2019-2020年高考數(shù)學(xué)試卷題含答案

XX上海市學(xué)業(yè)水平考試

暨春季高考數(shù)學(xué)試卷（有答案）

一.填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1.

復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部是.2.若，則

.3.直線與直線的夾角為

.4.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

135

0405..三階行列式中，元素

的代數(shù)余子式的值為

211

6.函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù).7.

_______________.在中，若，，，則

8..(結(jié)果用數(shù)值表示)個人排成一

排照相，不同排列方式的種數(shù)為9..無窮等

比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的各項(xiàng)的和為10.若(為虛數(shù)

單位)是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個虛根，則

.11..函數(shù)在區(qū)間上

的最小值為，最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12.在平面直角

坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上的兩個動點(diǎn)，且滿足，則的最小值為

分)36題，每題3分，共二.選擇題(本大題共12

13.滿足且的角屬于()

(C)第三象限)第二象限(A)第一象限(D)第四象限

(B

14.半徑為的球的表面積為()

()(AC)(D)(B)

15.在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為()

(C(B))(A)(D)

16.幕函數(shù)的大致圖像是()

17.已知向量，，則向量在向量方向上的投影為()(DOO)

BA()(

18.設(shè)直線與平面平行，直線在平面上，那么()(A)直

線平行于直線(B)直線與直線異面

)直線與直線沒有公共點(diǎn)C((D)直線與直線不垂直

2

+++++=+++

++++++++=+++

19.2nIn2n23L在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的第步中,

假設(shè)時原等式成立，那

么在時需要證明的等式為()

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1)(C)

21)12(kl)2k2k12(kl)2(k3L)(D

20.)關(guān)于雙曲線與的焦距和漸近線，下列說法正確的是(

)焦距相等，漸近線不相同)焦距相等，漸近線相同(B(A

)焦距不相等，漸近線不相同(D(C)焦距不相等，漸近線

相同

21.)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則””是“為奇函數(shù)”的(

)必要不充分條件BA)充分不必要條件((

)既不充分也不必要條件)充要條件(D(C

22.)下列關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式中，不恒成立的是(

)(A)(B

)(D(C)

OO

23.關(guān)于以若，則.2若，則；設(shè)單位向量與既不平行也不垂直，

對非零向量、有結(jié)論：1

)上兩個結(jié)論，正確的判斷是(

OOOO

1)1(A)(B成立成立，不成立不成立，22

OOOO

1)(C1)(D不成立成立，成立不成立，22

22yx

：C對于橢圓a224.bb）1（a,b0,a在平面直角.若點(diǎn)滿足.

則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，（a,b）2

）（坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在過點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足條件

的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為

CBA（）三角形及其內(nèi)部（）矩形及其內(nèi)部（）

圓及其內(nèi)部（）橢圓及其內(nèi)部D

題，共58+8+8+12+12=48分）解答題（本大題共.三

25.分）如圖，已知正三棱柱的體積為，底面邊長為，求異面

直線與所成的角的8（本題滿分.大-

26.（本題滿分8分）已知函數(shù)，求的最小正周期及最大值，

并指出取得最大值時的值.

27.分）如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一

部分，燈口所在的（本題滿分8

圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口

直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡.的頂點(diǎn)的距離

28.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分4

分，第2小題滿分8分.

.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列

若成等比數(shù)列，求的值；（1）

.2（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列滿足，

記，求數(shù)列的最小項(xiàng)（即對任意成立）.--

29.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分5

分，第2小題滿分7分.

對于函數(shù)，記集合.

）設(shè)，，求；（1

.2）設(shè)，，，如果（

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2019-2020年高考數(shù)學(xué)試卷題含答案

一.選擇題：(9分)

1.若函數(shù)(則的一個值是，是偶函數(shù))

(D)(A)(B)(C)

2.在復(fù)平面上，滿足的復(fù)數(shù)的所對應(yīng)的軌跡是0

兩條直線一條線段(C)(B)一個圓兩個點(diǎn)(D)(A)

A(l,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直線與的圖像,

其中，如圖已知函數(shù)的圖像是折線3.

