AD于T.由△8CF絲△GOF,推出BC=DG,BF=FG,由△FBC0ZXF2/7,△布H絲△布￡>,推出BC=BH,

AD=AB,由題意AD=OC=4,設(shè)BC=7f)=BH=x,在RtZXABT中，"：A^Bli+Al2,可得(x+4)2=42+(4-%)

2,推出x=\,推出BC=BH=TD=1,48=5,設(shè)AK=EK=y,DE=z,根據(jù)A^A^+EK^AD^DE1,

B冰=BaK￡=Bd+Ed,可得42+z2=J①，(5-y)2+y2=l2+(4-z)2@,由此求出y即可解決問題.

【解析】如圖取C。的中點(diǎn)尸，連接8尸延長8尸交AO的延長線于G,作FH_LAB于H,EK_LA8于K.作

87J_AO于7.'JBC//AG,:.NBCF=NFDG,"：ZBFC=ZDFG,FC=DF,:./XBCgAGDF,：.BC=DG,

BF=FG,'：AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,：.AB^AG,,:BF=FG,.'.BF±BG,NABF=NG=NCBF,,：

FH±BA,FC工BC,：.FH二FC,易證△FBC出AFAH出△FAD,；.BC=BH,AD=AB,由題意AO=DU4,

設(shè)BC=TD=BH=x,在RtZXABT中，'：AB^Bf+AT2,：.(x+4)2=42+(4-x)2,.?.戶1,:.BC=BH=TD=l,

AB=5,設(shè)AK=EK=y,DE=z,'：A^A^+EK^ADr+DE1,B^B^+K^BC^+EC2,：.^+z=y?,(5-y)2+/=l2+

、9口2012050”小

(4-z)②，由①②可得y=—,?.SAAB所一X5X—二—,故選D.

,7'277

點(diǎn)睛：本題考查直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理、二元二次

方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積.

10.（2017貴州省畢節(jié)市，第15題，3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,4。平分/

CAB交BC于。點(diǎn)，E,尸分別是A。，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）

【答案】C.

【分析】依據(jù)勾股定理可求得A8的長，然后在AB上取點(diǎn)C',使AC'=AC,過點(diǎn)C'作C'F1AC,垂

足為凡交4。與點(diǎn)E,先證明C'E=CE,然后可得到CE+EF=C'E+EF,然后依據(jù)垂直線段最短可知當(dāng)點(diǎn)

CFLAC時(shí)，CE+EF有最小值，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】如圖所示：在AB上取點(diǎn)C',使AC'=AC,過點(diǎn)C'作C'FLAC,垂足為凡交AD與點(diǎn)E.

在RtZ\A8C中，依據(jù)勾股定理可知84=10.：AC=AC',ZCAD=ZC'AD,AE=CE,：./\AEC^/\AEC',

Z.CE=EC',：.CE+EF=C'E+EF,.?.當(dāng)C'F_LAC時(shí)，CE+E尸有最小值."：CFLAC,BCLAC,：.CF

,FC'AC'FC'6-,24

//BC,：.^AAFC^/XAACB,：.——=——，即14rl——=一，解得FC=一.故u選C.

BCAB8105

點(diǎn)睛：本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；角平分線的性質(zhì)；最值問題.

11.（2017遼寧省營口市，第7題，3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,E,F分別是8C,AC的中點(diǎn)，以

AC為斜邊作為△ADC,若NC4O=NCAB=45°,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.ZECD=ll2.5°B.DE平分/FQCC.ZDEC=30°D.AB:叵CD

【答案】C.

【分析】由AB=AC,/C4B=45°,根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求出/2=/AC8=67.5°.由Rt4

ADC中，ZCAD=45°,ZAD0900,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NACZ）=45°,根據(jù)等角對(duì)等邊得出

AD=DC,那么/反力=乙4。8+/4儀>=1125,從而判斷A正確；

根據(jù)三角形的中位線定理得到FE--AB,FE//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/EFC=/BAC=45°,ZFEO

2

ZB=67.5°.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到尸￡>='AC,DF±AC,NFDC=45°,等量

2

代換得到FE=/7）,再求出NF￡）E=NFEZA22.5°,進(jìn)而判斷B正確；

由NFEC=/B=67.5°,ZFED=22.5°,求出NDEONFEC-NFED=45°,從而判斷C錯(cuò)誤；

在等腰Rl/MOC中利用勾股定理求出4。=血。），又A8=AC,等量代換得至U<48=啦C力，從而判斷D正

確.

