五年級下學期培優(yōu)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——五年級下學期培優(yōu)專題一數(shù)的整除特征

知識對對碰

1.常見數(shù)整除的特征

(1)能被11整除的數(shù)的特征。奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和相減（以大減?。┑牟钍?1的倍數(shù)。

(2)能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：最終三位數(shù)與其余各位數(shù)所組成的數(shù)相減（以大減小），所得差是0，這個數(shù)既能被7整除．；也能被11（或13）整除。假使所得的差是7（11或13）的倍數(shù)，這個數(shù)就能被7（11或13）整除。

(3)能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和為3（或9）的倍數(shù)。(4)能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)為4（或25）的倍數(shù)。(5)能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)為8（或125）的倍數(shù)。(6)能被6整除的數(shù)的特征：這個數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。2.數(shù)整除的性質(zhì)

(1)假使數(shù)a，b都能被c整除，那么(a+b)與（a-b）也能被c整除。(2)假使數(shù)a能被數(shù)b整除，c是整數(shù)，那么口c也能被b整除。(3)假使數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除。

(4)假使數(shù)a能同時被數(shù)b、c整除，而且b、c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除。

名題典中題

例1(★)判斷25102能不能被7或11或13整除。

例2(★)在□內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)字，使六位數(shù)43217□能被4（或25）整除。

例3(★)自然數(shù)N由兩種數(shù)字O和8組成，且是15的倍數(shù)。當N可能小時，它是15的多少倍？

例4(★)在685后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別能被3、4、5整除，符合條件的最小六位數(shù)是多少？

例5(★)已知一個五位數(shù)□l691□能被55整除，那么符合題意的五位數(shù)是幾？

例6(★★)四個學生同時做加法練習，老師在黑板上寫出了一個六位數(shù)，然后把它的個位數(shù)字（不等于0）拿到這個數(shù)最左邊得到一個新的六位數(shù)，老師要求將這個新得的六位數(shù)與原來的六位數(shù)相加，結(jié)果，他們四個人的得數(shù)分別是172536，568741，620708,845267。問：在這些答案中哪一個可能是正確的？為什么？

例7(★★)試將1，2，3，4，5，6，7分別填人下面的方框中，每個數(shù)字只用1次：

7□1□4（這是一個三位數(shù)）□

□□□（這是一個三位數(shù)）□（這是一位數(shù)）

使得這三個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，其中一個三位數(shù)已填好，它是714。

例8(★★★)三個連續(xù)自然數(shù)在100～200之間，其中最小的三位數(shù)能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，試寫出所有這樣的三個自然數(shù)。

例9(★★★)假使下面這個41位數(shù)555???5?999???9能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)??????????20個520個9字是幾？

例10(★★★)用0，1，2，…，9十個數(shù)字，各用1次，組成一個十位數(shù)。將這個十位

數(shù)依次分成三段，每一段不少于三位數(shù)。第一段的數(shù)分別能被1，2，3整除；其次段的數(shù)分別能被4，5，6整除，第三段的數(shù)分別能被7，8，9整除，那么第一段的數(shù)是多少？（只要求寫1個答案）

魔法訓練營

1．在25□79這個數(shù)的口內(nèi)填上一個數(shù)字，使這個數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應填____。2．在下式□中分別填入三個質(zhì)數(shù)，使等式成立?！?□+□=50

3．有55塊糖分給甲、乙、丙三個人，甲分的塊數(shù)是乙的2倍，丙最少，但也多于10塊，三個人各分到糖多少塊？

4．把7，14，20，21，28，30分成兩組，每三個數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等。

5．一個三位數(shù)減去它的各個數(shù)位的數(shù)字之和，其差還是一個三位數(shù)51x，求x是多少。

6．用數(shù)字1～9組成九位數(shù)，左起第一位能被1整除，前兩位能被2整除，前三位能被3整除??前九位能被9整除。已知第七位是7，求這個九位數(shù)。

7.173□是個四位數(shù)，在□中先后填人三個數(shù)字，所得到的三個四位數(shù)依次可被9，11，6整除，問先后填入的三個數(shù)字的和是多少。

8．在□內(nèi)填上適合的數(shù)，使五位數(shù)7□36□能被15整除，共有幾種不同的填法？

9．小明的媽媽要到銀行去取錢，可是她忘了存折的密碼，她記得密碼是六位數(shù)，頭三位是586，而且這個六位數(shù)能同時被3、4、5整除，且是符合條件中最小的一個。聰明的同學們，你能幫助小明的媽媽回憶起存折的密碼嗎？

