第三知識(shí)塊導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第三知識(shí)塊導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考情回顧近三年高考試題統(tǒng)計(jì)分析（以山東為例）科類時(shí)間理科文科題號(hào)分值題號(hào)分值2022年(14)(21)412(21)122022年(21)12（21）122022年（22）14（8）（21）5121、縱向比較近幾年山東的高考題：理科：08年求函數(shù)的極值，證明不等式；09年解應(yīng)用題求最值；10年考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；文科：08年考查了知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較代數(shù)式的大??；09年求函數(shù)的極值，求參數(shù)的取值范圍；10年解應(yīng)用題求最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性2、橫向比較2022年各省的考試題：（1）所涉及的題目類型：①應(yīng)用題；②求參數(shù)的取值范圍；③判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；④證明不等式；⑤具體函數(shù)的極值，最值及切線方程間的運(yùn)算；⑥創(chuàng)新題：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，方程，不等式，線性規(guī)劃及函數(shù)的零點(diǎn)的結(jié)合題。(2)題目特點(diǎn)及分析：①與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題目多為高檔題。多和方程，不等式，函數(shù)聯(lián)系。②原函數(shù)多為三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合或?qū)?shù)函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合，求導(dǎo)后多轉(zhuǎn)化為定義在上的二次函數(shù)，或定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間的二次函數(shù)，③導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用涉及面廣，考查的范圍大，但與定積分有關(guān)的題目基本沒有，希望引起同仁的注意，這也是在考試范圍之內(nèi)。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念平均變化率瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值和最值生活中的優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2022考綱解讀1、了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)．掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念；2、熟記基本導(dǎo)數(shù)公式。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用；3、了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、了解復(fù)合函數(shù)的概念（理科）。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法則解決一些簡(jiǎn)單問題。2022命題趨勢(shì)導(dǎo)數(shù)是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，其中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì)2022年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會(huì)有大的變化：（1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會(huì)考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題；（2）2022年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)。定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問題中非常廣泛，預(yù)測(cè)2022年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低檔題；（2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型熱點(diǎn)題型解讀考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1、（2022全國卷2文7）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（A）(B)(C)(D)【解析】∵，∴，在切線，∴【命題意圖】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意思即求曲線上一點(diǎn)處的切線方程2、（2022全國卷2理10）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則（A）64（B）32（C）16（D）8【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面積是，解得.故選A.【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力..3、（2022遼寧文12）已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角則的取值范圍是(A)[0,)(B)（C）(D)【解析】選D.，，即，【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的知識(shí)。4、（2022江西理12）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為【解析】最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A?！久}立意】本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力。5、（2022天津文20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【解析】（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-f(x)極大值當(dāng)?shù)葍r(jià)于解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2，則.當(dāng)x變化時(shí)，f’(x),f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)極大值極小值當(dāng)時(shí)，f（x）>0等價(jià)于即解不等式組得或.因此2<a<5.綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法.考點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用題型一、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式綜合在一起，解決單調(diào)性，參數(shù)的范圍等問題。解決單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為解含參數(shù)的一元二次不等式或高次不等式的問題；求解參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立，能成立，恰成立來求解。進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值或一元二次不等式在給定區(qū)間上（或?qū)崝?shù)集）上的恒成立問題來解決，從而達(dá)到考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。6、（2022遼寧理21）已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍。解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，+∞）..當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（Ⅱ）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而，等價(jià)于，①令，則①等價(jià)于在（0，+∞）單調(diào)減少，即.從而故a的取值范圍為（-∞，-2].題型二、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決極值，極值點(diǎn)、最值等問題這類問題常常涉及求函數(shù)解析式、求參數(shù)值或取值范圍問題。解決極值，極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性；參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為解不等式的問題；有時(shí)需要借助于方程的理論來解決。從而達(dá)到考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想。7.（2022天津理21）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，（Ⅲ）如果，且，證明【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f’(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因?yàn)?，所以，又由（Ⅰ）可知函?shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.題型三、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解決求函數(shù)的解析式、參數(shù)值、極值、切線方程，單調(diào)性及切線方程有關(guān)的問題此類問題求單調(diào)性的過程就是解一元二次不等式和高次不等式的問題。從而達(dá)到考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。8、（2022北京文）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）,∵曲線在點(diǎn)處與直線相切，∴（Ⅱ）∵,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴此時(shí)是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).題型四、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決極值，最值等問題。求極值的過程就是討論函數(shù)單調(diào)性及解含參數(shù)的不等式問題；通過構(gòu)造函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具，證明不等式，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。從而達(dá)到考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。9、（2022年，山東卷）已知函數(shù)為常數(shù).（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)時(shí)，有【解析】（Ⅰ）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)， ∴①當(dāng)時(shí)，，∵，∴恒成立，即在上恒成立，故在上為減函數(shù)，∴無極值。②當(dāng)時(shí)，由得，判別式，∴不等式對(duì)恒成立，從而在上恒成立，故在上為減函數(shù)，∴也無極值。③當(dāng)a>0時(shí)，由，即，判別式，∴方程有兩個(gè)不同實(shí)根，解之得： 又時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，∴在處有極小值為 綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時(shí)，無極值.（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有，∴故只需證明即可，下面直接作差構(gòu)造函數(shù)證明：令則當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即成立.故當(dāng)時(shí)，有，即題型五、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決求參數(shù)值、單調(diào)性問題‘用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖像的交點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍和解決有關(guān)證明問題，常常借助極值的分布特征，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)值、端點(diǎn)值，畫出原函數(shù)的草圖來解決。值得強(qiáng)調(diào)的是：必須考慮函數(shù)的定義域，從而達(dá)到考查數(shù)形結(jié)合的思想10、（2022廣東卷理）已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．解析（1）依題可設(shè)()，則；又的圖像與直線平行，，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得（2）由()，得當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有二解，若，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；若，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，方程有一解,,函數(shù)有一零點(diǎn)綜上，當(dāng)時(shí),函數(shù)有一零點(diǎn)；當(dāng)()，或（）時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn)思維方法小結(jié)（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D，并且解決問題的過程中始終立足于定義域D.若由不等式確定的x的取值集合為A，由確定的的取值范圍為B，則應(yīng)有.如：.（2）最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函