材料力學(xué)第五章梁彎曲時(shí)的位移含能量法教學(xué)

材料力學(xué)第五章梁彎曲時(shí)的位移含能量法教學(xué)第1頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五一.概述第五章梁彎曲時(shí)的位移三.撓曲線近似微分方程四.疊加法計(jì)算梁的位移六.梁的剛度計(jì)算二.梁的位移─撓度及轉(zhuǎn)角五.能量法I-靜定結(jié)構(gòu)變形計(jì)算第2頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五一.概述1.工程實(shí)踐中的彎曲變形問題在工程中，對某些受彎構(gòu)件，要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證正常工作。

在另外一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。★變形過大的不利影響（工程實(shí)例）第3頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

●搖臂鉆床的搖臂等變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。搖臂鉆床(自重、鉆頭等約束力影響）第4頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

●橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。

●傳動(dòng)軸的支座處轉(zhuǎn)角過大，軸承發(fā)生磨損。第5頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

●車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用?！镒冃蔚挠欣矫妫üこ虒?shí)例）

●求解超靜定問題。第6頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五二.梁的位移─撓度及轉(zhuǎn)角撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。梁對稱彎曲時(shí)用什么參數(shù)表示軸線的變形??第7頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五xy撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。撓曲線撓曲線(deflectioncurve):變形后的軸線。第8頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五★工程實(shí)例控制截面的撓度、控制橋墩的水平位移第9頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五★工程中測量撓度的方法、儀器精密水準(zhǔn)儀、全站儀、GPS、機(jī)電百分表、光電方法等第10頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五三.撓曲線近似微分方程1.撓曲線方程(deflectionequation)xy撓曲線撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：第11頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

曲線

w=f(x)的曲率為梁純彎曲時(shí)曲率由幾何關(guān)系得第12頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五問題的關(guān)鍵：考慮上式中的取正還是取負(fù)？考慮小變形條件：第13頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五問題的關(guān)鍵：考慮上式中的取正還是取負(fù)？第14頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五思考:與小撓度微分方程相對應(yīng)的坐標(biāo)系為？（）xxxyyy(a)(b)(c)教材中采用（a)圖坐標(biāo)系第15頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五2.積分法求彎曲變形式中積分常數(shù)C、D由邊界條件確定●彎矩方程不分段時(shí)●彎矩方程分n段時(shí)，積分常數(shù)個(gè)數(shù)為2n由邊界條件確定的方程需要2n個(gè)方法的局限性：外力復(fù)雜或多跨靜定梁時(shí)計(jì)算量過大第16頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五光滑連續(xù)條件：FC邊界條件√××約束條件:兩端鉸處撓度為零。第17頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五鉸支座對位移的限制(A、B處撓度為零）連續(xù)光滑曲線(A、B處轉(zhuǎn)角、撓度唯一）邊界條件第18頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五固定端約束對位移的影響：B處轉(zhuǎn)角、撓度?連續(xù)光滑曲線邊界條件第19頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例1.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。第20頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：由邊界條件：得：第21頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：θAθB（↓）（）★轉(zhuǎn)角為正時(shí)，表示其轉(zhuǎn)向和由x軸轉(zhuǎn)向y軸的時(shí)針相同；撓度為正時(shí)，表示其方向和y軸正向相同。第22頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例2.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。第23頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：由邊界條件：得：第24頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θB第25頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五另解：邊界條件：第26頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θB第27頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例3已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在集中力F作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。第28頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：由邊界條件：得：由對稱條件：得：思考：?第29頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五AC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：第30頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五四.用疊加法計(jì)算梁的變形

在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。

若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。第31頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

如圖示，要計(jì)算三種載荷作用下在某截面如C截面撓度，則可直接查表：各載荷單獨(dú)作用下的撓度，然后疊加（代數(shù)和）。

如果不能直接查表，則要采用分段剛化等方法化成可查表形式。第32頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五逐段剛化法：變形后：ABAB`

BCB`C`C點(diǎn)的位移為：wc第33頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例4.用疊加法求第35頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加P361（）（）（）第36頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例5.若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角θB=0，求力偶矩m和P的關(guān)系？第37頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：第38頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例6.求外伸梁C處的位移。LaCABP解：ABCP剛化EI=PCfc1BC引起的位移θc1剛化AB第39頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五剛化BC，

AB部分引起的位移CABP剛化EI=fc2θB2PPaθB2第40頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例7.

