現(xiàn)代控制理論自用

現(xiàn)代控制理論自用第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日注：類似其中為矩陣；為矩陣1.齊次線性方程的非零解考慮下面結論成立的行列式不為零等價于方程有唯一零解；的行列式為零等價于方程有非零解，且解構成向量空間，基礎解析所含向量的個數(shù)（解空間的維數(shù)）為；一.預備知識§2.1系統(tǒng)的可控性第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2.凱萊-哈密頓定理設n階矩陣A的特征多項式為則A滿足其特征方程，即式（2.2-2）稱為凱特-哈密頓定理。證明據(jù)逆矩陣定義有式中B(λ)為(λI-A)的伴隨矩陣，其一般展開式為第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日B(λ)的元素均為

(n+1)階多項式，根據(jù)矩陣加法規(guī)則將其分解為n個矩陣之和，即Bn-1,Bn-2,…,B0為n階矩陣。將式(2.1－3)的兩端右乘

將式（2.1－4）代入式（2.1－5）并展開，有第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日由方程兩端λ同冪項系數(shù)相等的條件有將式

的前n個等式兩端按順序右乘An,An-1,…,A將式

中各式相加，則證畢。第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日證明故上述推論成立。式中αm與A陣的元素有關。該推論可用以簡化矩陣的冪的計算。推論1

矩陣A的k（k≥n）次冪，可表示為A的（n-1）階多項式第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日這是由于令推論2矩陣指數(shù)eAt可表為A的（n-1）階多項式第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日則有

故推論2成立。式（2－126）中的α

0(t),α

1(t),…,α

n-1(t)均為t的冪函數(shù)。第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日動態(tài)系統(tǒng)的可控性和可觀測性是揭示動態(tài)系統(tǒng)不變的本質特征的兩個重要的基本結構特性。系統(tǒng)可控性指的是控制作用對被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出進行控制的可能性?？捎^測性反映由能直接測量的輸入輸出的量測值來確定反映系統(tǒng)內部動態(tài)特性的狀態(tài)的可能性。為什么經典控制理論沒有涉及到可控性和可觀測性問題?二.

線性定常系統(tǒng)的可控性及其判據(jù)第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日例2.1.1:

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結構圖分別為本例中,狀態(tài)變量x1的運動只受初始狀態(tài)x1(0)的影響,與輸入無關,即輸入u(t)不可控制x1(t)的運動,而且x1(t)不能在有限時間內衰減到零。因此,狀態(tài)x1(t)不可控,則整個系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。1/s-1-21/s第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

給定系統(tǒng)一個初始狀態(tài)，如果在的有限時間區(qū)間內，存在容許控制，使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時刻是能控的；如果系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。1.能控性定義說明：1）初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中的任意非零有限點，控制的目標是狀態(tài)空間的坐標原點。（如果控制目標不是坐標原點，可以通過坐標平移，使其在新的坐標系下是坐標原點。）維向量輸出,為滿足矩陣運算的矩陣。其中，為維向量，為維向量輸入，為第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日5）當系統(tǒng)中存在不依賴于的確定性干擾時，不會改變系統(tǒng)的能控性。2）如果在有限時間區(qū)間內，存在容許控制，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標原點推向預先指定的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可達的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的可控性和可達性是等價的。3）只有整個狀態(tài)空間中所有的有限點都是可控的，系統(tǒng)才是可控的。4）滿足

式的初始狀態(tài)，必是可控狀態(tài)。第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)PBH秩判據(jù)模態(tài)判據(jù)運算的矩陣。其中，為維向量，為維向量輸入，為滿足矩陣第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日1）格拉姆矩陣判據(jù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)式

完全可控的充要條件是，存在時刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：非奇異。證明

充分性：已知

為非奇異，欲證系統(tǒng)完全可控。已知

非奇異，故

存在。對于任一非零初始狀態(tài)

可選取

為則在

作用下系統(tǒng)

在

時刻的解為第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日必要性:已知系統(tǒng)完全可控，欲證

為非奇異。表明，對任一取定的初始狀態(tài)

