導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)班12、參數(shù)求解之參變分離

本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載第十二講參數(shù)求解之參變分離知識(shí)與方法含參不等式問題是導(dǎo)數(shù)最常見的題型之一，解答題中常用的方法有三種：參變分離、帶參討論、先必要后充分.在處理這類問題時(shí)，我們需要根據(jù)實(shí)際的情況，選擇一個(gè)合適的方法來求解.這一小節(jié)我們主要針對(duì)用參變分離求解的題型，其基本的解題步驟是：（1）將含參不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成或的形式；（2）求函數(shù)的最小值或最大值，得出a的取值范圍.注意：能用參變分離這一方法來求解的含參不等式問題，一般參變分離后的函數(shù)不復(fù)雜，易于研究.典型例題【例1】已知函數(shù)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意，對(duì)任意的成立，所以，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍為.【例2】若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】解法1：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.解法2：，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，且當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.【例3】已知函數(shù)，.（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而.（2）解法1：因?yàn)?，所以即為，也即，令，則，令，則，，所以，，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以在R上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，從而，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得：，故?shí)數(shù)m的取值范圍是.解法2：因?yàn)?，所以即為，兩邊取?duì)數(shù)得：，從而，設(shè)，則，易證為偶函數(shù)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以恒成立，故在上恒成立，從而在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得：，故?shí)數(shù)m的取值范圍是.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知函數(shù)，（1）若是單調(diào)函數(shù)，求a的最大值；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，所以恒成立或恒成立，顯然不可能恒成立，所以，從而，故，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以，故a的最大值為.（2）由題意，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，從而，所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋裕蔭的取值范圍是.2.（2010·全國(guó)Ⅰ卷·節(jié)選）已知函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意，，所以，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.3.（2015·重慶）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上為減函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，從而，，故，，所求切線為，化簡(jiǎn)得：.（2）若在上為減函數(shù)，則，且對(duì)任意的恒成立，所以，故，令，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故?shí)數(shù)的取值范圍是.4.（2011·浙江）設(shè)函數(shù)，.（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立，注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【解析】（1）由題意，，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足是的極值點(diǎn)，符合題意.（2）即為，顯然當(dāng)時(shí)，該不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)楹愠闪?，所以，令，則，令得：，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)楹愠闪?，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.5.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.【解析】（1）由題意，，令，則，，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以恒成立，從而在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意，，令，則，且，設(shè)，則，由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而當(dāng)時(shí)，，故，于是在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，而，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，故a的最大值為.本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)90%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！高一資料群內(nèi)容：1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高二資料群內(nèi)容：1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高三資料群內(nèi)容：1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）3、高三三輪押題（純word解析版）4、高考