（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第8課時(shí) 函數(shù)模型及應(yīng)用課時(shí)闖關(guān)（含解析）

PAGEPAGE7（江蘇專(zhuān)用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章第8課時(shí)函數(shù)模型及應(yīng)用課時(shí)闖關(guān)（含解析）[A級(jí)雙基穩(wěn)固]一、填空題1．今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用以下函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿(mǎn)足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是________．①v＝log2t；②v＝logeq\f(1,2)t；③v＝eq\f(t2－1,2)；④v＝2t－2.解析：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)t越大時(shí)，v遞增的速度越快，而v＝log2t遞增速度較慢，v＝logeq\f(1,2)t遞減，v＝2t－2勻速，只有v＝eq\f(t2－1,2)符合這一特征．答案：③2．某學(xué)校要裝備一個(gè)實(shí)驗(yàn)室，需要購(gòu)置實(shí)驗(yàn)設(shè)備假設(shè)干套，與廠(chǎng)家協(xié)商，同意按出廠(chǎng)價(jià)結(jié)算，假設(shè)超過(guò)50套就可以以每套比出廠(chǎng)價(jià)低30元給予優(yōu)惠，如果按出廠(chǎng)價(jià)購(gòu)置應(yīng)付a元，但再多買(mǎi)11套就可以按優(yōu)惠價(jià)結(jié)算恰好也付a元(價(jià)格為整數(shù))，那么a的值為_(kāi)_______．解析：設(shè)按出廠(chǎng)價(jià)y元購(gòu)置x套(x≤50)應(yīng)付a元，那么a＝xy，又a＝(y－30)(x＋11)，又x＋11＞50，即x＞39，∴39＜x≤50，∴xy＝(y－30)(x＋11)，∴eq\f(30,11)x＝y(tǒng)－30，又x、y∈N*且39＜x≤50，∴x＝44，y＝150，∴a＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口為500萬(wàn)，人均住房面積為6m2，如果該城市人口平均每年增長(zhǎng)率為1%.問(wèn)為使2023年底該城市人均住房面積增加到7m2，平均每年新增住房面積至少為_(kāi)_______萬(wàn)m2.(準(zhǔn)確到1萬(wàn)m2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底該城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3萬(wàn)人，那么eq\f(500×1＋1%10×7－500×6,10)≈87(萬(wàn)m2)．答案：874．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定本錢(qián)為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢(qián)增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，那么總利潤(rùn)L(Q)的最大值是______萬(wàn)元．答案：25005．(2023·高考山東卷改編)已知某生產(chǎn)廠(chǎng)家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，那么使該生產(chǎn)廠(chǎng)家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi)_______．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，且經(jīng)討論知x＝9是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以廠(chǎng)家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量是9萬(wàn)件．答案：9萬(wàn)件6．某公司一年購(gòu)置某種貨物400噸，每次都購(gòu)置x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，那么x＝________噸．解析：每年購(gòu)置次數(shù)為eq\f(400,x)，∴總費(fèi)用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立．故x＝20.答案：207．在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀(guān)察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1，a2，…，an共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量物理量的“最正確近似值a”是這樣一個(gè)量：與其它近似值比擬，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1，a2，…，an，推出的a＝________.解析：設(shè)近似值為x，那么f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2取最小值時(shí)的x即為a，由f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))知當(dāng)x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)時(shí)，f(x)最?。鸢福篹q\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)8．某超市為了吸引顧客，采取“滿(mǎn)一百送二十，連環(huán)送”的酬賓促銷(xiāo)方式，即顧客在店內(nèi)花錢(qián)滿(mǎn)100元(可以是現(xiàn)金，也可以是現(xiàn)金與獎(jiǎng)勵(lì)券合計(jì))就送20元獎(jiǎng)勵(lì)券，滿(mǎn)200元就送40元獎(jiǎng)勵(lì)券，滿(mǎn)300元就送60元獎(jiǎng)勵(lì)券….當(dāng)日一位顧客共花現(xiàn)金7020元，如果按照酬賓促銷(xiāo)方式，他實(shí)際最多能購(gòu)置________元的商品．解析：7000元應(yīng)給獎(jiǎng)勵(lì)券1400元，1400元應(yīng)給獎(jiǎng)勵(lì)券280元，280元加上7020元余下20元滿(mǎn)300元應(yīng)給獎(jiǎng)勵(lì)券60元．故最多能購(gòu)置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品．答案：8760二、解答題9．