2023年中考數(shù)學專題復習：折疊題(含答案)

2023年中考數(shù)學專題復習：折疊題1．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結(jié)論：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等邊三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是（） A．①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正確；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正確；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但無法求得△BEN各角的度數(shù)，∴△BEN不一定是等邊三角形；故③錯誤；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正確．故選B．點評： 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．如圖，將矩形ABCD的一個角翻折，使得點D恰好落在BC邊上的點G處，折痕為EF，若EB為∠AEG的平分線，EF和BC的延長線交于點H．下列結(jié)論中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面積相等；⑤若，則．以上命題，正確的有（） A．2個 B． 3個 C． 4個 D． 5個解答： 解：①由折疊的性質(zhì)可知∠DEF=∠GEF，∵EB為∠AEG的平分線，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正確；②可證△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故錯誤；③只可證△EDF∽△BAE，無法證明BE=EF，故錯誤；④可證△GEB，△GEH是等腰三角形，則G是BH邊的中線，∴△BEG和△HEG的面積相等，故正確；⑤過E點作EK⊥BC，垂足為K．設(shè)BK=x，AB=y，則有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合題意舍去），x2=y．則，故正確．故正確的有3個．故選B．點評： 本題考查了翻折變換，解答過程中涉及了矩形的性質(zhì)、勾股定理，屬于綜合性題目，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)角、對應(yīng)邊分別相等，然后分別判斷每個結(jié)論，難度較大，注意細心判斷．3．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為（） A．3 B． 2 C． 2 D． 2解答： 解：過點E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四邊形ABME是矩形，∴AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中點，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故選B．點評： 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．如圖，兩個正方形ABCD和AEFG共頂點A，連BE，DG，CF，AE，BG，K，M分別為DG和CF的中點，KA的延長線交BE于H，MN⊥BE于N．則下列結(jié)論：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面積相等；③BN=EN，④四邊形AKMN為平行四邊形．其中正確的是（） A．③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④解答： 解：由兩個正方形的性質(zhì)易證△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG與DE相交的角為90°，∴BG⊥DE．①正確；如圖，延長AK，使AK=KQ，連接DQ、QG，∴四邊形ADQG是平行四邊形；作CW⊥BE于點W，F(xiàn)J⊥BE于點J，∴四邊形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易證：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正確；∵MN是梯形WGFC的中位線，WB=BE=BH+HE，∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易證：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四邊形AKMN為平行四邊形，④正確．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S?ADQG，②正確．所以，①②③④都正確；故選D．點評： 當出現(xiàn)兩個正方形時，一般應(yīng)出現(xiàn)全等三角形．圖形較復雜，選項較多時，應(yīng)用排除法求解．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC=6，NC=，則四邊形MABN的面積是（） A． B． C． D． 解答： 解：連接CD，交MN于E，∵將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM?CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四邊形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故選C．點評： 此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．如圖，D是△ABC的AC邊上一點，AB=AC，BD=BC，將△BCD沿BD折疊，頂點C恰好落在AB邊的C′處，則∠A′的大小是（） A．40° B． 36° C． 32° D． 30°解答： 解：連接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折疊，頂點C恰好落在AB邊的C′處，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四邊形BCDC'的內(nèi)角和為360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故選B．點評： 本題考查了折疊的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后的對應(yīng)角相等，注意本題的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°求出每個角的度數(shù)．7．如圖，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，則△ABC與△AB′D重疊部分的面積為（） A． B． C． 3﹣ D． 解答： 解：過點D作DE⊥AB′于點E，過點C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折疊的性質(zhì)得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S陰影=AC?DE=×2×=．故選A．點評： 此題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系．8．如圖，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折，使AB與AC重合，得△AED，則BD的長度為（） A． B． C． D． 解答： 解：作CF⊥AB于點F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，設(shè)BD=x，則CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故選B．點評： 本題考查了圖形的折疊，以及三線合一定理、三角函數(shù)，正確理解折疊的性質(zhì)，找出圖形中相等的線段、相等的角是關(guān)鍵．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么△ABE的面積是（） A．1 B． C． D． 解答： 解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°∵△ADB沿直線BD翻折后，點A落在點E處，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=