離散傅里葉變換

離散傅里葉變換第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一3.2離散傅立葉變換

3.2.1DFT定義假定一個(gè)周期序列，它是由長為N點(diǎn)的有限長序列x(n)經(jīng)周期延拓而成，即第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一周期序列的主值區(qū)間與主值序列：對于周期序列，定義：第一個(gè)周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”主值區(qū)間上的序列為主值序列

x(n)。x(n)與的關(guān)系可描述為：RN（n）為矩形序列。符號((n))N

是余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，表示n對N求余數(shù)。第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一例：是周期為N=8的序列，求n=11和n=-2對N的余數(shù)。第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一頻域上的主值區(qū)間與主值序列：

周期序列的離散傅里葉級數(shù)也是一個(gè)周期序列，也可給它定義一個(gè)主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一再看周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換（DFS）公式：

這兩個(gè)公式的求和都只限于主值區(qū)間（0~N-1），它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個(gè)新的定義——有限長序列離散傅里葉變換定義。第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

長度為N的有限長序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個(gè)長度為N的有限長序列，它們的關(guān)系為：x(n)與X(k)是一個(gè)有限長序列離散傅里葉變換對，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)。x(n)與X(k)都是長度為N的序列（復(fù)序列）都有N個(gè)獨(dú)立值，因而具有等量的信息。第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一可以看出，k=0，1，2，…，N-1，相當(dāng)于頻率從直流DC到(N-1)fs的N個(gè)頻率等分點(diǎn)。這些頻率點(diǎn)上的余弦序列和正弦序列我們稱之為頻率單元，或分析頻點(diǎn)。也就是說，輸入時(shí)域序列x(n)與頻率單元做序列點(diǎn)積運(yùn)算而得到頻譜的實(shí)部和虛部，即該頻率點(diǎn)所分解到的復(fù)系數(shù)X(k)。DFT具有隱含周期性，同樣地，可以證明IDFT中，x(n)也是隱含N點(diǎn)周期的。第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一DFT表示成矩陣形式，令x=｛x(0)，x(1)，x(2)，…，x(N-1)｝T構(gòu)成時(shí)域序列的列矩陣。X=｛X(0)，X(1)，X(2)，…，X(N-1)｝T構(gòu)成頻域序列的列矩陣。第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一【例3.2.1】某復(fù)合正弦信號

用Matlab計(jì)算出16個(gè)采樣數(shù)據(jù)。t=0:1/16000:15/16000;%時(shí)間增量1/16msxt=sin(2*pi*2000*t)+0.5*sin(2*pi*6000*t-3*pi/4);figure(1);stem(t,xt);xlabel('n');ylabel('x(n)');第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一構(gòu)造16×16的變換矩陣WN，并計(jì)算出頻譜X(k)。n=0:15;k=0:15;%兩個(gè)行向量WN=exp((-j*2*pi/16)).^(n'*k);%構(gòu)造變換矩陣X=xt*WN;Xa=abs(X);Xb=(angle(X))*180/pi;%弧度換成角度。figure(2);subplot(2,1,1);stem(k,Xa);xlabel('k');ylabel('X(k)');%幅度譜subplot(2,1,2);stem(k,Xb);xlabel('k');ylabel('φ(k)');%相位譜第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一圖中k=0和k=16是一樣的，對應(yīng)的是DC或fs(16KHz)；k=2和k=6對應(yīng)的2KHz和6KHz的分量，且幅度也是成2倍關(guān)系。但有問題：它們的幅值是8與4，對應(yīng)相位變成了-90°和135°；為何呢？這就是著名的DFT輔助效應(yīng)，前者稱為DFT的“計(jì)算增益”，增益值0.5N,（負(fù)頻率部分還有0.5N），顯然與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)有關(guān)，數(shù)據(jù)越長，效應(yīng)越大。這也是IDFT公式中除以N的原因。后者叫DFT的“附加相位”，是個(gè)-90°固定值。如6KHz分量的相位本來是-135°，計(jì)算出來卻是135°，這是因?yàn)?135°-90°=-225°，但在習(xí)慣的±180°相位主值表示方式中，-225°等價(jià)于135°。至于出現(xiàn)的k=10和k=14的高頻分量，那是因?yàn)椴蓸訋淼溺R像諧波頻譜。幅度圖中的細(xì)實(shí)線是從2KHz和6KHz復(fù)合正弦中截取一段2個(gè)周期長的信號的連續(xù)頻譜，DFT只看到了2個(gè)主瓣的最高點(diǎn)，擴(kuò)散的連續(xù)頻譜的其他內(nèi)容恰恰都躲過了DFT的觀察點(diǎn)，即分析頻率單元都落在頻譜的過零點(diǎn)上。第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一DFT性質(zhì)：假設(shè)有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2，取N=max［N1,N2］（補(bǔ)0），它們的N點(diǎn)DFT分別為：

