高中數(shù)學(xué)-均值不等式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE3.2.1《均值不等式》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)確立依據(jù)1.課程標(biāo)準(zhǔn)要求及解讀（1）課程標(biāo)準(zhǔn)要求基本不等式：①探索并了解基本不等式的證明過程；②會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。（2）課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)對均值不等式要求：探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。這個要求可以分為兩個層次：一是探索并了解基本不等式的證明過程；二是會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。從第一個層次來看，要達(dá)到“探索并了解”，需要三個步驟：首先要給學(xué)生創(chuàng)造相關(guān)的問題情景，啟發(fā)學(xué)生的思維，獲取感性認(rèn)識；其次通過問題探究，讓學(xué)生步步深入、剖析其特點；最后利用不等式的性質(zhì)，將得出的結(jié)論給出完整的證明，并明確均值不等式成立的三個條件。第二個層次是應(yīng)用層面：要通過適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題和變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生明白對式子如何變形才可滿足運用均值不等式的條件。2.教材分析本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教B版，必修5第三章不等式第二節(jié)的內(nèi)容。授課時數(shù)兩課時，這是第一課時。本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進(jìn)行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求面積一定，周長最?。恢荛L一定，面積最大”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。教學(xué)重點：理解均值定理并運用其解題。教學(xué)難點：難點1：均值不等式成立的三個條件；難點2：對給出的條件進(jìn)行變形，使之滿足均值不等式求最值的條件。難點突破方法：①多觀察、勤類比、善歸納、重建構(gòu)②題組引路、逐層深化、歸納總結(jié)、明確要點3.學(xué)情分析從知識方面看：學(xué)生在初中就掌握了一些簡單的不等式知識，必修五第三章第一節(jié)《不等關(guān)系與不等式》的學(xué)習(xí)，在一定程度上提高了他們的相關(guān)技能和能力。由此，均值不等式的推出（即證明過程）水到渠成。但均值不等式的運用、式子的變形，對學(xué)生提出了新的更高的要求，是一個循序漸進(jìn)，逐步熟悉的過程。從學(xué)習(xí)情感方面看，高二的學(xué)生具有一定的知識基礎(chǔ)，有強(qiáng)烈的求知欲，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。從學(xué)習(xí)能力上看，我所任教班級的學(xué)生，盡管思維活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因而片面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，系統(tǒng)地分析問題和解決問題的能力有待提高。二.學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1：學(xué)生通過經(jīng)歷情境，由勾股圓方圖中蘊含的不等關(guān)系導(dǎo)出基本不等式。學(xué)習(xí)目標(biāo)2：學(xué)生通過對探究2、3及問題的回答，明確基本不等式的幾何意義，認(rèn)識基本不等式在數(shù)列中的意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等。學(xué)習(xí)目標(biāo)3：學(xué)生通過對探究3、4、5、6，進(jìn)一步明確基本不等式運用的條件，并探討出對式子的常用變形方法，能熟練運用基本不等式求簡單的最值。學(xué)習(xí)目標(biāo)4：學(xué)生通過合作探究和變式，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三、評價設(shè)計：目標(biāo)1評價：學(xué)生獨立思考后，教師提問，選代表回答，至少50人達(dá)成目標(biāo)1。目標(biāo)2評價：學(xué)生獨立思考后，由小組共同討論完成探究2及問題，由小組代表交流展示結(jié)果。至少50人達(dá)成目標(biāo)2。目標(biāo)3評價：學(xué)生獨立思考后，由小組合作探究出基本不等式運用的條件，并探討出對式子的常用變形方法，能熟練運用基本不等式求簡單的最值，至少45人達(dá)成目標(biāo)3。目標(biāo)4評價：學(xué)生通過教師提供的素材，通過課堂合作探究和變式練習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。四、教學(xué)方法與學(xué)法教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、師生互動等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，自主學(xué)習(xí)，通過同桌合作或小組合作的形式開展探究活動，讓學(xué)生的潛能得到發(fā)揮，思維得到融合和升華。根據(jù)本節(jié)課知識點較少，例題和習(xí)題較多的特點，我采用多媒體和投影儀作為輔助教學(xué)。所用的教學(xué)方法有：1．啟發(fā)研討法：采用“問題情境——概括猜想——探討研究——拓展與應(yīng)用”的模式展開教學(xué)。2．情景教學(xué)法：充分聯(lián)系生活，盡可能增加教學(xué)過程中的趣味性、實踐性，利用媒體教學(xué)課件等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源。3．問題驅(qū)動法：精心設(shè)計各種數(shù)學(xué)問題，調(diào)動全體學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生自覺主動的學(xué)習(xí)。4、合作探究法：利用同桌之間或小組合作，開展學(xué)習(xí)探究活動，在探究過程中，使學(xué)生的思維得到發(fā)散，潛能得到發(fā)揮，生生之間的思維得到融合、交叉、提煉和升華。同時培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，感受合作的快樂。五、教學(xué)流程課前預(yù)習(xí)案（一）新課指南：探究1：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客?！驹O(shè)計意圖】通過對勾股弦圖中面積大小的比較，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也可使學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用與生活。問題1:我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？問題2：那4個直角三角形的面積和呢？問題3：好，根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式。