二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題學案練案

主備人張建民校對閆曉偉年級主任孫重社備課組長王宗芳課題二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題課時考綱要求1.從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.學習重點.從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．學習難點截距模型及應用問題自主梳理1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)判斷不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面區(qū)域，可在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個特殊點，如選原點或坐標軸上的點來驗證Ax＋By＋C的正負．當C≠0時，常選用原點(0,0)．對于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)，當B>0時，①Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0________的區(qū)域；②Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0________的區(qū)域．(2)畫不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域時，其邊界直線應為虛線；畫不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域時，邊界直線應為實線．畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常用的方法是：直線定“界”、原點定“域”．2．線性規(guī)劃的有關概念(1)線性約束條件——由條件列出一次不等式(或方程)組．(2)線性目標函數(shù)——由條件列出一次函數(shù)表達式．(3)線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題．(4)可行解：滿足____________的解(x，y)．(5)可行域：所有________組成的集合．(6)最優(yōu)解：使____________取得最大值或最小值的可行解．3．利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域．(2)作出目標函數(shù)的等值線．(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等值線，從而確定__________．自我檢測1．在平面直角坐標系中，若點(－2，t)在直線x－2y＋4＝0的上方，則t的取值范圍是______________．2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應是________(填序號)．3．設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－y≥0，,2x－y－2≤0，))則z＝3x－2y的最大值為________．4．若實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝________.5．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的兩個根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，則eq\f(b－3,a－1)的最大值為________.探究點一不等式組表示的平面區(qū)域例1畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：(1)指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？變式遷移1在平面直角坐標系中，有兩個區(qū)域M、N，M是由三個不等式y(tǒng)≥0，y≤x和y≤2－x確定的；N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所確定．設M、N的公共部分的面積為f(t)，則f(t)＝______________.探究點二求目標函數(shù)的最值例2設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤3，,x－y≥－1，,y≥1，))則目標函數(shù)z＝4x＋2y的最大值為_________________________________________________________________．變式遷移2設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x－5y＋10≤0，,x＋y－8≤0，))則目標函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值分別為________和________．數(shù)形結合求最值例(14分)變量x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))(1)設z＝4x－3y，求z的最大值；(2)設z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(3)設z＝x2＋y2，求z的取值范圍．【突破思維障礙】1．求解目標函數(shù)不是直線形式的最值的思維程序是：eq\x(畫出可行域)→eq\x(\a\al(明確目標函數(shù),z的幾何意義))→eq\x(\a\al(結合圖形,找最優(yōu)解))→eq\x(\a\al(求目標函,數(shù)的最值))2．常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點：(1)eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；eq\r((x－a)2＋(y－b)2)表示點(x，y)與點(a，b)的距離．(2)eq\f(y,x)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；eq\f(y－b,x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．1．在直角坐標系xOy內(nèi)，已知直線l：Ax＋By＋C＝0與點P(x0，y0)，若Ax0＋By0＋C>0，則點P在直線l上方，若Ax0＋By0＋C<0，則點P在直線l下方．2．在直線l：Ax＋By＋C＝0外任意取兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若P、Q在直線l的同一側(cè)，則Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C同號；若P、Q在直線l異側(cè)，則Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C異號，這個規(guī)律可概括為“同側(cè)同號，異側(cè)異號”．3．線性規(guī)劃解決實際問題的步驟：①分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；②確定線性約束條件；③確定線性目標函數(shù)；④畫出可行域；⑤利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；⑥實際問題需要整數(shù)解時，應適當調(diào)整，以確定最優(yōu)解．練案1．若點(3,1)和(－4,6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是________．2．在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為________．3．已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y))給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(eq\r(2)，1)，則z＝eq\r(2)x＋y的最大值為______________．4．設變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為________．5．設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面區(qū)域為D.若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是________．6．已知實數(shù)x、y同時滿足以下三個條件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，則eq\f(y,x)的取值范圍是______________．7．設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域為M，若函數(shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象經(jīng)過區(qū)域M，則實數(shù)k的取值范圍是____________．8.已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的范圍．備用及答案11．(14分)預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌子、椅子各買多少才行？5．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z等于________元．二、解答題(共42分)9．(14分)某營養(yǎng)師要為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？探究點三線性規(guī)劃的實際應用例3某公司計劃2012年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分和200元/分．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問：該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？