概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：N維正態(tài)分布

n維正態(tài)分布正太分布是最重要最常見(jiàn)的分布，如何由二維正態(tài)分布推廣到n維正態(tài)分布呢?n,維正態(tài)分布二維正態(tài)隨機(jī)變量（X,X）的概率密度為

1 2f(X1f(X1，X2)=—1—e2(1-p2)(xr-Nr^2-2p'o2

1(X1-N1)(X2T+(X2-N2)2Cov(X,C)=E{[X-E(X)][C-E(Y)]}.（X1，X2）的協(xié)方差矩陣為c11c21c11c21c12c22o21poo12poo1o22它的行列式|C|=|C|=o2o2(1-p2)2逆矩陣另記X=X1X2另記X=X1X2N1N2C-1=—C易驗(yàn)算o22-poo12-poo1o21(X-N(X-N)'C-1(X-N)=百(X1-N1o221-poo12-poo12o21x-N、1,

x-N)

2211-p211-p2—N)(X-N)JX-N)2

1□ □□ □1 2 2 2 2f(X1，X2)=(2n)221C|1產(chǎn)。2(x3Jx-n”.(X-N)2 (X—1 1 2p—1o2

1其中（X-N）,是（X-N）的轉(zhuǎn)置.于是「維正態(tài)隨機(jī)變量（X1，X2）的概率密度可用矩陣表示為類似地，n維正態(tài)隨機(jī)向量（X1，X2,…,乙）的概率密度可用矩陣表示為1 1” ”“ 、［ -—-j-exp{——(X一口)C*X一日)f(2n)n2C12I2 J其中X其中X二C是(X1，X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.VF)nn維正態(tài)隨機(jī)變量(X，X.，.:X)具有如下重要性質(zhì):12 n⑴n維正態(tài)隨機(jī)變量(X，X，…,X)的每一個(gè)分量X.(i=L2，…,n)都是正態(tài)隨12 n i機(jī)變量；反之,若X1，X2,…,Xn都是正態(tài)隨機(jī)變量,且相互獨(dú)立,則(X1，X2,…,X?是n維正態(tài)隨機(jī)變量.注：性質(zhì)中若不具有相互獨(dú)立性，則反之不一定成立.n維隨機(jī)變量(X,X，…,X)服從n維正態(tài)分布的充分必要條件是X,X,…,X12 n 12 n的任意線性組合kX+kX+???+kX均服從一維正態(tài)分布(其中k,k，…,k不全為11 22 nn 12n零).⑶若(X,X，…,X)服從n維正態(tài)分布，設(shè)Y,Y,???,Y是X(j=1,2，…,n)的線1 2 n 12kj性函數(shù)，則(Y,Y,…,Y)服從k維正態(tài)分布.12k注：這一性質(zhì)稱為正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換不變性.(4)設(shè)(X,X，…,X)服從n維正態(tài)分布，則X,X，…,X相互獨(dú)立等價(jià)于12 n 12 nX,X，…,X兩兩不相關(guān).12 n例4.50設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且D(X)=02,D(Y)=02,求a滿足什么條XY件時(shí)，W=X一aY和V=X+aY相互獨(dú)立.解因?yàn)閰n,V是二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)的線性組合，因而卬,V分別服從一維正態(tài)分布，(卬,V)服從二維正態(tài)分布.由n維正態(tài)分布的性質(zhì)知，卬,V相互獨(dú)立的充分必要條件是卬,V不相關(guān).由于Cov(W,V)=Cov[(X—aY),(X+aY)]=Cov(X,X)+aCov(X,Y)-aCov(X,Y)-a2C