，則的取值范圍是(恰有四個不同的公共點(diǎn))

(A)(B)(C)(D)

二.填空題：(9分)

4.橢圓的長半軸的長為

10,母線與軸的夾角為，則該圓錐的側(cè)面積為5.已知圓錐的母線

長為___________________

，方法為：當(dāng)?shù)谔煜逻^雨時，記，當(dāng)?shù)谔靫xl2月份31小明用數(shù)

列記錄某地區(qū)6.天中每天是否下過雨

，方法為：當(dāng)預(yù)報第天有雨時，沒下過雨時，記，他用數(shù)列記錄

該地區(qū)該月每天氣象臺預(yù)報是否有雨

ababLab25ba那么，小明計(jì)算出，記記錄完

畢后，當(dāng)預(yù)報第天沒有雨時，記3133113122

該月氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的總天數(shù)為

三.解答題：(12分)

對于數(shù)列與，若對數(shù)列的每一項(xiàng)，均有或，則稱數(shù)

列是與的一個“并數(shù)列"O

（1）設(shè)數(shù)列與的前三項(xiàng)分別為，若是與一個3,b2,

b5,a,b13al,a331212

“并數(shù)列”求所有可能的有序數(shù)組；

（2）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，的公差為1,首

項(xiàng)為正整數(shù)；的前10項(xiàng)和為-30,,前20項(xiàng)的

和為-260,若存在唯一的數(shù)列，使得是與的一個“并

數(shù)列”，求的

值所構(gòu)成的集合。

XX上海市學(xué)業(yè)水平考試暨春季高考數(shù)

學(xué)試卷（答案）

一.填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）

3.1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部是

2.若，則7.

3.直線與直線的夾角為

4.函數(shù)的定義域?yàn)?

135

0

04

8.中，元素的代數(shù)余子式的值為三階行列式5.

121

6.函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)1.

.在中，若,，,則7.

（結(jié)果用數(shù)值表示）8.個人排成一排照相，不同排列方式的種數(shù)

為24.

3.無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則的各項(xiàng)的和為

9.

-4.10.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次

方程的一個虛根，則

.11.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為,

則實(shí)數(shù)的取值范圍是

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上的兩個動點(diǎn)，且滿足，則的最

小值為12.2..二分，共3分)3612

題，每題選擇題(本大題共

)13.滿足且的角屬于(B

)第四象限D(zhuǎn)()第三象限CA()第一象限()第二象限B(

)D14.半徑為的球的表面積為(

))(A)(B(C)(D

)C在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為(15.)D)((A)(B)

(C

)C幕函數(shù)的大致圖像是(16.

已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（17.）A

））（D（C）（（A）B

）設(shè)直線與平面平行，直線在平面上，那么（C18.

）直線與直線異面（（A）直線平行于直線B

）直線與直線不垂直）直線與直線沒有公共點(diǎn)（C（D

22nn23LI2n在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式19?的第步中，假設(shè)

時原等式成立，那

）么在時需要證明的等式為（D

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1))C(

2(k1)123L2k2k12(k1)2(k

1))(D

)關(guān)于雙曲線與的焦距和漸近線，下列說法正確的是(20.B)

焦距相等，漸近線相同A()焦距相等，漸近線不相同B(

)焦距不相等，漸近線相同C()焦距不相等，漸近線不相同(D

21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“為奇函數(shù)”的(B)

)充分不必要條件A((B)必要不充分條件

)充要條件(C(D)既不充分也不必要條件

22.下列關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式中，不恒成立的是(D))B(A)

(

)D(C)(

OO

1若，貝IJ;設(shè)單位向量與既不平行也不垂直，對非零向量、有結(jié)

論：若，則.關(guān)于以上23.2

A兩個結(jié)論，正確的判斷是()

oooo

(A)1(B)1不成立，成立成立，不成立22

OOOO

((D)IC)1成立，不成立成立不成立，22

X22：C25.對于橢圓yb)1(a,b0,a

-----+------=

==------XX=yf"

=+T

=7T=

(a,b)則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在平面直角若點(diǎn)滿足..22ba

B)坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在過點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足

條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為(

(A)三角形及其內(nèi)部(B)矩形及其內(nèi)部(C)圓及

其內(nèi)部(D)橢圓及其內(nèi)部

分)題，共三.解答題(本大題共58+8+8+12+12=48

26.(本題滿分8分)如圖，已知正三棱柱的體積為，底面邊長

為，求異面直線與所成的角的大小.

23Vshh933:簡解

4

，/是異面直線與所成的角

在中，

Z

27.(本題滿分8分)已知函數(shù)，求的最小正周期及最大值，并

指出取得最大值時的值.

f(x)sinx3cosx2sin(x)：簡解，

3

T2,y2,x2k,kZmax

6

28(本題滿分8分)如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是

拋物線的一部分，燈口所在的

圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口

直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離.

24ck

+

+X<

簡解：建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入得

=所求距離

29.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分,

第2小題滿分8分.

已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列

成等比數(shù)列，求的值；（1）

⑵設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列滿足,

記，求數(shù)列的最小項(xiàng)（即對任意成立）.

