行列式的展開定理與克拉默法則

行列式的展開定理與克拉默法則第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二§3行列式展開定理、克拉默法則一、余子式、代數余子式二、行列式按一行（列）展開法則§3、4行列式展開定理、克拉默法則三、克拉默法則第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二引例可見，三階行列式可通過二階行列式來表示．第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二一、余子式、代數余子式定義在

n

階行列式中將元素

所在的第

i

行與第

j

列劃去，剩下個元素按原位置次序構成一個階的行列式，稱之為元素的余子式,記作．第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二令稱之為元素的代數余子式．注：①

行列式中每一個元素分別對應著一個余子式和代數余子式．無關，只與該元素的在行列式中的位置有關．②

元素的余子式和代數余子式與的大小第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例如第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二元素除外都為

0，則1.引理二、行列式按行(列)展開法則若n

階行列式

D=的中第

i

行所有第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二證：先證的情形，即由行列式的定義，有第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二結論成立.一般情形：第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二結論成立.第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二2.定理行列式

D等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即或行列式按行（列）展開法則第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二證：第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例1.計算行列式解：第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例2.計算n階行列式

解：第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例3.證明范德蒙行列式

（熟記）P18第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二范德蒙行列式

中至少兩個相等．注：范德蒙行列式另一形式：第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二3.推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二證第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二相同∴當時,同理可證,第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二綜合定理及推論，有關于代數余子式的重要性質：第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例4.設求

解：和第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二例5.計算2n階行列式其中未標明的元素都是0.第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二解：將Dn按第一行展開得

第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二

上式第一個行列式按最后一行展開，第二個行列式按第一列展開，可得到以此作遞推公式，即得第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二自然科學與工程技術中，我們會碰到未知數的個數很多的線性方程組——如n元一次線性方程組它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結論.三、克拉默法則（Cramer，瑞士，1704~1752）2）n階行列式的性質與計算？1）怎樣定義n階行列式？有解的情況下，如何表示此解？3）方程組(＊)在什么情況下有解？第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二定理如果線性方程組（1）的系數行列式

則方程組(１)有唯一解:（2）Cramer法則第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二其中是把行列式中第列所得的一個n級行列式，即的元素用方程組（1）的常數項代換

第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期二注解1：克拉默(Cramer)法則中包含著兩個前提和三個結論：前提：（1）線性方程組（1）中方程的個數等于未知量的個數；（2）線性方程組（1）的系數矩陣的行列式不等于零.結論：（1）線性方程組（1）有解；（2）線性方程組（1）的解是唯一的；（3）線性方程組（1）的解由公式（2）給出