【解析】?，1B=.4C,ZC45=45°,.\Z5=Z.4C3=67.5°.

,..RiAADC中，ZCAD=45°,410090°,：.^4CD=450,AD=DC,.\Z￡CD=Z.4CS+Z4CD=112.5°,

故A正確，不符合題意；

?:E、尸分別是5C、NC的中點(diǎn)，，尸E=1.4B,FE//.4B,：.AEFC=^BAC=45°,^FEC=ZB=67.5°.

2

丁尸是.4C的中點(diǎn)，Z.1D0900,AD=DC,：.FD=^-AC,DF]_AC,ZFDC=45°,\\4B^4C,：.FE=FD,

2

：.ZFDE=^FED=-(180°-ZEFD)=-(180°-135°)=22.5°,：.&DE==々DC,：.DE平分/

222

FDC,故B正確，不符合題意；

,.-ZF￡C=Z5=67.5°,^FED=22.5°,：.ZDEC=AFEC-AFED=45°,故C錯(cuò)誤，符合題意；

?..RtA4DC中，Z.4DC=90°,.4D=DC,：.AC=72CD,'：AB=AC,：..4B=^2CD,故D正確，不符合題

意.

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查的是三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí).掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：三角形中位線定理；等腰三角形的性質(zhì).#網(wǎng)

12.(2016浙江省湖州市)如圖1,在等腰三角形A8C中，AB=AC=4,BC=1.如圖2,在底邊8C上取一點(diǎn)

D,連結(jié)AO,使得/O4C=/4CZ).如圖3,將△AC。沿著AO所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)

BE,得到四邊形ABED則BE的長是()

【答案】B.

【分析】只要證明得①一=——，只要求出8M、8。即可解決問題.

BMBE

【解析】：AB=AC,.*.NABC=/C,?.?/ZMC=N4C￡>,...N￡>AC=/A8C,：NC=NC,.?.△C4OSZ\CR4,

CACD4CD1633

—=——，，一=——，:.CD:——，BD=BC-CD=—,VZDAM^ZDAOZDBA,ZADM-ZADB,

CBAC7477

16

162332-162119

AAADDMunTDM

,ADM------,MB=BD-DM二-----------------------二——，

BDDA331633x733x733

TT

ZABM^=ZC=ZMED，：.A、B、E、D四點(diǎn)共圓，，/ADB=NBEM，NEBM=NEAD=NABD,

11933

---X——

ABBDBMBD33717

:.AABDsAMBE,——=-------，；?BE」--------故選B

BMBEAB44

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；四點(diǎn)共圓；等腰上角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；綜合題.

13.（2016湖北省武漢市）平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,2）、8（4,0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△ABC

為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A.

【分析】由點(diǎn)4、B的坐標(biāo)可得到A8-2正，然后分類討論：若AOA8；若BCA8；若CA=CB,確定C

點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】：點(diǎn)A、I的坐標(biāo)分別為（2,2）,B（4,0）,：,AB=2y/2;

①若AO48,以A為圓心，A8為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有,4個(gè)交點(diǎn)（含8點(diǎn)），即滿足△A8C是等腰三角形的

。點(diǎn)有3個(gè)；

②若3C=A8,以8為圓心，3A為半徑畫弧與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），即滿足△ABC是等腰三角形

的尸點(diǎn)有2個(gè)；

③若C4=CB,作AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即滿足△A8C是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；

在一條直線上的要舍去，所以點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△A8C是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有5個(gè).故選A.

考點(diǎn)：等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：分類討論.

14.（2016貴州省六盤水市）如圖,已知AlBl=AiA2,A2B^A2A3,A3B3^A3A4-,若NA=70°,則

NA”的度數(shù)為（）

B

【答案】C.

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/用心4,/&人必2及/為4小的度數(shù)，找出

規(guī)律即可得出N4-14&7的度數(shù).

0

【解析】?.?在△ABA|中，ZA=70°,AB=AtB,：.ZBA^IO,'：AXA^A{BX,NBAA是△小之巴的外角,

AZBAA=-ZBAiA=35°；

}2一}2

13570

同理可得，N82A3A2=17.5°，N&A以3=-X17.5°=-，Z.A：,■\AnBn■|=r.

242”T

故選C.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；規(guī)律型.

