數學問題非傳統(tǒng)解法

數學問題非傳統(tǒng)解法第1頁/共149頁2023/4/112本章主要內容模糊邏輯與模糊推理神經網絡及其在數據擬合中的應用遺傳算法及其在最優(yōu)化問題中的應用小波變換及其在數據處理中的應用粗糙集理論與應用分數階微積分學及其應用本章要點簡介第2頁/共149頁2023/4/11310.1

模糊邏輯與模糊推理10.1.1經典集合論和模糊集10.1.2隸屬度與模糊化10.1.3模糊推理系統(tǒng)建立10.1.4模糊規(guī)則與模糊推理第3頁/共149頁2023/4/114經典集合論及其MATLAB

求解集合論是現代數學的基礎集合：一些事物的全體，而其中每一個事物均稱為集合中的一個元素?？擅杜e集合：該集合中的所有元素均可以一一列出的集合第4頁/共149頁2023/4/115集合表示舉例第5頁/共149頁2023/4/116MATLAB下的集合運算函數第6頁/共149頁2023/4/117【例10-1】已知對這些集合進行各種運算，并驗證第7頁/共149頁2023/4/118第8頁/共149頁2023/4/119【例10-2】試驗證結合律第9頁/共149頁2023/4/1110交集:并集:驗證結合律:第10頁/共149頁2023/4/1111模糊集合經典集合：

一個事物a

要么就屬于集合A，要么就不屬于集合A美國控制論專家LotfiAZadeh教授，1965Zadeh教授指出，當問題的復雜性增加時，精確的描述將失去意義，而有意義的描述將失去精度。第11頁/共149頁2023/4/1112第12頁/共149頁2023/4/111310.1.2隸屬度與模糊化鐘形隸屬度函數數學函數:MATLAB求解函數:第13頁/共149頁2023/4/1114【例10-3】繪制出不同參數組合下的鐘形隸屬度函數曲線。第14頁/共149頁2023/4/1115Gauss隸屬度函數數學函數:MATLAB求解函數:第15頁/共149頁2023/4/1116【例10-5】繪制不同參數下Gauss隸屬度第16頁/共149頁2023/4/1117Sigmoid型隸屬度函數數學函數:MATLAB求解函數:第17頁/共149頁2023/4/1118【例10-6】繪制Sigmoid隸屬度函數第18頁/共149頁2023/4/1119隸屬度函數的圖形編輯界面用界面編輯隸屬度函數修改隸屬度參數添加隸屬度函數第19頁/共149頁2023/4/112010.1.3模糊推理系統(tǒng)建立建立新模糊推理系統(tǒng):添加新變量:第20頁/共149頁2023/4/1121第21頁/共149頁2023/4/1122第22頁/共149頁2023/4/112310.1.3模糊規(guī)則與模糊推理模糊化模糊規(guī)則解模糊第23頁/共149頁2023/4/112410.2

神經網絡及其

在數據擬合中的應用10.2.1神經網絡基礎知識10.2.2神經網絡界面第24頁/共149頁2023/4/1125單個人工神經元的數學表示形式第25頁/共149頁2023/4/1126【例10-9】常用傳輸函數曲線第26頁/共149頁2023/4/1127BP神經網絡結構示意圖第27頁/共149頁2023/4/1128第28頁/共149頁2023/4/1129【例10-10】第29頁/共149頁2023/4/113010.2.1.2神經網絡的訓練與泛化神經網絡訓練函數目標值曲線函數神經網絡泛化第30頁/共149頁2023/4/1131【例10-11】由例8-25中的數據進行曲線擬合2個隱層，隱層節(jié)點選擇為5第31頁/共149頁2023/4/1132第32頁/共149頁2023/4/1133第33頁/共149頁2023/4/1134選擇隱層15個節(jié)點:第34頁/共149頁2023/4/1135【例10-12】二元函數的擬合第35頁/共149頁2023/4/1136第36頁/共149頁2023/4/1137第37頁/共149頁2023/4/1138第38頁/共149頁2023/4/113910.2.2神經網絡界面啟動神經網絡界面nntool【例10-13】重新求解一元函數擬合第39頁/共149頁2023/4/114010.3遺傳算法及其