X1(k)=DFT［x1(n)］

X2(k)=DFT［x2(n)］(1)

線性

y(n)=ax1(n)+bx2(n)

Y(k)=DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX(k)+bX2(k)，a，b為任意常數(shù)第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一(2)循環(huán)移位有限長序列x(n)的循環(huán)移位定義為：

y(n)=x((n+m))NRN(n)含義：1)x((n+m))N表示x(n)的周期延拓序列的移位：2)x((n+m))NRN(n)表示對移位的周期序列x((n+m))N

取主值序列，所以y(n)仍然是一個(gè)長度為N的有限長序列。y（n）實(shí)際上可看作序列x（n）排列在一個(gè)N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn)m位。第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一循環(huán)移位第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一線性移位和循環(huán)移位操作比較

第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一利用周期序列的移位特性：序列循環(huán)移位后的DFT為：第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

同樣，對于頻域有限長序列X(k)的循環(huán)移位，有如下反變換特性：第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（3）共軛對稱性設(shè)x*（n）為x（n）的共軛復(fù)數(shù)序列，則

DFT[x*（n）]=X*(N-k)證：

第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一說明：當(dāng)k=0時(shí)，應(yīng)為X*(N-0)=X*(0)，因?yàn)榘炊xX（k）只有N個(gè)值，即0≤k≤N-1，而X[N]已超出主值區(qū)間，但一般已習(xí)慣于把X（k）認(rèn)為是分布在N等分的圓周上，它的末點(diǎn)就是它的起始點(diǎn)，即X[N]=X[0]，因此仍采用習(xí)慣表示式

DFT[x*（n）]=X*（N-k）以下在所有對稱特性討論中，X[N]均應(yīng)理解為X[N]=X[0]，同樣，x(N)=x(0)。第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

復(fù)序列的實(shí)部與虛部的DFT變換以Re｛x(n)｝和Im｛x(n)｝表示序列x（n）的實(shí)部與虛部

Xe（k）和X0（K）表示實(shí)部與虛部序列的DFT第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由Xe(k)可得：因此，Xe(k)具有共軛對稱性，稱為X(k)的共軛偶對稱分量。

顯然，第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一用同樣的方法可得到

X0(k)=-X*0(N-k)即Xo(k)具有共軛反對稱特性，稱其為X(k)的共軛奇對稱分量。第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

對于純實(shí)數(shù)序列x（n），即x（n）=Re{x(n)}，X（k）只有共軛偶對稱部分，即：X（k）=Xe（k），表明實(shí)數(shù)序列的DFT滿足共軛對稱性，利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的X（k），就可得到另一半的X（k），這一特點(diǎn)在DFT運(yùn)算中可以加以利用，以提高運(yùn)算效率。第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)DFT的對偶特性，分別以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的循環(huán)共軛偶部與循環(huán)共軛奇部：同樣應(yīng)從循環(huán)意義上理解x（N-0）=x（0）。可證明:DFT[xe（n）]=Re[X（k）]DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一(4)選頻特性對復(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行采樣得復(fù)序列x（n）