求圖示變截面梁B、C截面的撓度。第41頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：第42頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五思考:梁橫截面為邊長為a的正方形，彈性模量為E1；拉桿橫截面為直徑為d的圓，彈性模量為E2。求:拉桿的伸長及AB梁中點(diǎn)的撓度。第43頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五Ⅳ、圖形互乘法（★★★★★）Ⅱ、卡氏第二定理Ⅲ、單位力法（★★★★★）五.能量法I-靜定結(jié)構(gòu)變形計(jì)算Ⅰ、桿件的應(yīng)變能第44頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能(又稱變形能)。

Ⅰ、桿件的應(yīng)變能

物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即第45頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五★桿件應(yīng)變能計(jì)算1、軸向拉伸和壓縮一般地第46頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五2、扭轉(zhuǎn)一般地第47頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五3、彎曲一般地純彎曲：第48頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五橫力彎曲時(shí)剪力影響：一般地第49頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

對橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當(dāng)高跨比較大（長梁）時(shí)，剪切變形能影響較小，可忽略不計(jì)，對短梁應(yīng)考慮剪切變形的影響。長梁應(yīng)變能：組合變形應(yīng)變能：第50頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五

對于線彈性體，其應(yīng)變能對某一荷載的偏導(dǎo)數(shù)，等于該荷載的相應(yīng)位移Δi。

用卡氏第二定理求結(jié)構(gòu)某處的位移時(shí)，該處需要有與所求位移相應(yīng)的荷載。如需計(jì)算某處的位移，而該處并無與位移對應(yīng)的荷載，則可采取附加力法。Ⅱ、卡氏第二定理第51頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五卡氏第二定理應(yīng)用于計(jì)算梁的截面轉(zhuǎn)角和撓度計(jì)算梁截面轉(zhuǎn)角計(jì)算梁的截面撓度第52頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例8彎曲剛度為EI的懸臂梁受三角形分布荷載作用，不計(jì)剪力對變形影響。用卡氏第二定理計(jì)算懸臂梁自由端A處轉(zhuǎn)角。BAl解：A處無與轉(zhuǎn)角對應(yīng)的力偶，可附加力偶。任意截面彎矩為第53頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五()請課后完成A處撓度的計(jì)算第54頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例9圖示平面折桿AB與BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段彎曲剛度均為EI,拉伸剛度為EA

。試用卡氏第二定理求截面C的水平位移和鉛垂位移。ACBFaa第55頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五ACBF解：1.計(jì)算C處鉛垂位移任意截面彎矩方程,軸力方程為第56頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五(

)2.計(jì)算C處水平位移(

)請同學(xué)課后完成水平位移的計(jì)算第57頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例10.求中點(diǎn)C的位移?？紤]如何用疊加法有一定難度，用能量法解很容易。第58頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：因BC彎曲剛度無窮大，只要對AC段考慮第59頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五Ⅲ、單位力法（單位載荷法）對于梁,彎矩應(yīng)用完全疊加法表示應(yīng)用卡氏第二定理應(yīng)變能第60頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五對于梁,有莫爾積分對應(yīng)于去掉原結(jié)構(gòu)中外力,只在i處加相應(yīng)單位力后的彎矩方程對應(yīng)于原結(jié)構(gòu)的彎矩方程?！裼?jì)算梁截面轉(zhuǎn)角時(shí),加單位力偶矩1●計(jì)算梁截面撓度時(shí),加單位集中力1第61頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五對于組合變形時(shí),推廣為對于平面桁架對應(yīng)于去掉原結(jié)構(gòu)中外力,只在i處加相應(yīng)單位力后的彎矩方程第62頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例11.已知懸臂梁長為l,彎曲剛度為EI,受力大小為F,計(jì)算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。第63頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：1.計(jì)算B處撓度(

)第64頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五2.計(jì)算B處轉(zhuǎn)角()第65頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例12.圖示平面折桿AB與BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段彎曲剛度均為EI,拉伸剛度為EA

。求截面C的鉛垂位移。ACBFaa第66頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五ACBF解：原結(jié)構(gòu)任意截面彎矩方程,軸力方程為ACB1單位力結(jié)構(gòu)相應(yīng)內(nèi)力方程為第67頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五第68頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五Ⅳ、圖形互乘法

在應(yīng)用莫爾積分求梁位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：

對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計(jì)算積分第69頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五直桿圖必定是直線或折線。第70頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五圖分段面積圖形心圖中對應(yīng)于C下縱坐標(biāo)第71頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五在平面剛架,組合結(jié)構(gòu)時(shí)，用下列形式計(jì)算注意:分段必須為直線段★在取面積的圖中找形心,另圖找對應(yīng)的縱坐標(biāo)M分段為直線段時(shí),也可以★找縱坐標(biāo)的圖必須為直線段