簡解：(1).,

Q)

bb(bb)(bb)L(bb)n11223nnl

21n1

111LI222

nl1nI

21221

2

2?1)nS20nn(n19n,n

2

nin22n21S2)nbn20n2cl(220nnnnni

12

C22n220n2cl)(nl)l(n20(nl)nmin

顯然，上式大于零，即，

是關(guān)于的增函數(shù)22,進(jìn)一步4n3

QnnQ24+2=2419,Q23+2=1419,

CCCCLcCCLc,53910124n

30.(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分5

分，第2小題滿分7分.

對于函數(shù)，記集合.

）設(shè)，，求；（1

.）設(shè)，，，如果2（

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

<

>-

得，D1或x3xxf：（l）解由；gDxxllOxx（2）,f

hl1xDxX

a310,由hf13

DR,或D=,m）,（其中ml）-fhf22%則在R

上恒成立，

令,,）2y1tlt（tO1,2

42

時成立.

對于D=-,m）,（其中ml）h

f2

以下只討論的情況

x20,ttta01

3對于，令，

ta14a14a,（或0）Itl

22

又又以

xtllll4a14a即

223

1114al4a

loglog,mlx=n2233

綜上所述：

D：或XX（2）10xX1,fih

XIDxX

a310由，f2h3

D=或DR,,m),(其中m1)-fh

f22h.顯然恒成立，即

時，，在上恒成立

1x2令11It,t,a,

33

)2

+-

11,ty(tt21

42

，所以

:綜上所述

上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷XX二卷

)選擇題一.:(9分

1.若函數(shù)(B,是偶函數(shù)則的一個值是)

(D)(A)(C)(B)

滿足的復(fù)數(shù)的所對應(yīng)的軌跡是在復(fù)平面上,2.)(D

兩條直線(C)一條線段(B)一個圓兩個點(diǎn)(D)(A)

若直線與的圖像，3已知函數(shù)的圖像是折線如圖其中,

A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2)

(則的取值范圍是，恰有四個不同的公共點(diǎn))B

(D)(B)(A)(C)

分填空題.二:(9)

橢圓4.5的長半軸的長為

5.已知圓錐的母線長為10,母線與軸的夾角為，則該圓錐的側(cè)面

積為_________

xxl2月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)谔煜逻^雨

時，6.小明用數(shù)列記錄某地區(qū)記，當(dāng)?shù)谔?/p>

，方法為：當(dāng)預(yù)報第天有雨時，沒下過雨時，記，他用數(shù)列記錄

該地區(qū)該月每天氣象臺預(yù)報是否有雨

++

abababLab25那么，，記記錄完畢后，小

明計(jì)算出當(dāng)預(yù)報第天沒有雨時記,3113133122

該月氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確的總天數(shù)為28

三.解答題：（12分）

7.對于數(shù)列與，若對數(shù)列的每一項(xiàng)，均有或，則稱

數(shù)列是與的一個“并數(shù)列"O

⑴設(shè)數(shù)列與的前三項(xiàng)分別為，若是與一個“并2,b

l,b3,a5,bal,a3331122

數(shù)列”求所有可能的有序數(shù)組；

⑵已知數(shù)列均為等差數(shù)列，的公差為1,首項(xiàng)為

正整數(shù)；的前10項(xiàng)和為-30,前，

20項(xiàng)的和為-260,若存在唯一的數(shù)列，使得是與

的一個“并數(shù)列”，求的值所構(gòu)成

的集合。

答案：

(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5);

(1)

9

⑵

的前10項(xiàng)和為，設(shè)

,得，所以;

**,kNkl,t93k

a當(dāng)c時,82ktNkk

kl,t

6或；k2t,3

所以

數(shù)列唯一，所以只要唯一確定即可。

顯然，時，不唯一，

2019-2020年高考數(shù)學(xué)問題2.2函數(shù)中的存在

性與恒成立問題提分練習(xí)

一、考情分析

函數(shù)內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個

熱點(diǎn).在新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的

,它主要涉及到一次函數(shù)、二綜合素質(zhì)的考察，恒成立與存在性

問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑

次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)的圖象和性

質(zhì)及不等式等知識，滲透著換元、化歸、數(shù)

形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法故備受高考的青，在培養(yǎng)思維的

靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，

睞，成為高考能力型試題的首選.

二、經(jīng)驗(yàn)分享

2bxf(x)

axc(aO)設(shè)⑴.)上恒成立(,2(1)上恒成立；

UU

><

(2)對于一次函數(shù)有：

f(m)Of(m)0恒成立恒成立,f(x)Of(x)0

f(n)Of(n)0

(3)根據(jù)方程有解求參數(shù)范圍，若參數(shù)能夠分離出來，可

把求參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域.