10.有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成一個四位數(shù)（例如1409），把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第5個數(shù)的末位數(shù)字是多少？

專題二質(zhì)數(shù)、合數(shù)及分解質(zhì)因數(shù)

知識對對碰1.概念

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，如5，7，29。合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)，如20，45，30?；ベ|(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示，叫做分解質(zhì)因數(shù)。如12=2×2×3。這時2和3都是12的質(zhì)因數(shù)。2.性質(zhì)

(1)任何大于1的合數(shù)都能表示成質(zhì)數(shù)的乘積。(2)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；質(zhì)數(shù)有無限多個；最小的質(zhì)數(shù)是2；

在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，其余的質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)；每個質(zhì)數(shù)只有兩個約數(shù)：l和它本身。

(3)假使一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。(4)合數(shù)有無限多個；最小的合數(shù)是4；

每個合數(shù)至少有三個約數(shù)。

(5)假使把一致的質(zhì)因數(shù)合并為它的冪，則任意大于1的整數(shù)N只能唯一地表示成：

rnrr21N?P1?P2????Pn;(r1,r2,???rn是自然數(shù)，它們分別是P1，P2，…，Pn的指數(shù)），此式稱

為Ⅳ的標準分解式。3.分解質(zhì)因數(shù)的方法

主要是短除法（在小學階段），試除時一般從最小質(zhì)數(shù)開始。

例9(★★)一支隊伍不超過1000人，列隊時分別按2人、3人、4人、5人、6人一排，最終一排都缺1人，改為7人一排時正好。問：這支隊伍共有多少人？

例10(★★)用自然數(shù)a去除374，410，464，得到一致的余數(shù)。a最大是多少？

例11(★★★)兩個自然數(shù)的差是27，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是1179。那么這兩個數(shù)的和是_________。

魔法訓練營

1．A、B兩個數(shù)都恰恰只含有質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，已知A有12個約數(shù)，B有10個約數(shù)，那么A、B兩數(shù)的和等于多少？

2．有12分米長的鐵絲12根，18分米長的鐵絲9根，24分米長的鐵絲10根?，F(xiàn)在要把它們截成一樣長的鐵絲，不能浪費，截下的鐵絲要最長，鐵絲長是多少分米？可以截成多少根？

3．有鉛筆433支、橡皮260塊，平均分派給若干小學生。學生人數(shù)在30～50之間，分到最終余鉛筆13支、橡皮8塊，問小學生畢竟有多少人。

4．把一張長147厘米、寬105厘米的長方形紙截成大小一樣且長與寬之比是5:3的長方形紙，且沒有剩余，問最少可截成幾張。

5．現(xiàn)有252個紅球，396個藍球，498個黃球。把它們分組裝在n個袋子里，要求每個袋子里都有紅、黃、藍三種顏色的球，而且每個袋子里的紅球數(shù)一致，黃球數(shù)一致，藍球數(shù)也一致。求n最大是幾。

6．一箱雞蛋，兩個兩個數(shù)、三個三個數(shù)、四個四個數(shù)、五個五個數(shù)、六個六個數(shù)均多出一個，假使七個七個數(shù)正好數(shù)盡，問這箱雞蛋至少有多少個。

7．六年級學生參與植樹活動，人數(shù)在30和50之間。假使分成3人一組、4人一組、6人一組或8人一組，都恰好分完。六年級參與植樹活動的學生有多少人？

8．用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要這種長方體木塊多少塊？

9．某班學生參與一次考試，成績分為優(yōu)、良、中、下四等。已知該班有有

1的學生得優(yōu)，211的學生得良，有的學生得中，其余學生得下。該班學生人數(shù)不超過60人，該班得37下的學生有多少人？

10.從甲地到乙地原來每隔45米安裝一根電線桿，加上兩端的共53根。現(xiàn)在改為每隔60米安裝一根，除兩端的兩根不必移動外，中間還有多少根不必移動？

11.甲校和乙校有同樣多的同學參與數(shù)學競賽，學校用汽車把學生送往考場。甲校用的汽車，每車坐15人；乙校用的汽車，每車坐13人，結(jié)果甲校比乙校少派一輛汽車。后來每校各增加一個人參與競賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最終又決定每校再各增加一個人參與競賽，乙校又要比甲校多派一輛汽車。問最終兩校共有多少人參與競賽。