第72頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五頂點(diǎn)頂點(diǎn)二次拋物線★參考用圖

第73頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例13.已知懸臂梁長為l,彎曲剛度為EI,受分布力集度為q,計(jì)算自由端B處轉(zhuǎn)角。原結(jié)構(gòu)單位力結(jié)構(gòu)第74頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：1.畫M圖2.畫圖,設(shè)單位力偶順時(shí)針3.圖乘第75頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五思考：如何計(jì)算B處撓度?原結(jié)構(gòu)單位力結(jié)構(gòu)第76頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五第77頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例14.求中點(diǎn)C的位移。前面例10用卡氏第二定理解過，現(xiàn)用圖乘法解。第78頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五法1（回顧）解：因BC彎曲剛度無窮大，只要對AC段考慮第79頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五法2圖乘法只要圖乘左段ACAC第80頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例15.圖示平面折桿AB與BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段彎曲剛度均為EI,拉伸剛度為EA

。求截面C的鉛垂位移。ACBFaa（例12用單位力法求解）第81頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：1.畫M，F(xiàn)N圖FFaFaFa(0)(-F)1aaa(0)(-1)2.畫

，

圖3.圖乘第82頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。五、梁的剛度計(jì)算剛度條件：第83頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五例16.圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強(qiáng)度。第84頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五解：由剛度條件故滿足強(qiáng)度條件第85頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五●提高彎曲剛度的措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。①增大梁的抗彎剛度EI；②減小跨度或增加支承；③改變加載方式和支座位置。第86頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五選擇題練習(xí)第87頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五1、鋼筋緾繞一大圓滾筒上，關(guān)于鋼筋的最大正應(yīng)力()。①

、與圓滾筒的半徑無關(guān)②

、與圓滾筒的半徑成正比③

、與圓滾筒的半徑近似成反比④

、與圓滾筒的半徑嚴(yán)格成反比③分析：第88頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五2、等剛度梁發(fā)生平面平面彎曲時(shí)，撓曲線的最大曲率在()處。①

、轉(zhuǎn)角最大②

、撓度最大③

、剪力最大④

、彎矩最大④分析：第89頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五3、與小撓度微分方程相對應(yīng)的坐標(biāo)系為（）？xy(a)xy(b)xy(c)①、(a)和(c)(d)xy②

、(a)和(b)③

、(a)和(d)④

、(c)和(d)②分析：y坐標(biāo)向下為右邊負(fù)號第90頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五4、多跨靜定梁的用二次積分法求變形時(shí)，正確的為()。①

、彎矩方程和撓曲線方程可只分二段②、C處連續(xù)條件為：撓度和轉(zhuǎn)角連續(xù)。③、A處邊界條件為、：撓度為零，轉(zhuǎn)角不為零④

、彎矩方程和撓曲線方程必須分三段④第91頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五5、等截面梁純彎曲時(shí)，關(guān)于撓曲線()。②①

、按二次積分法為圓?、?/p>

、實(shí)際為圓弧③

、按積分法為拋物線，可見圓弧假設(shè)是近似④

、以上均不對分析：按積分法為拋物線因微分方程近似而得第92頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五6.

不計(jì)自重的圓截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的長度增加一倍，外力作用于自由端，則自由端的撓度為原來的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍③分析：第93頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五7.

不計(jì)自重的圓截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不變，則自由端的撓度為原來的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍分析：①第94頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五ABC8.彎曲剛度為EI梁，正確說法為（）。①、A、B、C處轉(zhuǎn)角相等②、B、C處轉(zhuǎn)角不相等③、B處撓度為C處的二倍④、B處和C處轉(zhuǎn)角相同④第95頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五9.

彎曲剛度為EI的梁，B處轉(zhuǎn)角等于（）。①、②、③、④、ABC②第96頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五10.

圖示力偶矩,則梁B端的轉(zhuǎn)角為（）。①、②、③、④、①第97頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五11.

一等截面懸臂梁，在均勻自重作用下，自由端的撓度與（）。①

、梁的長度成正比②

、梁的長度的平方成正比③

、梁的長度的立方成正比④

、梁的長度的四次方成正比④分析：第98頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五11.

簡支梁，一為鋼梁，另一為鋁梁。兩者長度，剛度都相同，不計(jì)自重下，跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。①

、最大撓度②

、最大轉(zhuǎn)角③

、約束反力④

、最大正應(yīng)力分析：③

顯然不選;①、②性質(zhì)上并列④第99頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五分析：第100頁，共112頁，2023年，2月20日，星期五12.

一水平梁的撓曲線方程為則（）。①、梁的彎矩圖為圓弧部分