(4)利用分離參數(shù)法來確定不等式，(，為實(shí)參數(shù))恒成立

中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：

①將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式；

②求在上的最大(或最小)值；.),或(得的取值范圍③解不

等式

(5)對于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解.

利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知

條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)

系，得出答案或列出條件，求

.出參數(shù)的范圍

(6)某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者

即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)

.即把主元與參數(shù)換個位置，往往會取得出奇制再結(jié)合其它知識可

考慮變換思維角度,，的最值卻難以求出時

勝的效果.

三、知識拓展

(1)恒成立問題

XDfxAfxA；)，則￡,均有>()>(恒成立①.？min

xDfxAfxA；<(())<恒成立，②.？則￡,均有max

xDfxgxFxfxgxFx)>0(；()>(,)恒成立則)>0,

(；?)二(.?③金，均有()-而n

xDfxgxFxfxgxFx)<0；()-()<0,(D.?￡均有，/.

()〈(恒成立)，則(尸(max

xDxfxgxfxgx)；>則恒成立)〉均有￡.?⑤邑?E,

((),()(max1212min-------

xDxfxgxfxgx).()<)恒成立⑥.？，金貝I),?￡E，均

有(()<(min2121max

(2)存在性問題

xDfxAfxA；>()>)成立，①.？則￡，使得(maxoo

xDfxAfxA；<()成立②.？，￡，使得則()<

minOO

xDfxgxFxfxgxFx)>0；)-((()成立，設(shè)()，③.？)二

e，使得I.(()>maxOOO

xDfxgxFxfxgxFx)<0((；成立，設(shè)),()=④.？；.￡(,

使得()V)-()minOOO

DEfxgxfxgxxx；成立)⑤.,￡),￡)，則使

得>(()>((??minl2max2lDEfXgXfXgXXX),均使得則()<

@.(e,(e)成立)？？v(.

maxmin1221

(3)相等問題

fx的值域分別為若)(AB則,，

xDxEfxgx)成立，使得((①.？貝I；￡,?)二￡,

22nxDxEfxgx)成立，(則尸e.,?￡(,使得②？2山

(4)恒成立與存在性的綜合性問題

xDxfxgxfxgx)；)(>)成立，則①？e,?￡E,使得

(()>(minl221minXDxfxgxfxgx)((成立？)e?,,eE,

使得(則)<②).<(

max12max!2

四、題型分析

解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)的存在性與恒成立問題常用以下幾種方法：①

函數(shù)性質(zhì)法；②分離參數(shù)法；③主參換位

法；④數(shù)形結(jié)合法等.

(一)函數(shù)性質(zhì)法

32xfxfxxaxa的成立，求實(shí)數(shù)01【例】已知函

數(shù)=內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù)一+10,若在區(qū)間[1,2],使得()<0

取值范圍.

【分析】本題實(shí)質(zhì)是存在性問題

t解析】解法一；加）=婚-2?=341-勁（1比2\

當(dāng)多W即W寸/（XROg濃.21±為地函數(shù)，

當(dāng)1號aen|<x3時莒1夕號5?劭當(dāng)全但/。）*.

所以a=|a時｛x）取最小值.

因此有痣，<0,即當(dāng)”觸+10=-/5+10<0.解得<X>3、^這與|<a<3矛質(zhì)，

當(dāng)沁即小時/&）%）在口2±為胭數(shù).所以網(wǎng)“=<2）=18-也所以18-解得尾這符合<fe3.

綜上所述q的取值范圍為a*.

()=(-)-+

()=(-)()=-

3X1010+

XXx,+=a解法二：由已知得：>22

2010

XXxggxxx,=W設(shè)W()2),='(+1)—(132

xgxgx)在[1,2]上是減函數(shù).2,.?.('()<0,1???W所以

W

9im解法一在處理時，需要用分類討論的方法，

討論的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與區(qū)間[1,2]的關(guān)系；解法二是用【點(diǎn)評】

axxx232￡[l,4],,>而無需要分類討論.+10的參數(shù)分離，由于

中所以可以進(jìn)行參數(shù)分離

X山西大學(xué)附中第二次模擬】設(shè)函數(shù)XX【牛刀小試】【aaxf

xex

21,其中，若存在唯一的整數(shù)，

使得，則的取值范圍是()

.A…DBC

【答案】D

xxeagax2xl,hx由題意知存在唯一整數(shù)【解析】令

使得在直線的下方.，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)

遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為.當(dāng)

時，，當(dāng)時，，直線過定點(diǎn)，斜率為，故且，解得.

(二)分離參數(shù)法

【例2】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)(為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的

斜率為.