在最優(yōu)化問題中的應用遺傳算法是基于進化論，在計算機上模擬生命進化機制而發(fā)展起來的一門新學科，它根據適者生存、優(yōu)勝劣汰等自然進化規(guī)則搜索和計算問題的解。美國Michigen大學的JohnHolland于1975年提出的。遺傳算法最優(yōu)化工具箱MATLAB7.0的遺傳算法與直接搜索工具箱第40頁/共149頁2023/4/1141遺傳算法的基本思想從一個代表最優(yōu)化問題解的一組初值開始進行搜索，這組解稱為一個種群，這里種群由一定數量的、通過基因編碼的個體組成，其中每一個個體稱為染色體，不同個體通過染色體的復制、交叉或變異又生成新的個體，依照適者生存的規(guī)則，個體也在一代一代進化，通過若干代的進化最終得出條件最優(yōu)的個體。第41頁/共149頁2023/4/1142簡單遺傳算法的一般步驟選擇n個個體構成初始種群，并求出種群內各個個體的函數值。設置代數為i=1，即設置其為第一代。計算選擇函數的值，所謂選擇即通過概率的形式從種群中選擇若干個個體的方式。通過染色體個體基因的復制、交叉、變異等創(chuàng)造新的個體，構成新的種群。i=i+1，若終止條件不滿足，則繼續(xù)進化。第42頁/共149頁2023/4/1143遺傳算法和傳統(tǒng)優(yōu)化算法比較不同于從一個點開始搜索最優(yōu)解的傳統(tǒng)的最優(yōu)化算法，遺傳算法從一個種群開始對問題的最優(yōu)解進行并行搜索，所以更利于全局最優(yōu)化解的搜索。遺傳算法并不依賴于導數信息或其他輔助信息來進行最優(yōu)解搜索。遺傳算法采用的是概率型規(guī)則而不是確定性規(guī)則，所以每次得出的結果不一定完全相同，有時甚至會有較大的差異。第43頁/共149頁2023/4/114410.3.2遺傳算法在求解最優(yōu)化問題中的應用舉例GAOT工具箱MATLAB7.0GA工具箱界面，gatool()第44頁/共149頁2023/4/1145【例10-14】第45頁/共149頁2023/4/1146不同初值得出不同“最優(yōu)解”第46頁/共149頁2023/4/1147第47頁/共149頁2023/4/1148最優(yōu)化搜索結果列表第48頁/共149頁2023/4/1149第49頁/共149頁2023/4/1150【例10-15】求最大值第50頁/共149頁2023/4/1151第51頁/共149頁2023/4/1152GAOT的最優(yōu)化函數可以設置其他參數n為最大允許代數第52頁/共149頁2023/4/1153【例10-16】求最大值第53頁/共149頁2023/4/1154第54頁/共149頁2023/4/1155第55頁/共149頁2023/4/1156【例10-14】求下面的最優(yōu)化問題第56頁/共149頁2023/4/1157第57頁/共149頁2023/4/1158遺傳算法優(yōu)化中間結果第58頁/共149頁2023/4/115910.3.3遺傳算法在有約束

最優(yōu)化問題中的應用不能直接用于有約束最優(yōu)化問題求解可以令不滿足約束的目標函數為小值仍采用gaopt()

或ga()

函數求解第59頁/共149頁2023/4/1160【例10-18】第60頁/共149頁2023/4/1161第61頁/共149頁2023/4/1162建議求解方法：用GA找出全局最優(yōu)解的大致位置以其為初值調用最優(yōu)化函數求精確解。第62頁/共149頁2023/4/116310.4小波變換

及其在數據處理中的應用10.4.1小波變換及基小波波形小波：均值為零的一族波形10.4.2小波變換技術在信號處理中的應用10.4.3小波問題的程序界面第63頁/共149頁2023/4/116410.4.1小波變換及其

在數據處理中的應用連續(xù)小波變換第64頁/共149頁2023/4/1165【例10-19】第65頁/共149頁2023/4/1166小波反變換函數第66頁/共149頁2023/4/1167【例10-20】第67頁/共149頁2023/4/1168離散小波變換第68頁/共149頁2023/4/1169【例10-22】第69頁/共149頁2023/4/1170小波工具箱中提供的基小波函數顯示基小波類型小波分析函數第70頁/共149頁2023/4/1171【例10-22】繪制Daubechies6基小波波形第71頁/共149頁2023/4/1172【例10-23】試繪制出常用基小波波形第72頁/共149頁2023/4/117310.4.2小波變換技術

在信號處理中的應用第73頁/共149頁2023/4/1174一維信號的小波分解提取近似系數cA和細節(jié)系數cD信號重建第74頁/共149頁2023/4/1175【例10-24】第75頁/共149頁2023/4/1176第76頁/共149頁2023/4/1177【例10-24】第77頁/共149頁2023/4/117810.4.3小波問題的程序界面可以鍵入wavemenu命令第78頁/共149頁2023/4/117910.5粗糙集理論與應用粗糙集(roughset)是波蘭數學家ZPawlak為開發(fā)自動規(guī)則生成系統(tǒng)及研究軟計算問題于1982年提出的。粗糙集理論是一種處理不精確、不確定與不完全數據的新的數學方法。能有效地分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備信息，并從中發(fā)現隱含的知識，揭示潛在的規(guī)律。第79頁/共149頁2023/4/1180下近似集：肯定屬于X的最大的集合上近似集：可能屬于X的最大集合集合邊界區(qū)若Bnd(X)非空，則X為關于R的粗糙集。第80頁/共149頁2023/4/1181【例10-26】可見可以寫出第81頁/共149頁2023/4/118210.5.1.3信息決策系統(tǒng)信息決策系統(tǒng)第82頁/共149頁2023/4/1183【例10-26】第83頁/共149頁2023/4/1184信息決策系統(tǒng)表第84頁/共149頁2023/4/1185近似集的MATLAB求解【例10-28】第85頁/共149頁2023/4/1186信息決策表第86頁/共149頁2023/4/118710.5.3基于粗糙集的約簡及處理約簡：不含多余屬性并保證分類正確的最小條件屬性集核集：所有不可約去的關系第87頁/共149頁2023/4/118810.5.2.2粗糙集理論在信息約簡中的應用舉例【例10-29】找出不必要的數碼管第88頁/共149頁2023/4/1189第89頁/共149頁2023/4/1190【例10-30】SARS診斷第90頁/共149頁2023/4/1191第91頁/共149頁2023/4/1192第92頁/共149頁2023/4/119310.5.2.3粗糙集約簡的MATLAB程序界面rsdav3第93頁/共149頁2023/4/119410.6分數階微積分學n=1/2，微分是什么？300年前的問題應用領域，包括分數階控制第94頁/共149頁2023/4/1195本節(jié)主要內容10.6.1分數階微積分的定義與性質10.6.2分數階微分的計算方法10.6.3分數階微分方程求解第95頁/共149頁2023/4/119610.6.1分數階微積分的定義與性質分數階Cauchy積分公式