12.有一個電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整時響一次鈴，中午12時整，電子鐘既響鈴又亮燈，問：下一次既響鈴又亮燈是幾時？

13.大雪后的一天，小飛和爺爺共同步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和走的方向完全一致，小飛每步長48厘米，爺爺每步長72厘米，由于兩人腳印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40個腳印，求花圃的周長。

14.有兩個油桶，一個容積為27升，另一個容積為15升，只利用這兩個油桶怎樣從一個大油桶中倒出6升油來？

規(guī)律學的用處

有個學生請教數(shù)學家規(guī)律學有什么用。數(shù)學家問他：“兩個人從煙囪里爬出去，一個滿臉煙灰，一個干清白凈，你認為哪一個該去洗澡？〞“當然是臟的那個。〞學生說。

“不對。臟的那個看見對方干清白凈，以為自己也不會臟，哪里會去洗澡！〞這就是數(shù)學家的規(guī)律學。

專題四分數(shù)計算

知識對對碰1.有關概念

最簡分數(shù)：分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)叫做最簡分數(shù)，也叫做既約分數(shù)。

分數(shù)化簡：根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把一個分數(shù)化為最簡分數(shù)的過程，叫做分數(shù)化簡。約分：把一個分數(shù)的分子和分母都除以它們的公約數(shù)（1除外），化成與原來分數(shù)相等的分數(shù)，這種運算叫做約分。2.分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個不為0的數(shù)，分數(shù)值的大小不變。分數(shù)的基本性質(zhì)是通分的基礎和依據(jù)。3.約分方法

(1)逐次約分法。把分數(shù)的分子和分母逐次除以它們的公約數(shù)，直到得出一個最簡分數(shù)為止。

(2)一次約分法。把分數(shù)的分子和分母都除以它們的最大公約數(shù)，就得到一個最簡分數(shù)。(3)輾轉(zhuǎn)相除法。當分子和分母都比較大時，一般先用輾轉(zhuǎn)相除法求它們的最大公約數(shù)再約分。

4.比較分數(shù)的大小

對于分數(shù)

bdbd和來說，假使bc?ad，則?;acacbd?;ac假使bc?ad，則假使bc?ad,則

bd?。ac名題典中典

例1(★)一個分數(shù)的分子擴大為原來的2倍，分母不變，分數(shù)值會發(fā)生什么變化？假使分數(shù)的分母擴大為原來的2倍，分子不變，分數(shù)值會發(fā)生什么變化？

例2(★)計算：625?379?(4?0.01)25例3(★)計算：(

例5(★)化簡：

例6(★)計算：

1153252525252252??)?48例4(★)化簡：?12645255255252521?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21

1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?3512?3?564?78例7(★)把下面各分數(shù)化成小數(shù)。

917112411

20232525125

例8(★)比較

例9(★)一個真分數(shù)，分子、分母是兩個連續(xù)自然數(shù)，假使分母加3，這個分數(shù)是

3333122224和的大小。33335222274，求5原分數(shù)。

例10(★★)分母是1998的最簡真分數(shù)有多少個？

例11(★★)比

21大，比小，分子是17的分數(shù)共有多少個？73

7．如圖11-12所示，有6個長、寬、高分別是4厘米、3厘米、5厘米的一致的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有一個長方體只有一個面是紅色的，有一個長方體恰有兩個面是紅色的，有一個長方體恰有三個面是紅色的，有一個長方體恰有四個面是紅色的，有一個長方體有五個面是紅色，還有一個長方體六個面都是紅色的。染色后把所有的長方體分割成棱長為1厘米的小正方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個？

8.19個邊長是1厘米的小正方體堆成如圖11-13的形狀，求它的表面積。

9．用鐵絲做一個正方體框架，要求棱長為15厘米，至少要鐵絲多少厘米？這段鐵絲假使要做成長15厘米、寬14厘米、高16厘米的長方體框架，長度夠不夠？

10.圖11-14是一個正方體紙盒拆開后的平面展開圖。

(1)假使將這個展開圖重新恢復成原來的正方體，那么圖中的E點、F點分別與哪兩點重合？

(2)假使把恢復后的正方體沿它兩條棱中點的連線截成兩半，并使截面為正六邊形，那么，這個正六邊形的六條邊分別落在正方體的6個面上，請在圖中畫出這個正六邊形的六條邊。

11.在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小正方體(如圖11-15)。求這個立體圖形的表面積。