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【分析】(1)由結(jié)合條件函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，可

知，可建立關(guān)于的方程：，從而解得；(2)要

使對任意恒成立，只需即可，而由(1)可知，，問題即等價

于求函數(shù)的最大值，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

lx(llnx)

Inxxg'(x).?.在上是.?.在上是增函數(shù)；當(dāng)時”性，從

而求得其最值：，當(dāng)時，，，令，解得22XX

減函數(shù)，因此在處取得最大值，，即為所求.

【解析】⑴???，，，

又???的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，.?.，

即，???;

(2)由(1)知，,

???對任意成立對任意成立，

則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值令，，

1x(1Inx)InXx

g'(x),解得令，，2XX2

當(dāng)時，,??.在上是增函數(shù)；

,，當(dāng)時.??在上是減函數(shù).

故在處取得最大值，，即為所求.

【點(diǎn)評】在函數(shù)存在性與恒成立問題中求含參數(shù)范圍過程中，當(dāng)

其中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與

,常用分離參其它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一

邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值或范圍可求時

,單獨(dú)放在不等式的一側(cè)數(shù)法.此類問題可把要求的參變量分

離出來，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化

成新函數(shù)的最值問題.

利用分離參數(shù)法來確定不等式，(為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù)的取

值范圍的基本步驟：

(1)將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式；

⑵求在上的最大(或最小)值；

(3)解不等式(或)，得的取值范圍.

【牛刀小試】【xx湖南省郴州市上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】

已知函數(shù),，其中且，.

(1)若，且時，的最小值是一2,求實(shí)數(shù)的值；

(2)若，且時，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】⑴；(2).

(解析］(I)*-'2=4,F(x)=j?(x)-/(x)=2log(2x+2)-logx=log

dadx

=log4＜x+-+2)

ax

易證A(x)=4＜x+」+2)在［；刀上單調(diào)遞減.在［1.2］上單調(diào)遞增.且版3＞以2),

x44

A(x)?=貝)=16.A(x)?,=限J=25.

4

.當(dāng)。＞1時，尸3g=105016,由108。16=-2,解得。=?(舍去)

當(dāng)0＜。＜1時,尸(力2=logd25,由logd25=-2,解得。=，

綜上失映數(shù)。的值是

士+-

xlog(2x21ogt2)，即(2)?.?恒成立,恒成立aa

1Xlog(2xlog2)ta.a

2

又???

，，恒成立

1(X),2］)171［,y2xxx22(令2

448故實(shí)數(shù)的取值范圍為

主參換位法）（三

,(1)【例3函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，】已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇

函數(shù)求的值；(2)若上恒成立，求的取值范圍.

那么解題的關(guān)鍵恰恰就在于該把其中哪個字母看成是，【分析】

在第二小題所給條件中出現(xiàn)了兩個字母：及

而根據(jù)本題中的條件特征顯然可將視作自變量另一個作為常

數(shù).，一個變量則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)，

問題即可求解恒成立的問題0,于的一次函數(shù)大于等于.

⑴【解析】

,，知：(1)由⑵

在上單調(diào)遞減，

，在上恒成立

只需，

(其中)恒成立，

(X)=+入+++之入4一

t(-)=--+v

f由上述②結(jié)論：可令,2)Isinl10((t1)t

，則

而恒成立

,當(dāng)分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與

變量【點(diǎn)評】某些函數(shù)存在性與恒成立問題中，

,可考慮變換思維角度.即把主元與參數(shù)換個位置，再結(jié)合其它

知識，往往會取得但函數(shù)的最值卻難以求出時

出奇制勝的效果.此類問題的難點(diǎn)常常因?yàn)閷W(xué)生的思維定勢,

從而因計(jì)算繁，易把它看成關(guān)于的不等式討論

,把待求的x為參數(shù),,再來求解以為變量，構(gòu)造新的關(guān)于參

數(shù)的函數(shù)瑣出錯或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路

參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了.

X的取值范圍.【牛刀小試】若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)

【答案】

212x10mmxf則是關(guān)于,m,設(shè)的一

次型函數(shù)，要使恒成立，只需【解析】可轉(zhuǎn)化為

2X2xOlf，解得.

2x22xfOl

（四）數(shù)形結(jié)合法

［例4］已知函數(shù)，在恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【分析】為了使題中的條件在恒成立，應(yīng)能想到構(gòu)造出一個新的

函數(shù)，則可把原題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造新的函數(shù)在

區(qū)間時恒大于等于的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分

類討論，即可使問題得到圓滿解決.