什么時候這兩部分面積相等呢？結(jié)論：問題4：你能給出的證明嗎？【設(shè)計意圖】通過問題串引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識新概念時培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。探究2：特別地,如果,也可寫成,下證之：要證:①即證②要證②,只要證③要證③,只要證(-)④顯然,④是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時,④的等號成立均值定理對任意兩個正實數(shù),數(shù)叫做的算術(shù)平均值，數(shù)叫做的幾何平均值。均值定理可以表達(dá)為：探究3：在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？【設(shè)計意圖】教師通過探究3引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識均值不等式，培養(yǎng)學(xué)生多角度的認(rèn)識新知識的習(xí)慣。（二）預(yù)習(xí)自測：1若且，則下列四個數(shù)中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a(chǎn)2a,b是正數(shù)，則三個數(shù)的大小順序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．課中導(dǎo)學(xué)案（一）創(chuàng)設(shè)情境——引入課題【情境】如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。問題1：你能在這個圖案中從面積的關(guān)系找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？請思考：(1)不等式成立，a,b應(yīng)該滿足什么條件？(2)公式中等號成立的條件是什么？(3)你能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)不等式左右兩邊的特征嗎？任意兩數(shù)的平方和不小于它們的積的兩倍(4)你注意到公式的變形嗎？【教師活動】教師出示問題，可以做如下的引導(dǎo)，我們可以把“風(fēng)車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？其中4個直角三角形的面積和多少呢？【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。生答：，，【設(shè)計意圖】通過對勾股弦圖中面積大小的比較，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也可使學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用與生活。問題2：根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，。什么時候這兩部分面積相等呢？【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題2。【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有結(jié)論：（板書）一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。問題3：你能給出它的證明嗎？【學(xué)生活動】學(xué)生嘗試證明后回答【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題3【設(shè)計意圖】教師通過問題1，2，3引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識不等式中的“大于等于”是兩層意思，大于或等于，定要考慮等號成立的條件，培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。(二)步步探究——形成概念問題4：如果用和分別代替可得到什么不等式？請思考：(1)不等式成立，a,b應(yīng)該滿足什么條件？(2)公式中等號成立的條件是什么？【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題4?？偨Y(jié)結(jié)論：均值定理如果,那么當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。問題5：算術(shù)平均值與幾何平均值的概念對任意兩個正實數(shù),數(shù)叫做的算術(shù)平均值，數(shù)叫做的幾何平均值。均值定理可以表達(dá)為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值。問題6：你能給出均值定理的證明嗎？【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，兩學(xué)生代表PK板演推理過程?！窘處熁顒印砍鍪締栴}，教師巡視觀察學(xué)生的推理過程，并對回答進(jìn)行點評?！驹O(shè)計意圖】教師通過問題5,6引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識兩個不等式之間的關(guān)系，并給出嚴(yán)格的證明進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性?！咀灾魈骄?】在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（圓心為O,OD為半徑,CD為半弦）結(jié)論：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”【自主探究3】在剛學(xué)過的數(shù)列章節(jié)中你還會想到什么關(guān)系，用語言如何表述？結(jié)論：把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后同桌小議，學(xué)生代表回答探究2,3的問題?！窘處熁顒印砍鍪締栴}，選代表回答，并對回答進(jìn)行點評?！驹O(shè)計意圖】教師通過探究2,3的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步從兩個不同的角度認(rèn)識基本不等式，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性。（三）學(xué)以致用——深化知識【自主探究4】已知，求證：，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件?！咀灾魈骄?】，當(dāng)取何值時+有最小值，最小值是多少？【變式】，當(dāng)取何值時+有最值，最值多少？【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后解答過程，探究4,5的問題。利用多媒體投影學(xué)生代表解答過程，學(xué)生給予評判，補(bǔ)充完整。【教師活動】出示問題，巡視學(xué)生的解答情況，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評?！驹O(shè)計意圖】教師通過探究4,5的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式成立的三個條件并運用其解簡單的問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性和用數(shù)學(xué)的能力。（四）能力提升——應(yīng)用舉例【自主探究6】求函數(shù)的最大值，以及此時的值?！咀灾魈骄?】已知，則函數(shù)的最大值是多少？