概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章方差

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章方差第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五前面說到評(píng)判一批水泥板的質(zhì)量問題．若它們平均承受力較大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg．這批水泥板的承受力與平均值1000kg的偏離程度較大，質(zhì)量不穩(wěn)定、較差，不能被用于建造房屋，否則會(huì)發(fā)生事故．那么，我們?cè)撚檬裁戳咳ズ饬窟@個(gè)偏離程度呢？對(duì)于隨機(jī)變量X，雖然量E{|XE(X)|}能度量X與其均值E(X)的偏離程度，但它帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不方便．為了運(yùn)算方便，通常使用量來度量X與其均值E(X)的偏離程度．第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解

首先比較平均環(huán)數(shù)E(甲)=8.3,E(乙)=8.3有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若E[XE(X)]2存在,則稱其為

X的方差,記為Var(X)或Var(X)(deviationvariance)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

方差概念

即Var(X)=E[XE(X)]2

兩者量綱相同Var(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——數(shù)值第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例1設(shè)X的概率密度如下，求Var(X)解由方差的定義知第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例2設(shè)X~N(,2),求Var(X)解由方差的定義知令那么第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

方差的計(jì)算計(jì)算方差的常用公式：證明：因?yàn)閂ar(X)=E{

[XE(X)]2

}(由r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望)=E{X22E(X)X+[E(X)

]2}

=E(X2

)

2E(X)E(X)

+[E(X)

]2=E(X2

)

[E(X)

]2第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例3設(shè)隨機(jī)變量X具有期望E(X)=，標(biāo)準(zhǔn)差(X)=，記求證E(X*)=0,Var(X)=1.證明由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)化變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差Var(X)都存在,且Var(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量.那么第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例4設(shè)X~P

(),求Var(X).解一第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五解二所以第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例5設(shè)X~U(a,b)，求Var(X).解

Var(X)=E(X2)-E2(X)=第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例6設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布

，求Var(X).解因?yàn)镋

(X)=1/.E2(X)=1/2故．第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布Exp()N(,2)第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五1.Var(C)=02.Var(aX)=a2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)

方差的性質(zhì)3.對(duì)任意常數(shù)C,Var(X)

E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)

C=E(X)時(shí)等號(hào)成立4.Var(X)=0P{X=E(X)}=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì)1的證明：性質(zhì)2的證明：第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì)3的證明：當(dāng)C=E(X)時(shí)，顯然等號(hào)成立；當(dāng)CE(X)時(shí)，第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例6設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)求E(6X2)和Var(6X2)解：首先計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望于是第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五又從而利用方差的性質(zhì)，得第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五僅知r.v.的期望與方差并不能確定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025與有相同的期望方差但是分布卻不相同例如第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例7已知X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,Var(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解

在已知某些分布類型時(shí),若知道其期望和方差,便常能確定分布.第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五3.3分位數(shù)第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五定義3.3.1設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，0<p<1．若實(shí)數(shù)xp滿足

F(xp)=P{X<xp}=p則稱xp是X（或X服從的分布）的p分位數(shù)或p分位點(diǎn)．當(dāng)p=0.5時(shí)，稱x0.5為X的中位數(shù)．若用X的概率密度函數(shù)f(x)來表達(dá)，則有第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五若X~N(,2)，如圖下所示，陰影部分面積為f(x)xppxOO第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例3.3.1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求X的0.90分位數(shù)x0.90解X的分布函數(shù)由解得x0.90=3ln0.10=3ln10=6.9078．第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X~N(0,1)，常用up表示其p分位數(shù)．根據(jù)其概率密度函數(shù)的對(duì)稱性易知

up=u1p，見下圖x(x)Ou1puppp標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)up和u1p第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五下面列出了幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)up的值．它的中位數(shù)是0．p0.0010.0050.0100.0250.0500.1000.500up3.0902.576

2.326

1.960

1.645

1.2820p0.9000.9250.9500.9750.9900.9950.999up1.2821.4391.6451.9602.3262.5763.090標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)p分位數(shù)表是教材中給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的逆運(yùn)算。第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五分位數(shù)在實(shí)際問題中是常用的．例如，旅客在機(jī)場排隊(duì)領(lǐng)取登機(jī)牌，若要求95%的旅客能在15分鐘內(nèi)領(lǐng)到，那么，15就是旅客排隊(duì)時(shí)間（單位為分鐘）這一隨機(jī)變量X的0.95分位數(shù)x0.95；又如，在生產(chǎn)車間機(jī)器設(shè)備發(fā)生故障需要維修，若要求90%的故障在30分鐘內(nèi)完成維修，那么，30就是維修時(shí)間（單位為分鐘）這一隨機(jī)變量X的0.90分位數(shù)x0.90．第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五與數(shù)學(xué)期望一樣，中位數(shù)也是描述隨機(jī)變量的位置特征．在實(shí)際中，中位數(shù)也常用．例如，假設(shè)某一年上海市就業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生當(dāng)年的月薪金的中位數(shù)是2100元，這表明上海市該年大學(xué)畢業(yè)生中有將近半數(shù)人月薪金不高于2100元，另外將近半數(shù)人月薪金則不低于2100元．與數(shù)學(xué)期望相比，中位數(shù)總存在，但數(shù)學(xué)期望不一定存在．這是它的優(yōu)點(diǎn)．中位數(shù)的缺點(diǎn)是，它沒有象數(shù)學(xué)期望那樣好的運(yùn)算性質(zhì)．第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五眾數(shù)定義設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk,k=1,2,3,.若存在實(shí)數(shù)x*,使得對(duì)每個(gè)k=1,2,3,…,有P{X=x}≥P{X=xk

},則稱x*為X(或X服從的分布)的眾數(shù).(2)設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若存在實(shí)數(shù)x*,使得對(duì)一切x∈R有f(x*)≥f(x),則稱x*為X(或X服從的分布)的眾數(shù).第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五作業(yè)P82習(xí)題3.21，2，3，4第37頁，共39頁，