線性代數(shù)試卷2023

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線性代數(shù)試卷整理版

2023-2023-1線性代數(shù)期末試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(A)

一、單項選擇題（每題3分，共15分）

1.在以下矩陣中，不是初等矩陣的是（D）

100（A）100（B）

001102010（C）001100103（D）020020001001

2.以下關(guān)系式不正確的是（B）

（A）R(AB)R(A)R(B)（B）R(A)R(AB)

（C）R(AB)R(A)R(B)（D）R(A,B)R(A)R(B)

3.若齊次線性方程組Ax0有非零解，則對應(yīng)非齊次線性方程組Axb必（C）

（A）無解（B）有無窮多解（C）不確定（D）有唯一解

4.設(shè)A為34矩陣，則（D）

（A）行向量組線性無關(guān)（B）列向量組線性無關(guān)

（C）行向量組線性相關(guān)（D）列向量組線性相關(guān)

1005.設(shè)矩陣A012，其特征值為（A）

021

（A）1,1,3（B）0,1,2（C）0,1,3（D）1,1,1

二、填空題（每題3分，共15分）

2046．設(shè)不可逆矩陣A11a，則a=0.126

117.若為A的特征向量，則P為PAP的特征向量.

*18．設(shè)A是3階方陣，A*是A的伴隨矩陣，已知|A|1，則|2A2A|

9．已知向量組1(1,1,0),2(1,3,1),3(5,3,t),線性相關(guān)，則t__4___.

210.設(shè)A是4階矩陣且滿足AA,則R(A2E)=____4__.TTT

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三、判斷題,對的打√，錯的打（每題2分，共10分）

11.若ABAC,則BC（）

12.假設(shè)矩陣A,B都是同階可逆矩陣，則AB必可逆（）

13.任一方陣必定可以表示為對稱陣與反對稱陣之和（√）

2214.若矩陣A與B相像，則AA必與BB相像（√）

15.若A為n階實對稱陣，則A必有n個兩兩正交的特征向量（√）

四、計算題（每題10分，共50分）

16.解：

1yy2y31

x1y1x1y2x1y301x1y1x1y2x1y3

Dx2y11x2y2x2y3=0x2y11x2y2x2y3————————4分x3y1x1x3y30x3y1x1x3y33y23y2

1yy2y13

-x1100

10=-x20

-x3001

1x1y1x2y2x3y3yy2y130100=00100001

1x1y1x2y2x3y3

.————————————————10分

34217.設(shè)矩陣A110，矩陣X滿足AXA2X，求X.

123

解:由題目知(A2E)XA.

若A2E可逆，則X(A2E)A.—————————————3分

對(A2E,A)施加初等行變換，即1

223423100386(A2E,A)110110~0102961211231212900——————8分

所以A2E可逆，且

386X2962129.—————————————10分

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2x13x2x34x2x4x512318.求線性方程組的通解.

3x18x22x313

4x1x29x36

31421245解：增廣矩陣(A,b)施加初等行變換化成行最簡型382134196

3141021211212450，——————————6分(A,b)~38213000041960000

x12x31x2x13其對應(yīng)的齊次線性方程組為1———8分,所以x2x32x2x32xx033

x121所以通解為x2c12,其中c為任意數(shù).——————————10分x103

19.已知向量組1(1,1,1)T,2(1,1,1)T,3(0,0,1)T,4(1,1,0)T，求出它的秩及其一個極大無關(guān)組.

101110111~02解:向量組(1,2,3,4)11011,———6分

11100000

所以向量組的秩為2，————————————8分

因任意兩個向量都是線性無關(guān)，所以一個極大無關(guān)組為1,2.——10分

212T20.已知(1,1,1)是矩陣A533的一個特征向量，試判斷A是否可以對角

1b2

化？

T解：設(shè)(1,1,1)對應(yīng)的特征值是.從而由A，————2分

得到方程組212所以1,b0，—————————4分

1b2

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212122即A533且|AE|533(1)3

101022

所以矩陣A的特征值1231.8分

(AE)x0的基礎(chǔ)解系(1,1,1)T，對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有1個，故不當(dāng)1時，

能對角化.————————————————————10分

五、解答題（每題5分，共10分）

21.已知A是正交矩陣且滿足|A|1，試證明|AE|0.

T證明:由于A是正交矩陣，即AAE，——————————2分

|AE||AAAT||A||EAT||A||ETAT|

T|A||（EA）||A||EA||AE|—————————4分

所以|AE|0.——————————————————————5分

22.假若A是三階非零矩陣，三階矩陣B(b1,b2,b3)的每個列向量均是齊次線性方程組Ax0的解向量，試證明向量組b1,b2,b3是線性相關(guān)的.

證明:由題目知道

b1,b2,b3均為Ax0的