【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后小組合作解決探究6,7的問題。利用多媒體投影學(xué)生代表解答過程，學(xué)生給予評判，補(bǔ)充完整?！窘處熁顒印砍鍪締栴}，巡視學(xué)生的解答情況，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評?！驹O(shè)計意圖】教師通過探究4,5的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式成立的三個條件并會對復(fù)雜的式子變形，運用基本不等式求最值，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性和用數(shù)學(xué)的能力。（五）回顧反思——交流收獲通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都學(xué)了哪些數(shù)學(xué)知識？用到了那些數(shù)學(xué)思想？在哪一部分體現(xiàn)？自查反饋表（掌握情況可用A、好B較好C一般）學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況習(xí)題掌握情況學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況習(xí)題題號掌握情況目標(biāo)1練一練目標(biāo)2變式目標(biāo)3跟蹤練習(xí)目標(biāo)4（六）布置作業(yè)——課后提高課本71頁練習(xí)A2,372頁練習(xí)B2,3（七）課堂小測——鞏固反饋1.下列敘述中正確的是（）.（A）兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（B）兩個不等正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于它們的幾何平均數(shù)（C）若兩個數(shù)的和為常數(shù)，則它們的積有最大值（D）若兩個數(shù)的積為常數(shù)，則它們的和有最小值2下面給出的解答中，正確的是（）.（A）＝，∴有最小值（B）＋＝，∴有最小值（C），又由得，∴當(dāng)時，有最大值（D），有最大值-3.已知，則的最小值為（）.（A）4（B）7（C）8（D）114.設(shè)函數(shù)，則（）.（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函數(shù)（D）是減函數(shù)答案1.B2.D3.B4.A3.2.1《均值不等式》學(xué)情分析從知識方面看：①學(xué)生已經(jīng)具備的：（1）掌握了一些簡單的不等式知識；（2）必修五第三章第一節(jié)《不等關(guān)系與不等式》的學(xué)習(xí)，在一定程度上提高了他們的相關(guān)技能和能力；（3）能夠用作差法來比較大?。唬?）初步具備將“數(shù)”與“形”相結(jié)合及轉(zhuǎn)化的意識。②學(xué)生所缺乏的：(1)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力還不強(qiáng)；(2)整體代換能力還不夠；(3)數(shù)形結(jié)合的思想還有待提高；由此，均值不等式的推出（即證明過程）水到渠成。但均值不等式的運用、式子的變形，對學(xué)生提出了新的更高的要求，是一個循序漸進(jìn)，逐步熟悉的過程。從學(xué)習(xí)情感方面看，高二的學(xué)生具有一定的知識基礎(chǔ)，有強(qiáng)烈的求知欲，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度。從學(xué)習(xí)能力上看，這一階段的學(xué)生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會感到比較困難。尤其是我所任教班級的學(xué)生，盡管思維活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因而片面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，系統(tǒng)地分析問題和解決問題的能力有待提高。針對這種情況，在教學(xué)中，我注意面向全體，發(fā)揮學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生積極地觀察問題，分析問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)積極性，指導(dǎo)學(xué)生積極思維、主動獲取知識，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法。并逐步學(xué)會獨立提出問題、解決問題。總之，調(diào)動學(xué)生的非智力因素來促進(jìn)智力因素的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極開動腦筋，思考問題和解決問題，從而發(fā)揚鉆研精神、勇于探索創(chuàng)新。3.2.1《均值不等式》課堂教學(xué)效果分析這是一節(jié)新授課，從課前準(zhǔn)備、課堂氣氛、課后調(diào)查反饋的情況看，學(xué)生基本上能掌握本節(jié)課的內(nèi)容，達(dá)到了預(yù)期的目的，收到很好的教學(xué)效果?，F(xiàn)將課堂教學(xué)效果分析如下：一、課前預(yù)習(xí)學(xué)案完成統(tǒng)計探究一、探究二全班50人有42人完成，探究三35人完成。說明問題設(shè)置起點低，步子小，學(xué)生基本都能掌握。在預(yù)習(xí)自測中，第一題45人對，第二題39人對，學(xué)生基本都用特殊值法做，準(zhǔn)確率還是很高，但要進(jìn)行證明，基本上都有問題。二、課堂小測完成情況統(tǒng)計檢查學(xué)生人數(shù)：50人具體分析見圖表：題號1234做對人數(shù)50355043做錯人數(shù)01507分析如下：錯誤出在第2，4兩題。無論第二題還是第四題，命題均是根據(jù)均值不等式的使用條件中的難點和關(guān)鍵處設(shè)置的，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟到不等式成立的條件，及當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。即“一正二定三相等”。有些同學(xué)就是掉進(jìn)這些“陷阱”里。通過這份課堂教學(xué)效果的分析，我意識到在這堂課中，可以通過以下2個環(huán)節(jié)盡量減少學(xué)生的出錯率：1、對課堂的預(yù)設(shè)一定要再多些。課堂教學(xué)中，重難點的突出與學(xué)習(xí)非常重要，但不能簡單地認(rèn)為學(xué)生學(xué)過了其他的知識點就可以略過，這些知識點的復(fù)習(xí)與鞏固對新授內(nèi)容的學(xué)習(xí)仍然非常重要。2、均值不等式的使用條件上，學(xué)生出錯較多。在講完均值不等式的內(nèi)容后，如果設(shè)置一些均值不等式的使用條件中的難點和關(guān)鍵處的命題，這些“陷阱”要讓學(xué)生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，完全放手讓學(xué)生自主探究，老師指導(dǎo)，師生歸納總結(jié)。效果可能更好。3.2.1《均值不等式》教材分析本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教B版，必修5第三章不等式第二節(jié)的內(nèi)容。授課時數(shù)兩課時。本節(jié)課重點探究了均值不等式的證明，并且將之應(yīng)用于具體實際問題，是數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的良好典范。一、