變式遷移3某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時，可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大時，甲車間加工原料____箱，乙車間加工原料【答題模板】解由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1))作出(x，y)的可行域如圖所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,3x＋5y－25＝0))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x－4y＋3＝0))，解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0,3x＋5y－25＝0))，解得B(5,2)．[5分](1)由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).當直線y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)過點B時，－eq\f(z,3)最小，z最大．∴zmax＝4×5－3×2＝14.[8分](2)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).[11分](3)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.[14分]學案33二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題答案1．(1)①上方②下方2.(4)線性約束條件(5)可行解(6)目標函數(shù)3.(3)最優(yōu)解自我檢測1．(1，＋∞)2.③3.44.15.eq\f(3,2)課堂活動區(qū)例1解題導引在封閉區(qū)域內(nèi)找整點數(shù)目時，若數(shù)目較小時，可畫網(wǎng)格逐一數(shù)出；若數(shù)目較大，則可分x＝m逐條分段統(tǒng)計．解(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點的集合．x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點的集合．所以，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面區(qū)域如圖所示．結合圖中可行域得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3,8]．(2)由圖形及不等式組知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≤y≤x＋5，,－2≤x≤3，且x∈Z.))當x＝3時，－3≤y≤8，有12個整點；當x＝2時，－2≤y≤7，有10個整點；當x＝1時，－1≤y≤6，有8個整點；當x＝0時，0≤y≤5，有6個整點；當x＝－1時，1≤y≤4，有4個整點；當x＝－2時，2≤y≤3，有2個整點；∴平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個)．變式遷移1－t2＋t＋eq\f(1,2)解析作出由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,y≤x,y≤2－x))組成的平面區(qū)域M，即△AOE表示的平面區(qū)域，當t＝0時，f(0)＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，當t＝1時，f(1)＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，當0<t<1時，如圖所示，所求面積為f(t)＝S△AOE－S△OBC－S△FDE＝eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)[2－(t＋1)]2＝－t2＋t＋eq\f(1,2)，即f(t)＝－t2＋t＋eq\f(1,2)，此時f(0)＝eq\f(1,2)，f(1)＝eq\f(1,2)，綜上可知f(t)＝－t2＋t＋eq\f(1,2).例2解題導引1.求目標函數(shù)的最值，必須先準確地作出線性可行域再作出目標函數(shù)對應的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點，進而求出目標函數(shù)的最值．2．線性目標函數(shù)z＝ax＋by取最大值時的最優(yōu)解與b的正負有關，當b>0時，最優(yōu)解是將直線ax＋by＝0在可行域內(nèi)向上平移到端點(一般是兩直線交點)的位置得到的，當b<0時，則是向下方平移．答案10解析畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z＝4x＋2y可轉(zhuǎn)化為y＝－2x＋eq\f(z,2)，作出直線y＝－2x并平移，顯然當其過點A時縱截距eq\f(z,2)最大．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＝1))得A(2,1)，∴zmax＝10.變式遷移23－11解析作出可行域如圖所示．目標函數(shù)y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z，則過B、A點時分別取到最大值與最小值．易求B(5,3)，A(3,5)．∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.例3解題導引解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結合求解；(4)作答．解設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,500x＋200y≤90000，,x≥0，y≥0.))目標函數(shù)為z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,5x＋2y≤900，,x≥0，y≥0.))作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示．作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過點M時，目標函數(shù)取得最大值．由方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,5x＋2y＝900，))解得x＝100，y＝200.所以點M的坐標為(100,200)．所以zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．變式遷移31555解析設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤70，,10x＋6y≤480，,x≥0，,y≥0.))甲、乙兩車間每天總獲利為z＝280x＋200y.畫出可行域如圖所示．點M(15,55)為直線x＋y＝70和直線10x＋6y＝480的交點，由圖象知在點M(15,55)處z取得最大值．課后練習區(qū)1．(－7,24)2.13．4解析由線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y))畫出可行域如圖所示，目標函數(shù)z＝·＝eq\r(2)x＋y，將其化為y＝－eq\r(2)x＋z，結合圖形可知，目標函數(shù)的圖象過點(eq\r(2)，2)時，z最大，將點(eq\r(2)，2)的坐標代入z＝eq\r(2)x＋y得z的最大值為4.4．2，－2解析|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．設z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知：當l過點(0,1)時，z有最大值zmax＝0＋2×1＝2；當l過點(0，－1)時，z有最小值zmin＝0＋2×(－1)＝－2.5．4900解析設當天派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤19，,x＋y≤12，,10x＋6y≥72，,0≤x≤8，,0≤y≤7，,x，y∈N.))設每天的利潤為z元，則z＝450x＋350y.畫出可行域如圖陰影部分所示．由圖可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，經(jīng)過點A時取得最大值．又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,2x＋y＝19))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝5，))即A(7,5)．∴當x＝7，y＝5時，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．6．(1,3]7.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，6))8.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))9．解設該兒童分別預訂x，y個單位的午餐和晚餐，共花費z元，則z＝2.5x＋4y.(3分)可行域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12x＋8y≥64，,6x＋6y≥42，,6x＋10y≥54，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≥16，,x＋y≥7，,3x＋5y≥27，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))(8分)作出可行域如圖所示：(12分)經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，當x＝4，y＝3時，花費最少，為2.5×4＋4×3＝22(元)．故應當為兒童分別預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐．(14分)10．解作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(5分)(1)易知可行域內(nèi)各點均在直線x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，將點C(7,9)代入z得最大值為21.(8分)(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(x，y)到定點M(0,5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是|MN|2＝eq\f(9,2).(11分)(3)z＝2×eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),x－(－1))表示可行域內(nèi)任一點(x