普通高等學(xué)校2023年招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬演練【含答案】

全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬演練一、單選題1．已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（）A．9 B．4 C．27 D．82．已知，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．3．若整數(shù)N被p整除后余數(shù)為q，則表示為，則“或”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，則在上的投影向量為（）A． B．C． D．5．我國古人智慧體現(xiàn)在建筑學(xué)上的成就頗多，著名的太和殿的一角中所體現(xiàn)了中國古人智慧中的“七踩斗拱”技術(shù)，內(nèi)分為“頭”和“拱”．具體介紹為“七踩斗拱有頭翹一件，頭昂后帶翹頭一件，昂后帶六分頭一件．螞蚱頭后帶菊花頭一件，撐頭木后帶麻葉頭一件；正心瓜拱、正心萬拱各一件，外拽單材瓜拱、單材萬拱各兩件，廂供一件．”若從“翹頭、六分頭、菊花頭、麻葉頭”中選擇1個(gè)，從“單材瓜拱、單材萬拱、正心瓜拱、正心萬拱、廂供一件”中選擇2個(gè)，則“單材瓜拱”與“麻葉頭”同時(shí)被選上的概率為（）A． B． C． D．6．若()在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．若，則（）A． B． C． D．8．已知，，，試比較a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、多選題9．有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（）A．若，，則B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則C．若且與方向相同，則D．恒成立10．已知，恒成立，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．C．恒成立 D．的最大值為11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)列P在圓上，若對(duì)于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（）A．為公差為2的等差數(shù)列B．為公比為2的等比數(shù)列C．D．前n項(xiàng)和12．已知，為導(dǎo)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（）A．為偶函數(shù)B．當(dāng)且時(shí)，恒成立C．的值域?yàn)镈．與曲線無交點(diǎn)三、填空題13．在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率）．14．若對(duì)于，，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x的范圍為．15．已知，過點(diǎn)傾斜角為的直線交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），過點(diǎn)作軸，垂足為，現(xiàn)將所在平面以軸為翻折軸向紙面外翻折，使得，則幾何體外接球的表面積為．16．已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線l斜率范圍為，過向l作垂線，垂足為P，Q為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓右焦點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題17．人類探索浩瀚太空的步伐從未停止，假設(shè)在未來，人類擁有了兩個(gè)大型空間站，命名為“領(lǐng)航者號(hào)”和“非凡者號(hào)”．其中“領(lǐng)航者號(hào)”空間站上配有2搜“M2運(yùn)輸船”和1搜“T1轉(zhuǎn)移塔”，“非凡者號(hào)”空間站上配有3搜“T1轉(zhuǎn)移塔”．現(xiàn)在進(jìn)行兩艘飛行器間的“交會(huì)對(duì)接”．假設(shè)“交會(huì)對(duì)接”在M年中重復(fù)了n次，現(xiàn)在一名航天員乘坐火箭登上這兩個(gè)空間站中的一個(gè)檢查“領(lǐng)航者號(hào)”剩余飛行器情況，記“領(lǐng)航者號(hào)”剩余2搜“M2運(yùn)輸船”的概率為，剩余1搜“M2運(yùn)輸船”的概率為．其中宇航員的性別與選擇所登錄空間站的情況如下表所示．

男性宇航員女性宇航員“領(lǐng)航者號(hào)”空間站380220“非凡者號(hào)”空間站1202800.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828，（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián)；（2）若k為函數(shù)極小值的倍，求與的遞推關(guān)系式．18．對(duì)于數(shù)列，，的前n項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于此類“等差×等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是她的思考過程：①為什么可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系，即第n項(xiàng)的后一部分與第n＋1項(xiàng)的前一部分和為零②不妨將，也轉(zhuǎn)化成第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得，通過化簡(jiǎn)左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可確定系數(shù)③將數(shù)列，表示成形式，然后運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”即可！聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識(shí)，但也同時(shí)強(qiáng)調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯(cuò)位相減法”掌握．（1）（鞏固基礎(chǔ)）請(qǐng)你幫助小周同學(xué)，用“錯(cuò)位相減法”求的前n項(xiàng)和；（2）（創(chuàng)新意識(shí)）請(qǐng)你參考小周同學(xué)的思考過程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”求的前n項(xiàng)和．19．已知底面為正方形的四棱柱，，E，F(xiàn)，H分別為，，的中點(diǎn)，三角形的面積為4，P為直線FH上一動(dòng)點(diǎn)且（1）求證：當(dāng)時(shí)，BP⊥AC；（2）是否存在，使得線段BP與平面夾角余弦值為．20．已知在三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的三邊，若（1）求∠C的大小；（2）求的值．21．已知在△ABC中，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且a＝4，若．（1）求A點(diǎn)的軌跡方程C；（2）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，若過點(diǎn)的兩條直線與C分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，，兩直線斜率分別為，且，連接M，N交x軸于點(diǎn)Q，△OMQ，△OMN面積分別為，，求的最大值．22．已知函數(shù)，（1）若a＝1，b＝2，試分析和的單調(diào)性與極值；（2）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，、的零點(diǎn)分別為，；，，從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)證明．（若全選則按照第一個(gè)給分）求證：①；②.

1．C2．C3．C4．A5．C6．A7．D8．B9．A,B,C10．A,C,D11．C,D12．A,D13．14．15．16．17．（1）解：∴有99.9%的把握認(rèn)為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián)；（2）解：，函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，由得，由得，由得或，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且，為函數(shù)極小值的倍，，，，，，當(dāng)時(shí)，①，②2×①＋②，得，從而．18．（1）解：因?yàn)樗寓賱t②所以①-②得：所以；（2）解：因?yàn)椋O(shè)，比較系數(shù)得：，得，所以，所以19．（1）證明：連接，因?yàn)椋?，所以，即，又，，平面，故平面，?dāng)時(shí)，，則為中點(diǎn)，P在上，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴；（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，設(shè)，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，∴，若線段BP與平面夾角余弦值為，則，∴，∴，∵，∴方程無解，∴不存在，使得線段BP與平面夾角余弦值為．20．（1）解：因?yàn)?，所以，則，又，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，所以；（2）解：由（1）可得，所以.21．（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意可得，，則，，又，則，即，所以，化簡(jiǎn)得，A點(diǎn)的軌跡為橢圓，其方程為．（2）解：由，則，同號(hào)，不妨令，則，設(shè)，則，由直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，得，，同理得，，由直線的方程為，令，則，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．22．（1）解：由已知，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，令，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，其中，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，函數(shù)沒有極大值點(diǎn)；由已知，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，，所以存在，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，函數(shù)沒有極大值點(diǎn)，（2）證明：①由(1)可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且，又，所以函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，，所以存在，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，令，則，所以，所以，所以為函數(shù)的零點(diǎn)，又，所以，同理