內(nèi)容結(jié)構(gòu)

（1）

通過課題揭示重點。從課題可以很清楚的知道我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及重點，所有內(nèi)容都是圍繞這個不等式展開。

（2）

實踐出真知。以一個實際問題來探究其中所蘊涵的相等或不等關(guān)系，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所要求的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神及數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識。通過探究，學(xué)生很容易得到結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)，，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。

（3）

代換與證明。通過代換思想，得到均值不等式，接著用分析法及數(shù)形結(jié)合法來證明均值不等式，體現(xiàn)了一題多解及證明不等式的均值方法。這部分內(nèi)容簡單，學(xué)生基本可獨立完成，對于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力有積極作用。

（4）

課本提示概念。在正文旁邊有一個框圖，說明了算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，由此可以總結(jié)出一條定理：一列正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)。這部分雖非重點，但對于拓展對均值不等式的認(rèn)識是非常重要的。

（5）

實例揭示應(yīng)用價值。通過兩個實例，體現(xiàn)了均值不等式在求最值時的價值，更進(jìn)一步體現(xiàn)了“當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立”這一條件的重要性。學(xué)生可以從中體會到“積定和最小”及“和定積最大”這兩條基本的解題思路。這兩個例題使數(shù)學(xué)與生活不再那么遙遠(yuǎn)。對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識功不可沒。

（6）

習(xí)題進(jìn)一步鞏固所學(xué)。共有四道習(xí)題，第一道強(qiáng)調(diào)了“當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立”這一重要條件，是均值不等式的直接應(yīng)用，難度較?。缓竺嫒朗蔷挡坏仁皆趯嶋H生活中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活有著密切聯(lián)系這一基本數(shù)學(xué)觀。

二、

地位與作用

《課標(biāo)》對于這一節(jié)的要求：一是探索并了解均值不等式的證明過程；二是會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題。該教材內(nèi)容很好的落實了這兩點要求。

