矩陣運算及其應用

矩陣運算及其應用第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1矩陣的加減乘法2.1.1矩陣的加法定義2.1設有兩個同型的矩陣，，矩陣A與矩陣B的和記作，規(guī)定為：第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一若，把記作，稱為A的負矩陣。顯然有：由此可定義矩陣的減法為：第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.2矩陣的數乘定義2.2

數與矩陣的乘積，簡稱數乘，記作或，規(guī)定為第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩陣的加法和數乘統稱為矩陣的線性運算，矩陣的線性運算滿足下列運算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣，、是數）（1）加法交換律（2）加法結合律

（3）（4）

第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（5）（6）（7）（8）數乘分配律

第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.3矩陣的乘法定義2.3設A是矩陣，B是矩陣，那么矩陣A

和矩陣B的乘積是一個矩陣C，其中記作C=AB第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由定義知，只有當第一個矩陣的列數和第二個矩陣的行數相等，即它們的內階數相等時，兩個矩陣才能相乘。乘積矩陣的第元素等于前一個矩陣的第行各元素與后一個矩陣的第列相應元素乘積之和，即：第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定義2.4

對于變量，若它們都能由變量線性表示，即有：

（2-1）則稱此關系式為變量到變量的線性變換。

第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一可以寫成輸出向量Y等于系數矩陣A左乘輸入向量X：第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.4

式（2-2）給出變量到變量的線性變換；式（2-3）給出變量到變量的線性變換。請寫出變量到變量的線性變換。

（2-2）

（2-3）

第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：方法一，代換法。將式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩陣運算法。根據矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式：第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等價。通過這個例子，可以看出矩陣乘法在線性變換中的運用。第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線性方程組（1-3）寫為矩陣形式：

（2-8）

若用A表示系數矩陣，X表示未知量構成的向量，b表示常數項所構成的向量，則式（2-8）可以化簡為：AX=b第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.5

已知，，求AB，BA解：根據矩陣乘法定義，有：第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下（2）不能由，推出或第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3）不能由，，推出在一般情況下有：矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律：（1）（2）第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3），為數（4）（5），，其中為正整數，必須為方陣。

第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.4矩陣的轉置定義2.5設是一個矩陣，將矩陣中的行換成同序數的列得到的一個矩陣，稱為矩陣的轉置矩陣，記作，或。例如，，則第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩陣轉置滿足以下運算規(guī)律（1）（2）（3）（4）

第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一在此只證明（4）證明：設,,記，，據矩陣乘法定義及矩陣轉置定義知：而的第行就是的第列，為：，的第列就是的第行，為：，因而有第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一即得，亦即。定義2.6

如果n階方陣

滿足，則稱為對稱矩陣。如果n階方陣滿足，則稱為反對稱矩陣。顯然反對稱陣的主對角線上元素都是零。第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.2矩陣的逆2.2.1逆矩陣的定義定義2.7設為n階方陣，若存在n階方陣，使得，其中為n階單位矩陣，則稱為可逆矩陣或是可逆的，并稱為的逆矩陣。如果的逆矩陣為，記，顯然，則的逆矩陣為，記，我們也稱矩陣和矩陣互逆。第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.7設,,,分析矩陣和矩陣、矩陣和矩陣的關系。解：

第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一所以，矩陣和矩陣互為逆矩陣。矩陣和矩陣也互為逆矩陣。第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.2.2逆矩陣的性質性質1如果矩陣可逆，則的逆矩陣唯一性質2

若和為同階方陣，且滿足則，即矩陣和矩陣互逆。性質3

若可逆，則也可逆，且性質4若可逆，數，則可逆，且性質5

若、均為階可逆方陣，則也可逆，且

第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一性質6

若可逆，則也可逆，且例2.8

設方陣滿足，試證可逆，并求。解：根據已知條件，可以得到：則有：所以矩陣可逆，且。第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.3矩陣的分塊在矩陣運算中，特別是針對高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡化為較低階的矩陣運算。用若干條縱線和橫線將矩陣分為若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣。第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一比如將4×3矩陣分為

,,,它們可分別表示為：

第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一分塊矩陣的運算與普通矩陣類似，1．加法運算設，都是矩陣，且將，按完全相同的方法分塊：第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2．數乘運算設,有：3．乘法運算設為矩陣，為矩陣，將它們分別分塊成第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一其中的列數分別等于的行數，即可以左乘。則有：其中第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一4．轉置運算