【解析】令/?(*)?/(*卜士?"一出+2-t,

則對“[Ty)恒成立,而>(*)是開口向上的拋物緣

當(dāng)圖象與X軸無交點(diǎn)滿足A<0赭JA-底-斗-同<0.

解得-2<±<1.

當(dāng)圖蒙與X軸有交點(diǎn).且在“HE時尸⑶少

則由二炮數(shù)根與系數(shù)的分布知識及圖象可得：

AN0

戶（-1戶0

解得-34上4-2.

故由①?iqtsc

()=——===€=0

<

=5=e

A-<

【點(diǎn)評】如果題中所涉及的函數(shù)對應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時，

往往可通過圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等

,選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下式從而求得參數(shù)

范圍.解決此類問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象

位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)

合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)常見的.

有兩類函數(shù)：若二次函數(shù)大于0恒成立，則有，同理，若二次

函數(shù)小于0恒成立，則有.若是二次函數(shù)在指定區(qū)

間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布

知識求解.

【牛刀小試】【XX河北省武邑上學(xué)期第三次調(diào)研考試】已知

定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時，，若不等式對任意

實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

.A.B

D.C.

【答案】A

33(XR)f(X)Xfxf(X)

xf(x),【解析】當(dāng)時在上是增函數(shù)

對任意實(shí)數(shù)恒成立對任意實(shí)數(shù)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得

mOm,故選A.

28ml60

（五）存在性之常用模型及方法

laX2aInxxf］設(shè)函數(shù)5【例

()=+-----

,（-）[（-）-]

()=+'

(-V-

J-)[(-)-]

(())

(())==卜

-)

(-V--)U(y

bx.,?且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為

2

（1）求的值;

（2）若存在，使得，求的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)條件曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，可以將其

轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的方程，進(jìn)而求得的值：，；（2）

根據(jù)題意分析可得若存在，使得不等式成立，只需即可，因此

可通過探求的單調(diào)性進(jìn)而求得的最小值進(jìn)而得，

xllaxafXXIa到關(guān)于的不等式即可，而由

（1）可知fxalnxx則,，因此需2

x2

21,211,.,從而可以解得的取值范圍是對的取值范圍進(jìn)行分類討

論并判斷的單調(diào)性

，【解析】（1），由曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，得

XaxlaInx,2fx,分（2）由（1）可得4即,；

2

2x1aaxalaxaxlfxax11,xxx

令，得,，而，①當(dāng)時，，

1aa1為增函數(shù)在上,,,,1fxfImin22

令,即,解得.

②當(dāng)時，，

極小值

2fXaaaaa

alllf,min

1a21aa1a11a

不合題意，無解，10分

③當(dāng)時，顯然有，，.?.不等式恒成立符合題意，，

21,211,.綜上，的取值范圍是

【點(diǎn)評】解決函數(shù)中存在性問題常見方法有兩種：一是直接法同

上面所講恒成立；二是間接法，先求其否定

(恒成立)，再求其否定補(bǔ)集即可解決.它的邏輯背景：原命

題為的否定為；原命題為的否定為“?處理的原

則就是：不熟系問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.

【牛刀小試】已知,，

(1)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍

【解析】/(x),g(x)在似2]上都是塔函軌所以的值域/=[0用,式”)的值域?yàn)?["43-4

(1)若存在％E[02],使得/(^)>以巧),則/00B.>式《)a司4》一。.所以。>-4

(2席存在小電使得/QWgG),則小[3工0二?一。,且由3-。之0,???實(shí)數(shù)。的取值國是[~4.103]

川-)*

=——=(-)+2

五、遷移運(yùn)用

1.[XX屆江西省上高縣高三上學(xué)期第四次月考】若不等式對任

意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()

A.[B.C.D.

A【答案】

22X<0對任意恒成立，(x)=-logf(X)=3xx?g,不等式【解

析】構(gòu)造函數(shù)-10g3xaa

/.f()Wg(A3?-WO.0<a<1且a2.,.實(shí)數(shù)a的

取值范圍為[,故選A

3x31al2x

lnln3x1,12月聯(lián)考】若不等式對任意的恒成立屆廣西

貴港市高三上學(xué)期2.1xx3

則的取值范圍是()

A.B.C.D.

D【答案】

x2xx3al133in

,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有：，整理【解析】由題意結(jié)合對數(shù)的運(yùn)

算法則有：In

33

X2xxl32y31當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，其中.即時，

函數(shù)取得最小可得：，由恒成立的條件有：，

x33

值.

綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).

3.【xx屆福建省閩侯高三12月月考】已知函數(shù)，若關(guān)于

的不等式恰有個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值是()

A.B.C.D.