0≤n≤N-1其中r為整數(shù)。當(dāng)ω0=2π/N時(shí)，x（n）=ej2πnr/N，其離散傅里葉變換為可見，當(dāng)輸入頻率為rω0時(shí)，變換X（K）的N個(gè)值中只有X（r）=N，其余皆為零，如果輸入信號為若干個(gè)不同頻率的信號的組合，經(jīng)離散傅里葉變換后，不同的k上，X（k）將有一一對應(yīng)的輸出，因此，離散傅里葉變換算法實(shí)質(zhì)上對頻率具有選擇性。當(dāng)ω0<>2πk/N時(shí)?下面分析第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一現(xiàn)在把【例3.2.1】中的2KHz頻率分量改成2.3KHz，且為了看得更清楚，去掉6KHz分量。即x(t)=1.sin(2π.2300.t)信號，經(jīng)過T=1/16ms采樣，用N=16個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算出的頻譜幅度結(jié)果，如圖3.2.7。虛線是2.3KHz信號被截取后的連續(xù)頻譜圖。虛線是2.3KHz信號被截取后的連續(xù)頻譜圖

第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一一個(gè)無限長時(shí)域信號被截?cái)嗪?，將造成單一頻率信號的能量（頻譜幅度平方），泄漏到附近所有頻率區(qū)域上。這稱為頻譜泄漏。再看該X(k)所對應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)x(n)，已經(jīng)不是原序列了。第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如何才能避免泄漏呢？

增大N，來滿足條件。比如：N=160個(gè)的，那么做DFT時(shí)，其頻率分析點(diǎn)間隔是fs/N=16KHz/160=0.1KHz，第23點(diǎn)就恰好準(zhǔn)確地觀察到2.3KHz信號最高幅度。第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（5）DFT與Z變換的關(guān)系

有限長序列可以進(jìn)行z變換

是z平面單位圓上N等分后的第k點(diǎn)。第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一圖DFT與z變換第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

1）X(k)也就是z變換在單位圓上等間隔的采樣值。

2）X（k）也可看作是對序列付氏變換X（ejω）的采樣，采樣間隔為：ωN=2π/N。即結(jié)論：第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

采樣定律告訴我們，一個(gè)頻帶有限的信號，可以對它進(jìn)行時(shí)域采樣而不丟失任何信息；

DFT變換進(jìn)一步告訴我們，對于時(shí)間有限的信號（有限長序列），也可以對其進(jìn)行頻域采樣，而不丟失任何信息，這正反應(yīng)了傅立葉變換中時(shí)域、頻域的對稱關(guān)系。時(shí)域上的采樣，使我們能夠采用數(shù)字技術(shù)來處理這些時(shí)域上的信號（序列），DFT在頻域也離散化，因此使得在頻域采用數(shù)字技術(shù)處理成為可能。第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一3.2.3頻率域采樣時(shí)域采樣間隔T，fs=1/T，為防止頻譜混疊發(fā)生，fs應(yīng)滿足時(shí)域采樣定理。同樣，頻域里連續(xù)頻譜被采樣成等間隔離散頻率點(diǎn)，即彼此呈諧波關(guān)系，而使得時(shí)域?qū)?yīng)表現(xiàn)為周期化。設(shè)時(shí)域序列點(diǎn)數(shù)為M，頻率采樣間隔F=2π/M，那么對應(yīng)時(shí)域周期化的周期大小為ts=1/F，為防止時(shí)域混疊發(fā)生，ts應(yīng)足夠大，大于信號長度。設(shè)時(shí)域序列點(diǎn)數(shù)為Ns=ts/T，則只要M大于等于Ns，那就不會(huì)發(fā)生時(shí)域序列的混疊。這就是頻率域采樣定理。第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一【例3.2.2】頻率域取樣的例子