15.（2016山東省威海市）如圖，在△ABC中，ZB=ZC=36°,AB的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，交AB于

點(diǎn)H,AC的垂直平分線交8c于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G,連接A。，AE,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

H,G

BD

A.—=--------B.AD,AE將/B4C三等分C.D.S^=S^CEG

BC2ADH

【答案】A.

【分析】由題意知AB=AC./A4c=108°,根據(jù)中垂線性質(zhì)得/B=/D48=NC=/CAE=36°,從而知

B0BA

^BDA^/XBAC,得一=——，由ZADC-ZDAC=12Q得CD^CA-BA,進(jìn)而根據(jù)黃金分割定義知

BABC

些=3=避二1,可判斷4；根據(jù)ND48=/CAE=36°知/D4E=36°可判斷8；根據(jù)

BABC2

ZBAD+ZDAE^ZCAE+ZDAE=12°可得NBAE=NCAD,可證△區(qū)4E絲△C4C,即可判斷C；由

ABAE^ACAD知SABA『SACAE，根據(jù)DH垂直平分AB,EG垂直平分AC可得S—D卡SACEG，可判斷D.

【解析】?.,NB=NC=36°,；.A8=AC,N8AU108°,垂直平分48,EG垂直平分AC,

BDBA,

EA=EC,.?./B=NQAB=NC=/CAE=36°,AAABDA^ABAC,；.—=—,又

BABC

VZADC=ZB+ZBAD=12<,,ZDAC=ZBAC-ZBAD=12°,/.ZADC=ZDAC,：.CD=CA=BA,:.BD=BC

BC-BABAV5-1.BDBAJ5-I

-CD=BC-AB,則Hl-----------=?即tn——=,故Af曰i天；

BABC2BABC2

VZBAC=108°,N8=/￡>AB=/UNC4E=36°,.\ZDAE=ZBAC-NDAB-NC4E=36°,即

ZDAB=ZDAE=ZCAE=36°,：.AD,AE將NBAC三等分，故B正確；

VZBAE=ZBAD+ZDAE=12",ZCAD=ZCAE+ZDA￡=72°,:.NBAE=/CAD,在△BAE和△CAD中，

;NB=NC,AB=AC,NBAE=NCAD,：./XBAE^/XCAD,故C正確：

由△BAEg/\C4￡）可得S△必LSACAD，即SABAD+SAAOLSACAE+SAADE，；?SABAO=S“A￡；，又垂直平分A8,

EG垂直平分AC,S^CEG~~SACA￡>:-SAADH=SACEG，故。正確.

22

故選A.

考點(diǎn)：黃金分割；全等三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì).

16.（2016山東省德州市）在矩形ABCD中，AQ=2AB=4,E是AZ）的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂

點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交48,8c（或它們的延長線）于點(diǎn)M,N,

設(shè)N4EM=a（0°<a<90°）,給出下列四個(gè)結(jié)論：

2

?AM=CN；②NAME=/BNE；@BN-AM=2；④S"M后

cos2a

上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【分析】①作輔助線EFLBC于點(diǎn)F,然后證明Rt/\AME^Rt/\FNE,從而求出AM=FN,所以BM與CN

的長度相等.

②由①Rf/\AME烏Rt叢FNE,即可得到結(jié)論正確；

③經(jīng)過簡單的計(jì)算得到BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-（BM+AM）=BC-AB=4-2=2,④用面

積的和和差進(jìn)行計(jì)算，用數(shù)值代換即可.

【解析】①如圖，在矩形中，AD=2AB,E是AZ）的中點(diǎn)，作8c于點(diǎn)尸，則有AB=AE=EF=FC,

:NAEM+NDEN=90°,/FEN+NDEN=90°,；.NAEM=NFEN,在和Rf△尸NE中，：NAEM=

NFEN,AE=EF,NMAE=/NFE,:.RtAAME沿RtAFNE,:.AM=FN,：.MB=CN.