12.在一個六面都涂成紅色的大正方體中，假使想得到100個六面都沒有涂紅色的小正方體，那么，每個面上至少需要等距離地切幾刀？

13.如圖11-16是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為第三個正方體小洞的挖法與前兩個一致，棱長為積是多少平方厘米？

1厘米的正方體小洞，21厘米，那么最終得到的立體圖形的表面4鬼谷算

我國漢代有位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，只要求部下先后按1～3、1～5、l～7報數(shù)，然后再報告一下各隊每次報數(shù)的余數(shù)，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點兵，外國人還稱它為中國剩余定理。到了明代，數(shù)學家程大位用詩歌概括了這一算法，他寫道：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團聚月正半，除百零五便得知。

這首詩的意思是：用3除一個數(shù)所得的余數(shù)乘上70，加上用5除這個數(shù)所得余數(shù)乘上21，再加上用7除這個數(shù)所得的余數(shù)乘上15，結(jié)果大于105就減去105的倍數(shù)，這樣就知道這個數(shù)了。

譬如，一籃雞蛋，三個三個地數(shù)余l(xiāng)，五個五個地數(shù)余2，七個七個地數(shù)余3，籃子里有雞蛋一定是52個。算式是：1×70+2×21+3×15=157157-105=52（個）

請你根據(jù)這一算法計算下面的題目。

新華小學訂了若干張《中國少年報》，假使三張三張地數(shù)，余數(shù)為1張；五張五張地數(shù)，余數(shù)為2張；七張七張地數(shù)，余數(shù)為2張。新華小學訂了多少張《中國少年報》呢？

專題七長方體、正方體的體積

知識對對碰

1.長方體和正方體的體積概念及其計算公式(1)長方體體積=長×寬×高

V長方體?abc

(2)正方體體積=棱長×棱長×棱長

V正方體?a3

2.求不規(guī)則物體的體積

假使我們碰見不規(guī)則的物體要求體積，只要用一個長方體的水箱，把不規(guī)則的物體完全浸沒在水中，水箱中水上升的體積就是這個不規(guī)則物體的體積，從而解決立體圖形有關問題中的體積轉(zhuǎn)化。解這類題的基本公式：

水中物體的體積=容器的底面積×水上升或下降的高度水上升或下降的高度=水中物體的體積÷容器的底面積容器的底面積=水中物體的體積÷水上升或下降的高度

（本節(jié)中提到容積時，容器的各邊長與面積均指容器內(nèi)部測量數(shù)據(jù)）

名題典中典

例1(★)一只長方體包裝箱，從里面量長60厘米，寬50厘米，高40厘米，內(nèi)裝300個藥瓶（包裝箱正好裝滿），平均每個藥瓶占箱子多少立方厘米的容積？

例2(★)一個正方體油箱里面裝滿了油，容積是216立方分米，把這一箱油倒入另一個長方體油箱內(nèi)，已知長方體油箱長9分米，寬6分米，這個長方體油箱中油深多少分米？

例3(★)在一只長為40厘米，寬為25厘米，水深為20厘米的玻璃魚缸中放入一個棱長為10厘米的正方體鐵塊（完全浸沒），水可上升到多少厘米？

例4(★)一個底面是正方形的長方體木箱，假使把它的側(cè)面展開，正好得到一個邊長是60厘米的正方形，求這個木箱的體積。

例5(★)有一根長3.5米的方木，把它截成3段，表面積增加了144平方厘米，這根方木的體積是多少立方分米？

例6(★)一個長方體的表面積是67.92平方分米，底面積是19平方分米，底面周長是17.6分米，這個長方體的體積是多少？

例7(★)某工廠要做150個棱長為0.8米的無蓋正方體硬紙箱，那么，做這些紙箱至少要用多少平方米的硬紙？這些紙箱容積和是多少立方米？

例8(★)如圖12-1，有一個棱長為3厘米的正方體，在正方體的上底面向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面再向下挖一個棱長為0．5厘米的小洞，再在小洞中向下挖一個棱長為0.25厘米的小洞，求此時這個物體的體積。

例9(★)在長為16厘米，寬15厘米的長方體水箱中有10厘米深的水?，F(xiàn)在往水箱里放一塊石頭完全沉入水中，這時水面上升了4厘米。假使把石頭取出來又放人一個鐵球（球浸沒在水中，且水沒有溢出），這時水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容積和鐵球、石頭的體積。

例10(★★)一個棱長都是整數(shù)的長