(學(xué))高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法處理數(shù)列和不等問題

（學(xué)）高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題：用放縮法處理數(shù)列和不等問題#分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。(2)由a=a2—a+1得：a—1=a(a—1).，.a-1=an+1nnn+1nnn-1(an-1-1)a-1=a(a-1)2 11以上各式兩邊分別相乘得：an+1-1=aaAaa(ann-1 21-1)，又a1=2.a=aaAn+1 nn-1aa+121（3）要證不等式1-22006a1+A+,<1，a200611可先設(shè)法求和：—+—+Aaa12+ ，a2006再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。?an+1a-1n+1a-1anna-1a-1n+1」+La1+ a2006a-11a-12)+(—a2-1a-13)+A+(—1a-12006a2007-1)a-11a2007——二1--1aaa12A2006<1又aaA12>a2006=220062006 1...1-aaAa12 200622006.,?原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。數(shù)列和不等問題（學(xué)生版）一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1．正數(shù)數(shù)列｝的前n項(xiàng)的和S，滿足2泠n n nn=a+1，n試求：（1）數(shù)列｝的通項(xiàng)公式;n（2），數(shù)列8｝的前n項(xiàng)的和為B,求證：aann+1真題演練1：(06全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)的和，Sn12——X2n+1+—,n=1,2,3,(I)求首項(xiàng)a與通項(xiàng)a；2n(II)設(shè)T——，n=1,2,3,，證明:nSn￡t<3.，2i—1二．先放縮再求和1．放縮后成等比數(shù)列，再求和例2.等比數(shù)列｛a｝中，a--1,前n項(xiàng)的和為S,且S,S,S成等差數(shù)列.n 1 2 n 798設(shè)b=，數(shù)列｛｝前n項(xiàng)的和為T,證明：T<1.n1-a n n n3nTOC\o"1-5"\h\z真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列｛〃卜滿足a=1,a=2a+1(neN*).n 1 n+1 n(I)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n(II)若數(shù)列｛b｝前足4『14b2-i 4b-i=(a+1)b(neN*)，證明：數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列；nn nn1aaan(III)證明：一一一<一+t+...+—n-<—(neN*).23aaa22 3 n+12．放縮后為“差比”數(shù)列2．放縮后為“差比”數(shù)列再求和n n+1例3.已知數(shù)列｛a｝滿足:nn+1=(1+一)a例3.已知數(shù)列｛a｝滿足:nn+12nn n+1 n 2n-1

3．放縮后成等差數(shù)列，再求和例4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a2+a=2S.n n nn n(1)求證：a2+a(1)求證：3<-n n11n4(2)求證：練習(xí)：131.(08南京一模22題)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+bx-，已知不論a,0為何實(shí)數(shù)，恒有f(cosa)<0且44f(2-sin0)>0.對于正數(shù)列｛a｝，其前n項(xiàng)和S=f(a),(ngN*).n nn(I)求實(shí)數(shù)b的值；(II)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n(III)若、=-^—,ngN，且數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和為T,試比較T和1的大小并證明之.n1+a + n n n6n2.（04全國）已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S滿足：S=2a+（-1）n,n>1n n nnTOC\o"1-5"\h\z（1）寫出數(shù)列｛a｝的前三項(xiàng)a,a,a；（2）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n 123 n11 17（3）證明：對任意的整數(shù)m>4，有一+—+A+——<-aaa845 m3.（07武漢市模擬）定義數(shù)列如下：a1=2,a=a2一a+1,neN*n+1 nn*，有*，有a=aaaa+1成立;

n+1nn-