D【答案】

【解析】函數(shù)〃x)的圖象如圖所示.關(guān)于x的不等式[r(切+/X)<0.

當(dāng)。>。時.-a</(x)<0,由于關(guān)于x的不等式[/2壯)]+叭工)<0恰有1個整數(shù)解.

因此其整數(shù)解為3.又/(3)=-9+6=-3,所以-。<-3<。,一。N/(4)=-8,

則8N。>3，所以實(shí)數(shù)a的最大值為8.故選D.

()一()=(-)

4.[xx屆甘肅省高臺高三上學(xué)期第五次模擬】已知函數(shù)，若對

任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

【答案】B

1

xxR,hX；在同一坐標(biāo)恒成立；設(shè)【解析】函數(shù)對任意，恒

成立，，恒成立，即e

Ca1xgx,x

,如圖所示；系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖象

hxgx,()則滿足不等式恒成立的是(,)圖象下方的圖象在

求的導(dǎo)數(shù)

,且該切線方程過原點(diǎn)且過圖象上點(diǎn)的切線方程為(0,0),

則，即，解得；???切線斜率為，，應(yīng)滿足ea,-1>-

aeaaaeB.(1->1-；又故選-1?1,.?.實(shí)數(shù)

的取值范圍是即

fxInxa2x2a4(a0)月聯(lián)考】已知函數(shù).[5xxl2屆廣東

省五校高三若有且只有兩個整，

數(shù)，使得，且，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

【答案】C

?(一)-+>(>)

()=--()=-

(盧()4-

［解析］利用彳除去當(dāng)a=0時.〃x)=；Xs./(x)=/N0曲數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

|/(xi)-/(x2)|5/(l)-/(0)=Asl;有足題意.除CD選項(xiàng)3°=竽時，/(x)=；?_g

/'(x)=X2-g<0嬲在定義域上單調(diào)遞底,在)-7(^)1</(0)-=

滿足題意由滁B運(yùn)頁，

故選A

6+->

【解析】

Inxa2x2a40,aOax2a2xInx4a0,由題意可知，，

設(shè)，即

gx2xInx4,hxax2a在上為減函數(shù)，在上為增函

數(shù)，,，的圖象恒過點(diǎn)由，，在同一坐標(biāo)可知

，使得，且，則系中作出的圖象如下:若有且只有兩個整數(shù)aOOa

,解得，故選C.

{2ag1{hl即,

a21n33gh3

6.[xx屆陜西省西安高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)，若對于任意

的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.

D.

C.

【答案】A

f(msin)f(lm)0不等式若當(dāng)時,7【xx寧夏育才中學(xué)上

學(xué)期第二次月考】設(shè)函數(shù)，則實(shí)恒成立，

數(shù)的取值范圍是()

C.D.A.B.

【答案】D

23xf(x)Olf(x)又在上是增函數(shù),，【解析】易得是奇函數(shù)

11Ilf(msin)mf(ml)msinmm1,0sinD.,故選

sin11sin

8.[xx河北省武邑中學(xué)2高三上學(xué)期第三次調(diào)研】若對，不等

式，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是()

.A..BDC.

【答案】D

eeexx2x2e4ax2e2e22222【解析】設(shè),恒成立x

y2xy2xy2y2?X2x2x21)(xl)exe(ellx

2x222xxh(x)(xl)eg(x)lxh'(x)g'(x),再設(shè)

x2,h'(x)0h(2)0h(x)，令當(dāng)當(dāng)

僅有一解，且，故選D.

2b)(xlnx

(bR)f(x)則實(shí)數(shù)若存在使得,,，山西省孝義市高三

上學(xué)期二輪模考】已知函數(shù)9.[xxX

的取值范圍是()

.A..DBC.

【答案】C

22b)b)f(x)(xll2x(xb)lnx(x2x(xb)lnx【解析】

由題意，得=.若存在，，則=一

2XX

使得，則，所以.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞

減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，

.故選C所以，

10.[XX屆江蘇南通市高三第二次階段測試】若不等式在實(shí)數(shù)

集R上恒成立，則正整數(shù)的最大值是.

][參考數(shù)據(jù)：

【答案】

【解析】

不等式在實(shí)數(shù)集R上恒成立，等價于的圖象恒在

,設(shè)與的圖象相切時切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，切線方程為，將點(diǎn)上方，

與的圖象相切時斜率最大代入切線方程可

xx1150gx2e

)二(->

X一

()=+-+()=)=--+-+=-+.

()=-+

()=+

<-4<4

，在上遞增，，，，的圖象恒在上方，所以，,所以正整數(shù)的最

大值得oOO

是，故答案為.

