計算機中的數(shù)學問題

計算機中的數(shù)學問題1第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二計算機中的數(shù)制了解特點；表示方法；相互間的轉(zhuǎn)換。2第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二一、常用記數(shù)制

十進制——符合人們的習慣二進制——便于物理實現(xiàn)十六進制——便于識別、書寫八進制3第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二1.十進制特點：以十為底，逢十進一；

共有0-9十個數(shù)字符號。表示：4第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.二進制特點：以2為底，逢2進位；只有0和1兩個符號。表示：5第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.十六進制特點：以16為底，逢16進位； 有0--9及A--F共16個數(shù)字符號。表示：6第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二進位計數(shù)制的一般表示一般地，對任意一個K進制數(shù)S都可表示為其中：Si

--

S的第i位數(shù)碼，可以是K個符號中任何一個；n,m–

整數(shù)和小數(shù)的位數(shù)；K

--

基數(shù)；Ki

--K進制數(shù)的權(quán)7第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二如何區(qū)分不同進位記數(shù)制的數(shù)字在數(shù)字后面加一個字母進行區(qū)分：二進制：數(shù)字后面加B,如1001B八進制：數(shù)字后面加O,如1001O十進制：一般不加,如1001十六進制：數(shù)字后面加H,如1001H在明顯可以區(qū)分其記數(shù)制的情況下，可以省略數(shù)字后面的字母8第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二二、各種數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.非十進制數(shù)到十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換

按相應進位計數(shù)制的權(quán)表達式展開，再按十進制求和。

例：10110010B

=(?)10

13FAH

=(?)109第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.十進制到非十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換十進制→二進制的轉(zhuǎn)換： 整數(shù)部分：除2取余；小數(shù)部分：乘2取整。十進制→十六進制的轉(zhuǎn)換：整數(shù)部分：除16取余；小數(shù)部分：乘16取整。以小數(shù)點為起點求得整數(shù)和小數(shù)的各個位。10第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二例：將十進制數(shù)25.75轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)最終結(jié)果：

2521221余數(shù)06203211210低位(靠右)停止條件:商為0轉(zhuǎn)換結(jié)果:（25）10=(11001)2高位(靠左)11第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.二進制與十六進制間的轉(zhuǎn)換用4位二進制數(shù)表示1位十六進制數(shù)

例：10110001001.110=(?)H

0101

1000

1001.1100

589.C

注意：位數(shù)不夠時要補012第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二無符號二進制數(shù)的運算無符號數(shù)算術運算

有符號數(shù)邏輯運算13第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二一、無符號數(shù)的運算算術運算

包括：加法運算減法運算乘法運算除法運算14第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二1.規(guī)則加法：1+1=0（有進位）,…減法：0-1=1（有借位）,…乘除法：…一個數(shù)乘以2相當于該數(shù)左移一位；除以2則相當于該數(shù)右移1位。

15第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：00001011×0100=00101100B

00001011÷0100=00000010B…11B

即：商=00000010B

余數(shù)=00000011B16第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.無符號數(shù)的表示范圍一個n位的無符號二進制數(shù)X，其表示范圍為

0≤

X≤2n-1若運算結(jié)果超出這個范圍，則產(chǎn)生溢出。（或者說運算結(jié)果超出n位，則產(chǎn)生溢出）判別方法：運算時，當最高位向更高位有進位（或借位）時則產(chǎn)生溢出。17第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：

11111111

+00000001

100000000結(jié)果超出８位（最高位有進位），發(fā)生溢出。（結(jié)果為256，超出８位二進制數(shù)所能表示的范圍255）18第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.邏輯運算與(∧)、或(∨)、非(▔)、異或(⊕)特點：按位運算，無進借位運算規(guī)則

…..例：A=10110110,B=01101011求：A∧B,A∨B,A⊕B

19第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二4.邏輯門邏輯門：完成邏輯運算的電路掌握：與、或、非門邏輯符號和邏輯關系（真值表）；與非門、或非門的應用。20第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二與門（ANDGate）Y=A∧BABY000010100111&ABY注：基本門電路僅完成1位二進制數(shù)的運算21第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二或門（ORGate）Y=A∨BABY000011101111YAB≥122第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二非門（NOTGate）1AYY=AAY011023第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二異或門（eXclusiveORGate）Y=A⊕BYAB⊕ABY00001110111024第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二5.譯碼器74LS138譯碼器：G1G2AG2BCBAY0Y7????譯碼輸出譯碼輸入譯碼使能25第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二74LS138真值表

使能端輸入端輸出端G1#G2A#G2B

CBA

#Y0#Y1#Y2#Y3#Y4#Y5#Y6#Y7

01

10

11

0

100100100100100100100100

000

001010011100101110111

11111111

11111111

11111111

11111111

01

111111

1

01

111111

1

01

1111

1

1

101

1111

1

1

1

01

11

1

1

1

1

1

01111111

10

111111

1

10

第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二帶符號二進制數(shù)的運算計算機中的帶符號二進制數(shù)把二進制數(shù)的最高位定義為符號位符號位為0

表示正數(shù)，符號位為1

表示負數(shù)連同符號位一起數(shù)值化了的數(shù)，稱為機器數(shù)。機器數(shù)所表示的真實的數(shù)值，稱為真值。（在以下講述中，均以８位二進制數(shù)為例）27第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：

