矩陣及其運(yùn)算

矩陣及其運(yùn)算第1頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一§2.1矩陣

一、矩陣的定義二、幾種特殊矩陣三、同型矩陣與矩陣相等的概念四、小結(jié)第2頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一一、矩陣的定義由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作第3頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.第4頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例如是一個實(shí)矩陣,是一個復(fù)矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.第5頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例如是一個3階方陣.二、幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作第6頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0第7頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作第8頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.三、同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.全為1第9頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.第10頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一四、小結(jié)(1)矩陣的概念第11頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣.第12頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一思考題矩陣與行列式有何區(qū)別?第13頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一思考題解答

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別:(1)行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表;(2)行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相同，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不同.第14頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一§2.2矩陣的運(yùn)算

一、矩陣的加法、減法二、數(shù)與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式第15頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一１、定義一、矩陣的加法、減法設(shè)有兩個矩陣將矩陣與的和記作，規(guī)定為第16頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律第17頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一1、定義二、數(shù)與矩陣相乘第18頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為實(shí)數(shù)）第19頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一1、定義并把此乘積記作設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中三、矩陣與矩陣相乘第20頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例１設(shè)例2第21頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一故解第22頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘?。?！例如不存在.第23頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一2、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;若A是階方陣，則為A的次冪，即并且第24頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一注意

矩陣不滿足交換律！??！即：例

設(shè)則第25頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例3

計算下列乘積：解第26頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例4設(shè)解第27頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一3、矩陣相乘的三大特征1、無交換律2、無消去律3、若第28頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的轉(zhuǎn)置第29頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第30頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例4已知解法1：兩矩陣先相乘，然后轉(zhuǎn)置第31頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一解法2：兩矩陣分別轉(zhuǎn)置后，再相乘第32頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一3、對稱陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等說明第33頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例5設(shè)列矩陣滿足證明第34頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一五、方陣的行列式1、定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或2、運(yùn)算性質(zhì)第35頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一3、定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.第36頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第37頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一五、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式第38頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一

（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.第39頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一思考題成立的充要條件是什么?第40頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一思考題解答答故成立的充要條件為第41頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一§2.3逆矩陣一、逆矩陣的概念和性質(zhì)二、逆矩陣的求法三、矩陣的多項式四、小結(jié)第42頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一一、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義

對于階矩陣，如果有一個階矩陣,

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.使得例設(shè)第43頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一說明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即第44頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明(1)必要性若可逆，(2)充分性第45頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義第46頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第47頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一證明第48頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一證明第49頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第50頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例1求方陣的逆矩陣.解二、逆矩陣的求法(伴隨陣法)第51頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一同理可得故第52頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例2求下列矩陣的逆，其中解1）依對角矩陣的性質(zhì)知：第53頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一依矩陣的逆的定義，必有易知：解2）即第54頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例3求解設(shè)且滿足有而第55頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)求例4其中為矩陣的伴隨矩陣.解例5解矩陣方程解第56頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一所以可逆.由，得例6可逆，并求它們的逆矩陣.由設(shè)方陣滿足方程，證明證明所以可逆.第57頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例7第58頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一解給方程兩端左乘矩陣第59頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一給方程兩端右乘矩陣得第60頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一給方程兩端左乘矩陣第61頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一得給方程兩端右乘矩陣第62頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例8

設(shè)第63頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第64頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一三、利用逆陣解線性方程組

使用矩陣符號線性方程組寫成其中解為第65頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一逆矩陣法與克拉默法則的關(guān)系

當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式時方程組的解可以表示為（1）（2）二者有什么關(guān)系呢？

第66頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一五、矩陣的多項式與變量x的多項式相對應(yīng)，可以定義矩陣A的多項式：例13中計算An的方法常被用來計算A的多項式：（1）如果則從而第67頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一（2）如果為對角陣，則

，從而

第68頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一四、小結(jié)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計算方法逆矩陣存在第69頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一§2.4矩陣分塊法一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算法則三、小結(jié)第70頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一一、矩陣的分塊

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將大矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為大矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.第71頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一例即第72頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一即第73頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第74頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則第75頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第76頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第77頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一第78頁，共96頁，2023年，2月20日，星期一分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):第79頁，共96頁，2023年，2