由尺度函數(shù)到多分辨率分析

由尺度函數(shù)到多分辨率分析第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一一、MRA的進一步討論MRA由一組子空間序列組成，滿足條件：

第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一MRA的尺度函數(shù)應滿足的條件：

是L2(R)的Riesz序列和的關系為：為何不提正交基？第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一兩種方法構造MRA：（1）構造一組子空間序列滿足條件(1)-(5)，（容易）；然后尋找尺度函數(shù)滿足(6)-(8)（困難）。(2)找函數(shù)滿足(6)(7)，由(8)來定義若這樣的滿足(1)-(5)，就找到了一個MRA。第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一當滿足(6)(7)時，可證明(8)定義的滿足(1)(4)(5)，定理5.1證明也滿足(3)定理5.1：設滿足條件(6)，由(8)定義，用表示由向的正交投影算子，則對任給的，有，即第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一結論：若找到一函數(shù)滿足(6)(7)，則(8)定義的滿足(1)(3)(4)(5),只需再加一條件，就可確定(8)生成的也滿足(2)，如定理5.2所示。定理5.2：設滿足條件：

(a)是中的Riesz列；

(b)在0點連續(xù)，且；則(8)生成的有在中稠密，或。第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一定理5.3：設滿足：

(a)是的Riesz系；（條件6）

(b)，即滿足雙尺度方程；（條件7）

(c)在0點連續(xù)，且；則空間構成MRA第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一注意：1）存在著一些小波，沒有尺度函數(shù)（例如MexicanHat小波等）2）“好”的小波一定是由MRA生成的定理4.5若對某個，小波函數(shù)滿足則這樣的小波一定對應于MRA。（時頻域同時局部化好）第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一二、例2：Meyer小波設定義在R上的函數(shù)，滿足

(1)(2)(3)(4)(5)則一定存在函數(shù)滿足

（意味著找到MRA的尺度函數(shù)的頻域形式）怎樣證明？第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一定理5.4：若滿足(1)-(5),則(的傅立葉反變換）構成MRA的尺度函數(shù)。證明:

A)顯然，在0點連續(xù)（由(3)式保證），且，所以滿足定理5.3的條件(c)。

B)由(4)(5)式知，級數(shù)，所以不僅是的Riesz系，而且標準正交，因此滿足定理5.3的條件(a)第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

(C)設以為周期，它在上的值由的值定義。即令：由于條件(3)(4)保證了：（尺度方程的頻域形式）所以滿足定理5.3的條件(b)。綜上所證，構成了一個多分辨率分析，且以為正交尺度函數(shù)。第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

Meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一Meyer小波的性質：(1)，（即無窮階光滑）(2)導數(shù)有界(3)導數(shù)是多項式衰減的（說明什么問題？（頻域衰減快））（4）對稱、正交性（伸縮、平移）第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一Meyer給出的例子：

其中，是一個光滑函數(shù)，滿足：和第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一的取法多種多樣，例如可取其圖形如下：第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一三、例子3－正交樣條小波(B-L)若把尺度取成對應于整數(shù)節(jié)點的B-樣條，則得到Battle-Lemarie小波，簡稱B-L小波。(1)n=0,是分段樣條函數(shù)是中的規(guī)范正交序列（注意不是完全……)由知滿足兩尺度方程滿足定理5.3（c)(c)在0點連續(xù)，且；所以可由得到MRA第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一(2)n=1，分段線性樣條函數(shù)滿足定理5.3條件(c)滿足兩尺度方程(c)在0點連續(xù)，且；定理5.3條件第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一

由得(注意n階B樣條的情況）：因此是中的Riesz基(有定理證明）注：n＝1時不是標準正交的，故需正交化，令注意：不是緊支撐的，正交化過程破壞了緊支性第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一滿足兩尺度關系注意：書上80頁有錯注意：此式（書上５.25式）的由來－－Riesz基的規(guī)范正交化第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一此時的樣條、尺度和小波函數(shù)：若令則有（等式右邊是周期函數(shù)，可展開為傅立葉級數(shù)）二尺度方程形式第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一B-L小波的性質……具有指數(shù)衰減性注意對比Mayer小波的三個性質（無窮階光滑、導數(shù)有界、導數(shù)按多項式衰減）第22頁，共23頁，2023年，2月20日，星期一注意：假定是標準正交的。若是指數(shù)衰減，同時又是無窮光滑（無窮可微）、導數(shù)