第96頁/共149頁2023/4/1197Riemann-Liouville分數階積分公式分數階微分定義第97頁/共149頁2023/4/1198Caputo分數階微分定義Caputo分數階積分定義為第98頁/共149頁2023/4/1199分數階微積分有如下各條性質

線性交換律第99頁/共149頁2023/4/11100分數階微積分的積分變換積分的Laplace變換微分的Laplace變換零初始條件Fourier變換第100頁/共149頁2023/4/1110110.6.2分數階微積分的計算利用Fourier級數計算周期函數的分數階微積分其中第101頁/共149頁2023/4/11102正弦、余弦函數微分，同樣適用于分數階利用Fourier級數第102頁/共149頁2023/4/11103實現該算法的MATLAB函數第103頁/共149頁2023/4/11104【例10-31】求解該函數的分數階微積分第104頁/共149頁2023/4/11105第105頁/共149頁2023/4/11106不同階次的分數階微積分第106頁/共149頁2023/4/11107【例10-32】求取該函數的分數階微積分第107頁/共149頁2023/4/11108第108頁/共149頁2023/4/11109第109頁/共149頁2023/4/11110第110頁/共149頁2023/4/11111第111頁/共149頁2023/4/11112分數階微分的數值算法函數第112頁/共149頁2023/4/11113【例10-33】第113頁/共149頁2023/4/11114繪制微分曲面第114頁/共149頁2023/4/11115【例10-34】比較不同算法得出的0.75階微分Caputo算法結果第115頁/共149頁2023/4/11116分數階微積分的

Fourier變換算法Fourier變換分數階微分的Fourier變換第116頁/共149頁2023/4/11117離散Fourier變換函數分數階導數可以表示成計算方法，先用FFT,再乘以頻率加權，再進行FFT反變換求解第117頁/共149頁2023/4/11118分數階微積分的濾波算法連續(xù)濾波算法：Oustaloup算法其中:第118頁/共149頁2023/4/11119MATLAB函數第119頁/共149頁2023/4/11120【例10-35】的0.5階微分第120頁/共149頁2023/4/11121不同濾波器階次與參數對濾波修改影響第121頁/共149頁2023/4/11122FIR濾波器

第122頁/共149頁2023/4/11123【例10-36】第123頁/共149頁2023/4/11124IIR濾波器算法

變換函數連分式算法第124頁/共149頁2023/4/11125第125頁/共149頁2023/4/11126【例10-37】0.5階微分算子第126頁/共149頁2023/4/11127第127頁/共149頁2023/4/11128用

Pade近似代替連分式第128頁/共149頁2023/4/11129【例10-38】試構造更高階的濾波器第129頁/共149頁2023/4/1113010.6.3分數階微分方程的求解方法分數階線性微分方程的解法非線性分數階微分方程近似解法第130頁/共149頁2023/4/1113110.6.3.1分數階線性微分方程的解法分數階線性微分方程分數階傳遞函數第131頁/共149頁2023/4/11132

第132頁/共149頁2023/4/11133分數階線性微分方程的數值解法第133頁/共149頁2023/4/11134第134頁/共149頁2023/4/11135【例10-39】求解下面的分數階微分方程第135頁/共149頁2023/4/1113610.6.3.2非線性分數階微分方程近似解法利用Oustaloup濾波器近似，可以構造出

Simulink模塊c10mfode.mdl模塊可以直接應用與建模第136頁/共149頁2023/4/11137第137頁/共149頁2023/4/11138【例10-40】重新求解分數階線性微分方程選擇：變換：模型：c10mfode1.mdl第138頁/共149頁2023/4/11139【例10-41】求解分數階非線性微分方程模型：c10mfode2.mdl第139頁/共149頁2023/4/11140本章主要內容本章有關函數一覽表第140頁/共149頁2023/4/11141`第141頁/共149頁2023/4/11142第142頁/共149頁