，都存在有限時刻

和控制

，使狀態(tài)由

轉移到t1時刻的狀態(tài)

，于是根據(jù)定義可知系統(tǒng)完全可控。充分性得證。采用反證法。設

為奇異，則存在某個非零向量成立，由此可導出第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日由此又可導出其中||·||為范數(shù)，故其必為正值。于是，欲使式

成立，應當有另一方面，因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對此非零向量應當有第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日再利用式（2.1－19），由式（2.1－22）可以得到顯然，此結果與假設相矛盾，即

為非奇異因此，若系統(tǒng)完全可控，

必為非奇異。必要性得證。證畢。

可以看出，在應用格拉姆矩陣判據(jù)時需計算矩陣指數(shù)eAt，在A的維數(shù)n較大時計算eAt是困難的。所以格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣A和B判斷可控性的秩判據(jù)。。的反設不成立。第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日2)秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件其中n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。證明

充分性：已知rankS＝n，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。反設系統(tǒng)為不完全可控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知為奇異，這意味著存在某個非零n維向量α使成立。顯然，由此可導出將式

求導直至n－1次，再在所得結果中令t＝0，得到第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日式

又可表示為由于α≠0，所以式

意味著S為行線性相關，即rankS<n,這顯然和已知rankS=n相矛盾。因而反設不成立，系統(tǒng)應為完全可控。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n.采用反證法。反設rankS<n,這意味著S為線性相關，因此必存在一個非零n維常數(shù)向量α使成立?？紤]到問題的一般性，由上式可導出根據(jù)凱萊－哈密頓定理，An，An+1，…均為可表示為A的（n－1）階多項式，因而式

又可寫為第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日從而對任意t1>0有從而因而有由于已知α≠0，若式

成立，則W（0，t1）必為奇異，系統(tǒng)為不完全可控，與已知結果相矛盾。于是有rankS=n,必要性得證。秩判據(jù)證畢。第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日例2.1.2判斷下列狀態(tài)方程的可控性解系統(tǒng)的可控性矩陣顯見S矩陣的第二、第三行元素絕對值相同，rankS=2<3,系統(tǒng)不可控。第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日3)PBH秩判據(jù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件是，對矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,3,…,n),均成立，或等價地表示為證明必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證式

成立。采用反證法。反設對某個為線性相關，因而必存在一個非零常數(shù)向量α，使成立?？紤]到問題的一般性，由式

可導出即(sI-A)和B是左互質的。

由于這一判據(jù)由波波夫和貝爾維奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其廣泛應用性，故稱為PBH秩判據(jù)。第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日進而可得于是有因已知α≠0，所以欲使式

成立，必有這意味著系統(tǒng)不可控，顯然與已知條件相矛盾，因而反設不成立，而式

成立?？紤]到[sI-AB]為多項式矩陣，且對復數(shù)域C上除λi(i=1,2,3,…,n)以外的所有s均有det(sI-A)≠0，所以式

等價于式

。必要性得證。充分性：已知式

成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。利用與上述相反的思路，即可證明充分性。至此，PBH秩判據(jù)證畢。第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日例2.1.3已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的可控性。解根據(jù)狀態(tài)方程可寫出考慮到A的特征值為所以只需對它們來檢驗上述矩陣的秩。通過計算可知，第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日計算結果表明，充分必要條件

成立，故系統(tǒng)完全可控。第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日解由方程|iI-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為1,2和3。對特征值1=1,有例2.1.4：試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日對特征值2=2,有對特征值3=3,有由PBH秩判據(jù)可知,該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日4）約當規(guī)范型判據(jù)（模態(tài)判據(jù)）

線性定常連續(xù)系統(tǒng)

完全可控的充要條件分兩種情況：⑴矩陣A的特征值λi(i=1,2,3,…,m),是兩兩相異的。由線性變換可將式

變?yōu)閷且?guī)范型則系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是，在式

中，不包含元素全為零的行。證明可用秩判據(jù)予以證明，推證過程略。第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日例2.1.5已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為（9－148）試判定系統(tǒng)的可控性。解由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期日例題：判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性第30頁，共35