一個(gè)序列的連續(xù)頻譜在一周期里等間隔取樣了32個(gè)頻率數(shù)據(jù)第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一經(jīng)過IDFT逆變換后得到對應(yīng)的時(shí)域序列：x(n)=｛2，-1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1，1，2，1.2204e-016，0，1.304e-016，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0｝。如圖3.2.13，注意x(0)=1，x(1)=-2，…，x(16)=1，x(17)=2，從x(18)起都為0，說明x(n)是有限長N=18點(diǎn)的時(shí)間序列。如果改為等間隔取樣16個(gè)頻率數(shù)據(jù)。對應(yīng)的IDFT后得到的時(shí)間序列x1(n)為16點(diǎn)，x1(n)=｛3，1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1｝

第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一對比發(fā)現(xiàn)：x1(0)=3，x1(1)=1，與x(n)不相同，其他相同。因?yàn)樾蛄衳(n)實(shí)際長度18，只進(jìn)行16點(diǎn)的頻域采樣，將會(huì)發(fā)生時(shí)域周期化后的混疊。即x1(0)=3=x(0)+x(-2)=x(0)+x(16)=2+1，x1(1)=1=x(1)+x(-1)=x(1)+x(17)=-1+2。其他14個(gè)數(shù)據(jù)不受影響。如果是頻譜取18個(gè)樣點(diǎn)，那么將會(huì)剛好獲得x(n)，這是個(gè)頻率取樣密度的臨界值。第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一變量周期分辨率頻率采樣模擬域數(shù)字域第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一利用循環(huán)卷積和共軛對稱特性，可證明DFT形式下的Parseval定律：DFT形式下的Parseval定理

當(dāng)y（n）=x（n）時(shí)，即為有限長序列的能量：

第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一3.2.4循環(huán)卷積定理若F（k）=X（k）Y（k）第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一證：這個(gè)卷積可看作是周期序列 卷積后再取其主值序列。將F（k）周期延拓，得：則根據(jù)DFS的周期卷積公式：因0≤m≤N-1時(shí)，x((m))N=x(m)，因此第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一這一卷積過程與周期卷積比較，過程是一樣的，只是這里只取結(jié)果的主值序列，由于卷積過程只在主值區(qū)間0≤m≤N-1內(nèi)進(jìn)行，所以實(shí)際上就是y（m）的循環(huán)移位，稱為“循環(huán)卷積”，習(xí)慣上常用符號“”表示循環(huán)卷積，以區(qū)別于線性卷積。第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一1）由有限長序列x(n)、y(n)構(gòu)造周期序列循環(huán)卷積過程:2）計(jì)算周期卷積

3）卷積結(jié)果取主值第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一同樣，若f(n)=x(n)y(n)，則第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一【例3.2.3】有兩個(gè)長度都為6點(diǎn)的序列x(n)和y(n)，其頻譜分別記X(k)和Y(k)。驗(yàn)證DFT循環(huán)卷積性質(zhì)。x(n)=｛-2，5，-1，3，4，7｝和y(n)=｛1，2，7，3，4，6｝。解：（1）把y(n)周期化；（2）對y(0)=1處左右翻轉(zhuǎn)；（3）計(jì)算周期卷積（4）取主值序列：f(n)={75，68，50，82，52，41}。第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一Matlab程序如下：x=[-2，5，-1，3，4，7];y=[1，2，7，3，4，6];N=6；%序列循環(huán)卷積長度Nm=0:1:N-1;y=y(mod(-m,N)+1);%對每個(gè)序號m求模6的值。即左右翻轉(zhuǎn)y序列。A=zeros(N,N);%構(gòu)造一個(gè)6×6的全0方陣。forn=1:1:NA(n,:)=cirshftt(y,n-1,N);%對某個(gè)n，y序列循環(huán)移n-1位后，對應(yīng)放在A的第n行。endf=x*A';%進(jìn)行乘加運(yùn)算，得到結(jié)果，f=[75，68，50，82，52，41]。figure(1);stem(f);%繪制序列桿圖。第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一%N點(diǎn)循環(huán)移位函數(shù)cirshfttfunctionw=cirshftt(s,m,N)%s是序列，N是其長度，m是移位點(diǎn)數(shù)。n=0:1:N-1;%得到序號｛0，1，2，3，4，5，...，N－1｝q=mod(n-m,N);%根據(jù)位移量m值w=s(q+1);%將循環(huán)移m位后的序列放函數(shù)出口w中。%方法2:

計(jì)算x(n)和y(n)的DFT頻譜序列X(k)和Y(k)。X=fft(x);%Y=fft(y);%F=X.*Y;%頻域相乘f1=ifft(F);%查看Workspace有f1=[75，68，50，82，52，41]，它確實(shí)和前面計(jì)算的一樣！figure(2);stem(f1);第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積

實(shí)際問題是求解線性卷積，如信號x（n）通過系統(tǒng)h（n），其輸出就是線性卷積

y（n）=x（n）*h（n）。循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，問題提出:

能不能利用計(jì)算循環(huán)卷積的方法計(jì)算線性卷積?

對于上述x（n）與h（n）的線性卷積，如果x（n）、h（n）為有限長序列，則實(shí)質(zhì)上是研究在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真。

第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一有限長序列的線性卷積：假定x（n）為有限長序列，長度為N，

y（n）為有限長序列，長度為M，它們的線性卷積因x（m）的非零區(qū)間：0≤m≤N-1，

y(n-m)的非零區(qū)間：0≤n-m≤M-1，這兩個(gè)不等式相加，得：0≤n≤N+M-2，在這區(qū)間以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一個(gè)長度為N+M-1的有限長序列。第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一循環(huán)卷積：

重新構(gòu)造兩個(gè)有限長序列x（n）、y（n），長度均為L>max{N,M}(通過補(bǔ)充的零值)。為了分析x（n）與y（n）的循環(huán)卷積，先將x（n），y（n）的周期延拓，得：第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷積，是x（n）、y（n）線性卷積的周期延拓，周期為L。它們的周期卷積序列為：第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

循環(huán)卷積正是周期卷積取主值序列：所以使循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是：

L≥N+M-1

第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一【例3.2.4】上例數(shù)據(jù)，將y(n)看成是某離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，x(n)是其輸入，那么系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是二者的線性卷積。調(diào)用函數(shù)conv（x,y），計(jì)算兩個(gè)序列線性卷積，即可得到6+6-1=11個(gè)點(diǎn)的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)。f(n)=｛-2，1，-5，30，10，41，77，67，55，52，42｝在x(n)后面添加5個(gè)0，使得序列成為11個(gè)點(diǎn)，即x(n)=｛-2，5，-1，3，4，7，0，0，0，0，0｝；n=0~10。然后DFT求出X(k)，k=0~10。同樣，y(n)后面添5個(gè)0，再經(jīng)過DFT得到Y(jié)(k)；最后求IDFT｛X(k)Y(k)｝而得到輸出響應(yīng)f(n)=x(n)*y(n)。這結(jié)果與直接卷積conv（x,y）一樣。從而實(shí)現(xiàn)了用DFT求取系統(tǒng)響應(yīng)的目的。第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

課外練習(xí):設(shè)有兩個(gè)序列，x（n）為N=4矩形序列，y（n）為M=6矩形序列，計(jì)算其線性卷積和8點(diǎn)循環(huán)卷積，并比較結(jié)果是否相同？為什么？第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一3.2利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析

利用DFT計(jì)算連續(xù)信號的頻譜采樣截短DFT第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

（1）混迭對連續(xù)信號x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣

采樣序列的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，fs<2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對原信號譜產(chǎn)生失真，無法恢復(fù)原信號，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

（2）

泄漏——信號截短造成的頻譜擴(kuò)散現(xiàn)象處理實(shí)際信號序列x（n）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L序列，設(shè)長為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。我們知道，時(shí)域的乘積對應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