11.[XX屆河南省潦河高三上學(xué)期第四次模擬】已知（，為常數(shù)）

和是定義在上的函數(shù)，對于任意的，存在使

得，，且，則在上的最大值為.

【答案】5

1XX12gllxl【解析】??，(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，等號成

立),

x44x

XX11b,fxf221Ibcg2bbe22

x22x22

A,Vf(x)在x=2處有最小值，,，即b=8,故c=-5,

X31Xf85,f'x8x故,故f(x)在［1,2］上是減函數(shù)，在［2,4］

上是增函數(shù),2

2XX2

71f而5558241f(x)故，5?的最大值為，f8

22

fxaxxxfxAByfxAB,,(,設(shè)函數(shù)(的圖象上存在不同的

兩點(diǎn))=在點(diǎn)+sin使得曲線+cos).若函數(shù)=()12.

a的取值范圍為則實(shí)數(shù)，.處的切線互相垂直

【答案】

f(x)acosxsinxa2cos(x),【解析】因?yàn)?/p>

4

2cos(x2cos(xl(a))(a)).成立則存在實(shí)數(shù)，使得21

44不妨設(shè)k2],則k2cos(x2cos(x)[a)

(0,aaa2,0).i221

44

222,a(k)2a,12a因此0kl,1a1.21

13.[xx山西省孝義市高三上學(xué)期二輪?？肌吭O(shè)函數(shù),，其中，

為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)時一

,(3)確定的所有可能取值使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.

2(X0)12ax.f'(x)2axl得【解析】(1)由，

XX

當(dāng)時，在成立，則為上的減函數(shù)；

當(dāng)時，由，得,

...當(dāng)時，，當(dāng)時，.

則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

綜上，當(dāng)時，為上的減函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增

函數(shù).

(2)證明：要證，即，即證，也就是證.

令,則，..?在上單調(diào)遞增,則，

;???當(dāng)時，即當(dāng)時，，

2axe(3)由，得0laInx.i

____+—>

=__—+->

=--+----=+------2

X

ezaxOt(x)lainx.設(shè),,由題意知在內(nèi)恒成立ix

x

eieOt'Cx)xl2ax2axll.在內(nèi)恒成立，有v,ix

x22XXX

ee2a2a'（x）21x2則，令“xix

323XXX

當(dāng)時”

函數(shù)在上單調(diào)遞增，,???..令

又,,,,

綜上所述，,，在區(qū)間單調(diào)遞增，

即在區(qū)間單調(diào)遞增，.???

14.【xx四川省資陽市高三上學(xué)期第一次診斷】已知函數(shù)（其

中）.

,求的取值范圍；I）當(dāng)時，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)（

（II）當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，不等式恒成立，如

果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其

中是自然對數(shù)的底數(shù)，=2.71828?）.

2ax4x4a44）a（1（x）f22

,，【解析】（I）由題xxx.

①當(dāng)時，知，則是單調(diào)遞減函數(shù)；

②當(dāng)時，只有對于，不等式恒成立，才能使為單調(diào)函數(shù)，只

需,解之得，此時.

2xbxbbb，其中（的取值范圍是.II）,綜上所述，

門（x）.22XXX

(i)當(dāng)時”于是在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù)，

l)bef(e)bef(x)知0恒成立，不合題意，舍

去.(ii)當(dāng)時，由得.列表得(lbmax

ee

(0,)(,)

—1-0

極大值/、

①若，即，則在上單調(diào)遞減，

2e2elbll

【解析】(1)/3=萩-亞=雙斯-。)

當(dāng)。40時,e*-。>0,二工6(r,0)時,/<幻<0,/@)單調(diào)遞；咸

xe(0.+ao)Bt/f<x)>0J(x)單倜遞增

當(dāng)0<aV1時，令/\x)=。得x=0°5x=Ina.

(i)當(dāng)Ova<1時,Ina<0,故：

Xes,ln。)吐了'(x>>0,“幻單調(diào)遞解

xe(ln?.O)Bt/f(x)<0,/@)單調(diào)遞減，

xe<0,-+w)Bt/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

f(x)知(iWe,而(10,(lf(e)e))bebe)bmax

eleeeeel

于是恒成立，不合題意，舍去.②若，即,

，上為減函數(shù)則在(,)上為增函數(shù)，在(,)

則必有，要使在恒有恒成立

24ee,,b

beOb2332232eee由于所以則10(2ee3el)ee

Ie,則，所以.4b,e20e2b22

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15.[xx湖北省襄陽市四校高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知函數(shù)當(dāng)

時，求的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時，的圖象恒在的圖象上方，求的取值范圍.

()(l),,(ii)當(dāng)時xxaxxexfxe恒成立，