不一定等于CM不一定等于CM...①錯(cuò)誤，②由①有'/?/&4知￡：絲放△2可￡.?.NAME=NBNE,

，②正確，③由①得，BM=CN,'：AD=2AB=4,：.BC=4,AB=2

：.BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-48=4-2=2,.?.③正確，④如圖，

由①得，CN=CF-FN=2-AM,AE=-AD=2,AM=FN

2

AM

■:tana=----,AM=AEtana

AE

22

AMAE2AE1AMAM

cosa/.cos"a-?一］1+)2=l+tan2a,

22,,2A2

AETAE1+AM2AE+AM'cosaAE

._2_

一二2（1+tan2a)

??cos2a

,SA￡M/V=Spqj&?ABNE~S&AME~SAMBN

111

=一z(AE+BN)XAB--AEXAM--BNXBM

222

-(AE+BC-CN)X2--AEXAM--(BC-CN)乂CN

222

=-(AE+BC-CF+FN)X2--AEXAM--(BC-2+AM)(2-AM)

222

ME+BC-CFMM--AEXAM--(2+AM)(2-AM)

22

11

^AE+AM--AEXAM+-AM-

22

AE+AEtana--AE2tana+—AE?tan2a

22

=2+2tana-2tana+2tan2a

二2(Htan2a)

2

=——：—,...④正確.

cosa

故選c.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

17.（2016山東省淄博市）如圖，直線/|〃/2〃/3,一等腰直角三角形A8C的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C分別在公

12,乙上，NACB=90°,AC交心于點(diǎn)。，已知/i與，2的距離為1，b與，3的距離為3,則一的值為（）

45/2V34572205/2

A.----B?----C?----D?-----

55823

【答案】A.

【分析】先作出作BF_LA，AE±l3,再判斷△ACE也△C5F,求出CE=B尸3,CF=AE=4,然后由6〃八，求

出DG,即可.

aa

【解析】如圖，作BFll3,AE±l3,VZACB=90,AZBCF+ZACE=90,'ZZBCF+ZCFB=90°,

:.NACE=NCBF,在Z\ACE和/XCBF中，'：ZBFOZCEA,/CBF=NACE,BC=AC,：./\ACE^/\CBF,

；.CE=BF=3,CF=AE=4,與b的距離為1，心與，3的距離為3,：.AG=\,BG=EF=CF+CE=]

/—5~~-T咳式DGAG113325

??AB=VBG~+AG~=5>j2,?〃A,??-----=------=—，??DG--CE-—，??BD-BG-DG-1~~--，

CEAE44444

.AB57245/2

故選A.

■BD255

考點(diǎn)：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì).

18.(2016貴州省銅仁市)如圖，正方形4BCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CO上，且CE=2OE.將△4OE沿AE

對(duì)折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)AG、CF.下列結(jié)論：①△ABGgZXAFG；②BG=GC；

③EG=Z)E+8G；④AG〃CF；⑤SAFGC=3.6.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D.

【分析】先計(jì)算出DE=2,EC=4,再根據(jù)折疊的性質(zhì)AF=AD=6,EF=ED=2,N4FE=/￡)=90°,ZFAE=Z

DAE,然后根據(jù)“HL”可證明RtAABG〈R&FG,則GB二GF,N8AG=NE4G,所以NGAE-'/8AQ=45°；

2

GE=GF+EF=BG+DE；設(shè)BG=x,則GF=x,CG=BC-BG=6-%,在Rt/\CGE中，根據(jù)勾股定理得

(6—x)2+42=(x+2)2,解得X=3,貝|J8G=CG=3,則點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)；同時(shí)得到GF=GC,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)得NGFC/GCF,再由RtAABG學(xué)RtdAFG得至U乙4G8=NAG凡然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得/

BGF=NGFC+/GCF,易得NAGB=NGCF,根據(jù)平行線的判定方法得到CF〃AG；過F作FH_LZ)C,則4

2

EFHsAEGC,XEFHsXEGC,由相似比為一，可計(jì)算SAFGC

【解析】：正方形A8CO的邊長為6,CE=2DE,：.DE=2,EC=4,?把△4OE沿AE折疊使△4OE落在△

AFE的位置，：.AF=AD=6,EF=ED=2,ZAFE=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,在心/XASG和RfZkAFG中，?:

AB=AF,AG=AG,：.Rt^ABG^Rt/\AFG(HL),：.GB=GF,ZBAG^ZFAG,：.ZGAE=ZFAE+ZFAG=-Z

2

BAD-45°,所以①正確；

設(shè)8G=x,則GP=x,C=BC-BG=6-x,在RfZXCGE中，GE=x+2,EC=4,CG=6-x,CG2+CE2=GE2,

A(6-X)2+42=(X+2)2,解得X=3,，8G=3,CG=6-3=3,：.BG=CG,所以②正確;

；EF=ED,GB=GF,；.GE=GF+EF=BG+DE,所以③正確；

,:GF=GC,：.ZGFOZGCF,又,：Rt/\ABG沿Rt叢AFG,：.ZAGB=ZAGF,而NBGF=NGFC+NGCF,：.