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進(jìn)行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求面積一定，周長最小；周長一定，面積最大”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。

通過對這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以較為真切的體會到數(shù)形結(jié)合法的神奇之處，也加強(qiáng)了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一重要的數(shù)學(xué)觀。在學(xué)習(xí)過程中，要用心體會數(shù)學(xué)思想方法，為以后抽象數(shù)學(xué)思想方法做好鋪墊作用。三、

教學(xué)目標(biāo)

（1）

知識與技能目標(biāo)：掌握均值不等式及證明方法，會用均值不等式求最值。

（2）

過程與方法目標(biāo)：體會均值不等式應(yīng)用的條件（一正二定三相等）；體會均值不等式求最值問題解題策略的建構(gòu)過程；體會數(shù)形結(jié)合法的實際應(yīng)用。

（3）

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過對均值不等式證明過程的探索，強(qiáng)化學(xué)生的探索精神，加強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且讓學(xué)生能夠體會到一定的成就感，形成數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一積極正確的數(shù)學(xué)觀。

四、

教學(xué)重、難點

（1）教學(xué)重點：均值不等式的證明方法以及均值不等式應(yīng)用的條件。

（2）教學(xué)難點：均值不等式求最值問題解題策略的建構(gòu)；數(shù)形結(jié)合思想方法的實際運用。

難點突破方法：①多觀察、勤類比、善歸納、重建構(gòu)②題組引路、逐層深化、歸納總結(jié)、明確要點五、教學(xué)方式

本節(jié)課程難度不大，但地位卻很重要，鑒于這種情況，運用探究式教學(xué)方法較為合理。通過教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生逐步體會到數(shù)形結(jié)合法的神奇，并能正確的證明均值不等式，解決實際問題，總結(jié)出“一正二定三相等”這一均值條件。最后教師總結(jié)運用均值不等式解決問題策略的建構(gòu)。

學(xué)生在教師正確的指導(dǎo)下，能夠?qū)φn程內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和梳理，將知識形成一個網(wǎng)絡(luò)體系，并且能夠運用均值不等式解決一些簡單的實際問題。

六、教學(xué)建議

（1）突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個非常重要的內(nèi)容，教師應(yīng)該經(jīng)常提醒同學(xué)們意識到正在使用或即將使用的數(shù)學(xué)思想方法，在另一個高度去看待數(shù)學(xué)問題和解題過程。

（2）注重學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的過程

運用探究式教學(xué)，要信任學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的能力，教師不能急于揭示結(jié)果，要給學(xué)生足夠的發(fā)現(xiàn)時間和討論時間，讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)知識的成就感，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在探索發(fā)現(xiàn)過程中學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師應(yīng)給予高度重視，要有針對性的提出犯錯的原因及解決辦法。

（3）前后聯(lián)系，變式練習(xí)

在教學(xué)過程中，要聯(lián)系前后知識，運用建構(gòu)主義認(rèn)識論指導(dǎo)教學(xué)。要多多的進(jìn)行變式練習(xí)，讓學(xué)生體會到萬變不離其宗的那個“宗”，最后能夠總結(jié)出運用不等式解決問題的均值方法。

