遞推法證明不等式

——遞推法證明數(shù)列不等式眾所周知，證明不等式的方法多種多樣，技巧層出不窮，今天筆者試圖給出一個較為巧妙的好方法——遞推法，此法在證明一些較為復(fù)雜的代數(shù)不等式時顯得特別有效，請看12n11212312n=aaa...a123i一1.112i-1i=aaa...a123i一1.(-ai)(1+a)(1+a)...(1+a)(1+a)12i-1i=aaa...a123i一1一aaa...aa123i一1i12i-112i-1i 1212312n=1一aaa...a123n共1nakk要分析函數(shù)f(x)=一x+1,x(0,1)的性質(zhì)，是否是單調(diào)的？其次，需要構(gòu)造一個函數(shù)x證明一：分兩步進(jìn)行fxxf=1,f(1)=1>0，于是，2226n+1n2n+1n2n2第二步：再證明原題，原不等式等價于12n12n12n12121212(*)(*)12n12n到此，還沒有用到條件(遞推式)，應(yīng)該考慮題目條件了，所以ii=1ii+1i=1i=1ii1ii1i=1i2xnaiiiiiii1i=1aaa從而原題得證.解決本題的關(guān)鍵所在.n2n+1n2于是a=f(a)之f(1)=1,即命題對n+1成立n+1n26n2 12n12n1nx2212222212一(x-x)2>0nn123n12nii+1iiiiii=1aiin所以i=1x>in iiiiii=112n12n123n123n12n評注：在此題中命題人巧妙的將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、琴生不等式、柯西不等式、對勾函數(shù)等深刻、樸素的數(shù)學(xué)思想方法和重要的數(shù)學(xué)知識“生長點(diǎn)”自然有機(jī)的融合成一個協(xié)調(diào)的整體，猶如一位音樂大鍵是：在對不等式結(jié)構(gòu)調(diào)整后，第一步的放縮中猜測使用琴生不等式，將第一步放縮做的恰到好處。要線凹凸性的直接產(chǎn)物，是許和選擇數(shù)學(xué)直覺，數(shù)學(xué)美分析:對m用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)m=1時，之2，故不等式成立。af(k)和f(k+1)的分母不一樣，怎么把它們聯(lián)系起來呢？一個自然的想法是取f(k)的倒數(shù)，然后證明(1)當(dāng)m=1時a2aaa(2)假設(shè)當(dāng)m=k時，原不等式成立，即有1+a2+a4+^+a2kk+1令則f(k)>而所以f(k+1)+1a2+12aaa即k==綜合(1)與(2)便知，原不等式成立。1覺猜測的基礎(chǔ)上證明該式大于2(因?yàn)楫?dāng)k)+w時f(k+1)充分接近f(k)，實(shí)際上，應(yīng)有f(k+1)共f(k))，進(jìn)而為順利實(shí)施歸納過渡做出了很好的鋪墊，這一切需要有敏銳的代數(shù)直覺猜測力而此式即為2015年高考陜西理科壓軸題第(n)小題的實(shí)質(zhì)部分：nIFxfx2在(,1)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)(記為x),且x=+xn+1;nn2