ZAGB+ZAGF=ZGFC+ZGCF,：.ZAGB=ZGCF,：.CF//AG,所以④正確；

EHEF

過F作/：8C_LD/7,...F//〃GC,.,.△EFHs/xEGC,——=——，EF=DE=2,GF=3,；.EG=5,

GCEG

,AA………EHEF2.11.2

.?/\EFHs/\EGC,??相似比為：-----==—>?,S&FGUSAGCE-SAFEG-X3X4-—X4X(—X3)

GCEG5225

=3.6,所以⑤正確.

故正確的有①②③④⑤，故選D.

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).#網(wǎng)

19.（2016內(nèi)蒙古包頭市）如圖，在四邊形ABCQ中，AO〃8C,ZAB0900,E是AB上一點(diǎn)，且QE_LCE.若

A￡>=1,BC=2,C￡）=3,則CE與。E的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

B

A.CE=j3DEB.CE:垃DEC.CE=3DED.CE=2DE

【答案】B.

【分析】過點(diǎn)。作利用勾股定理可得AB的長，利用相似三角形的判定定理可得△ACES^BEC,

設(shè)8E=x,由相似三角形的性質(zhì)可解得x,易得CE,OE的關(guān)系.

【解析】過點(diǎn)D作DH1BC,VAD=1,BC=2,：.CH=1,DH二AB=\ICD2-CH2-打-I2-2后,'：AD//BC,

NA8c=90°，,NA=90°,'：DEICE,：.ZAED+ZBEC=90°,'：ZAED+ZADE=90a.NADE=NBEC,

A.ADAEDE_?,12V2—x.r—r—

：.AADE^ABEC,/.——=—=—,設(shè)BE=x,則AE二一=-------2y/2-x,即14r，l解得尸J2,

BEBCCEx2

ADDE1.rr.

---=----=-7=，??CE—>/2DE,故選B.

BECEV2

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì).

20.（2016四川省達(dá)州市）如圖，在△ABC中，平分/48C,4RLBF于點(diǎn)凡。為AB的中點(diǎn)，連接

。產(chǎn)延長交AC于點(diǎn)E.若AB=10,BC=16,則線段E尸的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半可得。后,AB二A。=以X5且NAB尸結(jié)合角平分

2

線可得NC8F=NOF8,B[JDE//BC,進(jìn)而可得力E=8,由EF=￡）E-。尸可得答案.

【解析】AZAFB=90°,：48=10,。為A8中點(diǎn)，：.DF=-AB=AD=BD=5,:.NABF=NBFD,

2

又,：BF平分NABC,：.NABF=NCBF,：.NCBF=NDFB,：.DE〃BC,：./\ADE^/XABC,：.——=——，

BCAB

DE5

即一=一,解得：DE=8,:.EF=DE-DF=3,故選B.

1610

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定；直角三角形斜邊上的中線.

21.（2016山東省東營市）在△4BC中，AB=10,AO2版，BC邊上的高AO=6,則另一邊BC等于（）

A.10B.8C.6或10D.8或10

【答案】C.

【分析】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在直角三角形A8C與直角三角形AC。中，利用勾股定理求出

BD與CD的長，即可求出BC的長.

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖I所示，A8=10,AC=2y/\0,AO=6,在和雙△ACZ）

中，根據(jù)勾股定理得：BD=yjAB2-AD2=8,CD=^AC2-AD2=2,此時(shí)8C=8O+C￡）=8+2=10；

如圖2所示,AB=10,AO2ji5,AD=6,在Rt^ABD和Rt/^ACD中，根據(jù)勾股定理得：-AD2=8,

CD=yjAC2-AD2-2,此時(shí)BC=BD-CD=8-2=6,則BC的長為6或10.故選C.

考點(diǎn)：勾股定理：分類討論.

22.（2016山東省淄博市）如圖，正方形A8CZ）的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=f>,連接GH,則線段GH

的長為（）

B.2A/2C.yD.10—50

【答案】B.

【分析】延長BG交CH丁點(diǎn)E,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△48G畛可得GE=BE-BG=2、

HE=CH-CE=2,NHEG=90°,由勾股定理可得GH的長.

【解析】如圖，延長BG交CH干點(diǎn)、E,在A4SG和△◎?丹中，?，45=CZM0,BG=DH=6,

：.A.4BG^ACDH(SSS'),JG2+5G2=.45