+52=+0110100=0

0110100

符號位

數(shù)值位

-52=-0110100=1

0110100

真值機器數(shù)28第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二1.符號數(shù)的表示對于符號數(shù)，機器數(shù)常用的表示方法有原碼、反碼和補碼三種。數(shù)X的原碼記作[X]原，反碼記作[X]反，補碼記作[X]補。

注意：對正數(shù)，三種表示法均相同。它們的差別在于對負數(shù)的表示。29第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二原碼[X]原定義 符號位：0表示正，1表示負；數(shù)值位：真值的絕對值。30第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二原碼的例子真值X=+18=+0010010X=-18=-0010010原碼[X]原=00010010[X]原=10010010符號符號位n位原碼表示數(shù)值的范圍是對應的原碼是1111～0111。31第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二數(shù)0的原碼8位數(shù)0的原碼：+0=00000000-0=10000000即：數(shù)0的原碼不唯一。32第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二反碼[X]反定義

若X>0，則[X]反=[X]原

若X<0，則[X]反=對應原碼的符號位不變，數(shù)值部分按位求反33第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：X=-52=-0110100[X]原=10110100[X]反=1100101134第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二反碼的例子真值X=+18=+0010010X=-18=-0010010反碼[X]反=00010010[X]反=11101101符號符號位n位反碼表示數(shù)值的范圍是對應的反碼是1000～0111。35第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二0的反碼：[+0]反=00000000[-0]反=11111111即：數(shù)0的反碼也不是唯一的。36第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二補碼定義：若X>0，則[X]補=[X]反=[X]原若X<0，則[X]補=[X]反+137第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：X=–52=–0110100[X]原=10110100[X]反=11001011[X]補=[X]反+1=11001100n位補碼表示數(shù)值的范圍是對應的補碼是1000～0111。38第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二0的補碼：[+0]補=[+0]原=00000000[-0]補=[-0]反+1=11111111+1=100000000

對8位字長，進位被舍掉∴[+0]補=[-0]補=0000000039第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二特殊數(shù)10000000該數(shù)在原碼中定義為：-0在反碼中定義為：-127在補碼中定義為：-128對無符號數(shù)：(10000000)２=12840第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二8位有符號數(shù)的表示范圍：對8位二進制數(shù)：原碼：-127~+127反碼：-127~+127補碼：-128~+127想一想：16位有符號數(shù)的表示范圍是多少？41第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二2.有符號二進制數(shù)與十進制的轉(zhuǎn)換對用補碼表示的二進制數(shù)：

1）求出真值2）進行轉(zhuǎn)換42第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：將一個用補碼表示的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

1)

[X]補=00101110B真值為：+0101110B

正數(shù)

所以：X=+462)[X]補=11010010B

負數(shù)

X=[[X]補]補=[11010010]補=-

0101110B所以：X=

-

4643第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二3.補碼加減法的運算規(guī)則通過引進補碼，可將減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算。規(guī)則如下：[X+Y]補=[X]補+[Y]補[X-Y]補=[X]補-[Y]補其中X，Y為正負數(shù)均可，符號位參與運算。44第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二*補碼的運算原理

模(module)就是一個計數(shù)系統(tǒng)的最大容量。例如，鐘表的模為12，8位二進制數(shù)的模為28。

凡是用器件進行的運算都是有模運算，運算結(jié)果超過模的部分會被運算器自動丟棄。因此，當器件為n位時，有

X=2n+X(mod2n)不難驗證，

[X]補=2n+X(mod2n)因此，

[XY]補=2n+(XY)(mod2n)

=(2n+X)+(2nY)(mod2n) =[X]補+[Y]補45第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：X=-0110100，Y=+1110100，求[X+Y]補[X]原=10110100[X]補=[X]反+1=11001100[Y]補=[Y]原=01110100所以：[X+Y]補=[X]補+[Y]補=11001100+01110100=0100000046第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二4.符號數(shù)運算中的溢出問題進(借)位——在加法過程中，符號位向更高位產(chǎn)生進位；在減法過程中，符號位向更高位產(chǎn)生借位。溢出——運算結(jié)果超出運算器所能表示的范圍。47第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二溢出的判斷方法方法１：同號相減或異號相加——不會溢出。同號相加或異號相減——可能溢出：兩種情況： 同號相加時，結(jié)果符號與加數(shù)符號相反——溢出；異號相減時，結(jié)果符號與減數(shù)符號相同——溢出。方法２：兩個8位帶符號二進制數(shù)相加或相減時，若

C7C6＝1，則結(jié)果產(chǎn)生溢出。C7為最高位的進(借)位；C６為次高位的進(借)位。48第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二[例]：有符號數(shù)運算，有溢出表示結(jié)果是錯誤的無符號數(shù)運算，有進位表示結(jié)果是錯誤的

10110101

+10001111

101000100

01000010

+0110001110100101

01000010

+11001101

100001111CASE1:CASE2:CASE3:49第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期二§1.5二進制編碼一、十進制數(shù)的表示——BCD碼用4位二進制數(shù)表示一位十進制數(shù)。有兩種表示法：壓縮BCD碼和非壓縮BCD碼。壓縮BCD碼的每一位用4位二進制表示，0000~1001