3.2.1《均值不等式》評測練習(xí)及答案（用時40分）A組(必做題)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－42．eq\r(3－aa＋6)(－6<a<3)的最大值為()A．9B.eq\f(9,2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)3．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)4.已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．55．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范是()A．[4，＋∞)∪(－∞，－2]B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)二、填空題(每小題5分，共20分)6．若x>1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．7.設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)的最小值為________．8.已知各項為正的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為2eq\r(2)，則2a7＋a11的最小值為________．9．若點A(1,1)在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．三、解答題(每小題10分，共10分)10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．B組(選作題)11．（5分）若不等式4x2＋9y2≥2kxy對一切正數(shù)x，y恒成立，則整數(shù)k的最大值為________．12．（10分）設(shè)a，b均為正實數(shù)，求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥2eq\r(2).3.2.1《均值不等式》答案A組(必做題)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－4解析：選C∵x＜0，∴f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時取等號．【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式適合的條件，對式子的變形，積是定值求和的最小值。2．eq\r(3－aa＋6)(－6<a<3)的最大值為()A．9B.eq\f(9,2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)解析：選B∵－6<a<3，∴3－a>0，a＋6>0，∴eq\r(3－aa＋6)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－a＋a＋6,2)))2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)3－a＝a＋6，即a＝－eq\f(3,2)時取等號，∴當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時，eq\r(3－aa＋6)有最大值eq\f(9,2).【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式適合的條件，對式子的變形，和是定值求積的最大值。3．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：選B由0<x<1，故3－3x>0，則x(3－3x)＝eq\f(1,3)×3x(3－3x)≤eq\f(1,3)×eq\f(9,4)＝eq\f(3,4)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3－3x，即x＝eq\f(1,2)時等號成立．【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。4.已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5解析：依題意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b),a>0，b>0))即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時取等號，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).答案：C【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。5．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范是()A．[4，＋∞)∪(－∞，－2]B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析：∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即4y2＝x2，x＝2y時取等號，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此時x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案：D【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形，同時解決恒成立問題。二、填空題(每小題5分，共20分)6．若x>1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時等號成立．答案：5【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。7.設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)的最小值為________．解析：(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋eq\f(1,x2y2)≥1＋4＋2eq\r(4x2y2·\f(1,x2y2))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝eq\f(1,x2y2)時等號成立，則|xy|＝eq\f(\r(2),2)時等號成立．答案：9【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。8.已知各項為正的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為2eq\r(2)，則2a7＋a11的最小值為________．解析：由已知a4a14＝(2eq\r(2))2＝8.再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a14＝a7a11＝8.又∵a7>0，a11>0，∴2a7＋a11≥2eq\r(2a7a11)＝8.當(dāng)且僅當(dāng)2a7＝a11時等號成立．答案：8【設(shè)計意圖】本小題主要考查與數(shù)列結(jié)合，利用均值不等式求最值。9．若點A(1,1)在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．解析：由已知得m＋n＝2，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時取等號．答案：2【設(shè)計意圖】本小題主要考查與直線方程結(jié)合，利用均值不等式求最值，同時考查式子的合理變形。三、解答題(每小題10分，共10分)10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2eq\r(16xy).即xy≥8eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≥8.即xy≥64.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y即x＝16，y＝4時，式中等號成立．∴xy的最小值為64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，∴2x＋8y＝xy，即eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1.∴x＋y＝(x＋y)·(eq\f(2,y)＋eq\f(8,x))＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,y)＝eq\f(8y,x)，即x＝2y＝12時式中等號成立．∴x＋y的最小值為18.【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。B組(選作題)11．（5分）若不等式4x2＋9y2≥2kxy對一切正數(shù)x，y恒成立，則整數(shù)k的最大值為________．解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x，y>0得2k≤eq\f(4x2＋9y2,xy)，要使2k≤eq\f(4x2＋9y2,xy)對一切正數(shù)x，y恒成立，只要2k小于或等于eq\f(4x2＋9y2,xy)的最小值即可．∵eq\f(4x2＋9y2,xy)≥eq\f(2×2x×3y,xy)＝12，∴2k≤12＝2log212.∴k≤log212＝2＋log23.∴整數(shù)k的最大值為3.答案：3【設(shè)計意圖】本小題主要考查與指數(shù)式和對數(shù)式結(jié)合，利用均值不等式求最值，同時考查式子的合理變形，解決恒成立問題。12．（10分）設(shè)a，b均為正實數(shù)，求證：eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥2eq\r(2).證明：由于a、b均為正實數(shù)，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥2eq\r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq\f(2,ab)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a2)＝eq\f(1,b2)，即a＝b時等號成立，又因為eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(\f(2,ab)·ab)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,ab)＝ab時等號成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋ab≥eq\f(2,ab)＋ab≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq\r(4,2)時取等號．【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式證明不等式，多次運用均值不等式需等號同時成立。3.2.1《均值不等式》課后反思這是一節(jié)新授課，從課前準(zhǔn)備、課堂氣氛、課后調(diào)查反饋的情況看，學(xué)生基本上能掌握本節(jié)課的內(nèi)容，達(dá)到了預(yù)期的目的，收到很好的教學(xué)效果?？偨Y(jié)本節(jié)課的成功之處，其原因有四點：一、科學(xué)設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動的出發(fā)點，也是教學(xué)活動的歸宿