設有：注意分塊矩陣的轉置，不僅要把每個子塊內的元素位置轉置，而且要要把子塊本身的位置轉置。第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一5．分塊對角矩陣如果將方陣分塊后，有以下形式：其中主對角線上的子塊均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣，記為。第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一設有兩個同型且分塊方法相同的對角矩陣則有第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一對于上面的分塊矩陣，若對角線上的所有子塊都可逆，則有：例2.9

利用分塊矩陣的概念，把下列線性方程組寫成向量等式。第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：線性方程組的矩陣表示為：把系數矩陣按列分成4塊：與常數矩陣分別用向量和向量來表示，則有：第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一進而得到向量等式：第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.4初等矩陣

定義2.8

單位矩陣經過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣或初等方陣。前面介紹了三種初等變換，每一種初等變換，都有一個相對應的初等矩陣（1）交換單位矩陣的,兩行（或,兩列），得到的初等矩陣記為，即：第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-12）

第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（2）用一個非零數乘單位矩陣的第行（或第列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-13）

第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3）將單位矩陣第行的倍加到第行上（或將單位矩陣第列的倍加到第列上）得到的初等矩陣記為，即：

（2-14）

第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.10

設求：E1*A，E2*A，E3*A。第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定理2.1設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，其結果等于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，其結果等于在的右邊乘以相應的階初等矩陣。第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定理2.2設為階方陣，那么下面各命題等價：（1）是可逆矩陣；（2）線性方程組只有零解；（3）可以經過有限次初等行變換化為單位矩陣；（4）可以表示為有限個初等矩陣的乘積。第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.11

設判斷、是否可逆，如果可逆，請求之。解：

第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一則矩陣可逆，且其逆為：第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一顯然矩陣通過初等行變換不能化為單位矩陣，則矩陣不可逆。是降秩的。它通過初等行變換，可以化出一個零行，則其秩為2。故當A不可逆時，(2-15)式應改為：其中是秩為r的n×n方陣，r<n。即它有r個非零行和n-r個零行。第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5應用實例

2.5.1成本核算問題例2.12某廠生產三種產品，每件產品的成本及每季度生產件數如表2.6及表2.7所示。試提供該廠每季度的總成本分類表。表2.6每件產品分類成本成本(元)產品A產品B產品C原材料0.100.300.15勞動0.300.400.25企業(yè)管理費0.100.200.15第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一表2.7每季度產品分類件數解：用矩陣來描述此問題，設產品分類成本矩陣為，季度產量矩陣為,則有：產品夏秋冬春A4000450045004000B2000280024002200C5800620060006000第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一令，則的第一行第一列元素為：

(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870不難看出，它表示了夏季消耗的原材料總成本。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000];>>Q=M*P

Q=187022202070196034504020381035801670194018301740第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一為了進一步計算矩陣Q的每一行和每一列的和，可以繼續(xù)鍵入：>>Q*ones(4,1)ans=8120 14860 7180>>ones(1,3)*Qans=6990818077107280并可以繼續(xù)算出全年的總成本：>>ans*ones(4,1)ans=30160

第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一根據以上計算結果，可以完成每季度總成本分類表，如表2.8所示。表2.8每季度總成本分類表成本（元）夏秋冬春全年原材料18702220207019608120勞動345040203810358014860企業(yè)管理費16701940183017407180總成本（元）699081807710728030160第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5.2特殊矩陣的生成例2.13在Matlab環(huán)境下生成矩陣X：矩陣X有相同的10行，每一行都是公差為1的等差數列。解：令則，就實現了矩陣賦值。第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一鍵入MATLAB語句：>>v1=-10:10;v2=ones(1,10)>>X=v2'*v1例2.14在Matlab環(huán)境下生成范德蒙矩陣。解：這里用了Matlab的符號運算功能。鍵入：>>symsx1x2x3x4real %令x1x2x3x4為實數符號變量>>x=[x1,x2,x3,x4];y=0:3;>>A=x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y>>V=A.^B

%兩個方陣的元素群求冪

第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一程序的運行結果為：Matlab內置的范德蒙矩陣生成函數vander.m是不能用符號表示的，只能產生數值矩陣。第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5.3逆矩陣的求解例2.15設試求其逆陣解：當矩陣的階數較高時，利用Matlab輔助計算就尤顯重要。用Matlab來求矩陣的逆，其方法很多。首先在Matlab環(huán)境下鍵入：>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];

第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一方法1,A^-1,方法2,inv(A),方法3,A\eye(4),方法4,U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)運行結果都為：ans= 0.2323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.2525 0.5859-0.4747-0.17170.10100.2424-0.2424-0.15150.0303第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.16求矩陣