某公司是一家專(zhuān)做產(chǎn)品A的國(guó)內(nèi)外銷(xiāo)售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷(xiāo)售40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷(xiāo)售情況進(jìn)展了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖中①、②、③所示，其中圖①中的折線(xiàn)表示的是國(guó)外市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖②中的拋物線(xiàn)表示國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖③中的折線(xiàn)表示的是每件產(chǎn)品A的銷(xiāo)售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系(國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同)．(1)分別寫(xiě)出國(guó)外市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量f(t)、國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷(xiāo)售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)6300萬(wàn)元？解：(1)f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤30,－6t＋24030<t≤40))，g(t)＝－eq\f(3,20)t2＋6t(0≤t≤40)．(2)每件產(chǎn)品A的銷(xiāo)售利潤(rùn)h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t0≤t≤20，,6020＜t≤40.))設(shè)這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為F(t)，那么F(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t－\f(3,20)t2＋6t＋2t，0≤t≤20,60－\f(3,20)t2＋6t＋2t，20<t≤30,60－\f(3,20)t2＋6t－6t＋240，30<t≤40))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t－\f(3,20)t2＋8t，0≤t≤20,60－\f(3,20)t2＋8t，20＜t≤30,60－\f(3,20)t2＋240.30<t≤40)).當(dāng)0≤t≤20時(shí)，F(xiàn)′(t)＝－eq\f(27,20)t2＋48t＝t(48－eq\f(27,20)t)≥0，故F(t)在[0,20]上單調(diào)遞增，此時(shí)F(t)的最大值是F(20)＝6000＜6300；當(dāng)20＜t≤30時(shí)，令60(－eq\f(3,20)t2＋8t)＞6300，解得eq\f(70,3)＜t＜30；當(dāng)30<t≤40時(shí)，F(xiàn)(t)＝60(－eq\f(3,20)t2＋240)＜60(－eq\f(3,20)×302＋240)＝6300.故第一批產(chǎn)品A上市后第24天到第30天前，這家公司的日銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)6300萬(wàn)元．10．某隧道長(zhǎng)2150m，通過(guò)隧道的車(chē)速不能超過(guò)20m/s.一列有55輛車(chē)身長(zhǎng)都為10m的同一車(chē)型的車(chē)隊(duì)(這種型號(hào)的車(chē)能行駛的最高速為40m/s)，勻速通過(guò)該隧道，設(shè)車(chē)隊(duì)的速度為xm/s，根據(jù)平安和車(chē)流的需要，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持20m的距離；當(dāng)10＜x≤20時(shí)，相鄰兩車(chē)之間保持(eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,3)x)m的距離．自第1輛車(chē)車(chē)頭進(jìn)入隧道至第55輛車(chē)尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間為y(s)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車(chē)隊(duì)的速度．(eq\r(3)≈1.73)解：(1)當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y＝eq\f(2150＋10×55＋20×55－1,x)＝eq\f(3780,x)，當(dāng)10＜x≤20時(shí)，y＝eq\f(2150＋10×55＋\f(1,6)x2＋\f(1,3)x×55－1,x)＝eq\f(2700,x)＋9x＋18，所以，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3780,x)0＜x≤10,\f(2700,x)＋9x＋1810＜x≤20)).(2)當(dāng)x∈(0,10]時(shí)，在x＝10時(shí)，ymin＝eq\f(3780,10)＝378(s)．當(dāng)x∈(10,20]時(shí)，y＝eq\f(2700,x)＋9x＋18≥18＋2×eq\r(9x·\f(2700,x))＝18＋180eq\r(3)≈329.4(s)，當(dāng)且僅當(dāng)9x＝eq\f(2700,x)，即x≈17.3(m/s)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)?7.3∈(10,20]，所以當(dāng)x＝17.3(m/s)時(shí)，ymin＝329.4(s)，因?yàn)?78＞329.4，所以，當(dāng)車(chē)隊(duì)的速度為17.3(m/s)時(shí)，車(chē)隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y有最小值329.4(s)．[B級(jí)能力提升]一、填空題1．某工程由A，B，C，D四道工序組成，完成它們需用時(shí)間依次為2,5，x,4天．四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：A，B可以同時(shí)開(kāi)工；A完成后，C可以開(kāi)工；B、C完成后，D可以開(kāi)工．假設(shè)該工程總時(shí)間為9天，那么完成工序C需要的天數(shù)x最大是________．解析：分析題意可知，B、D工序不能同時(shí)進(jìn)展，∴B、D工序共需5＋4＝9天，而完成總工序的時(shí)間為9天，說(shuō)明A、B同時(shí)開(kāi)工，A完成后C開(kāi)工且5≥2＋x，∴x≤3，故x最大值為3.答案：32.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)展消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如下圖．根據(jù)圖中提供的信息，答復(fù)以下問(wèn)題：(1)從藥物釋放開(kāi)場(chǎng)，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；(2)據(jù)測(cè)定：當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)場(chǎng)，至少需要經(jīng)過(guò)________小時(shí)，學(xué)生才能回到教室．解析：(1)由圖可設(shè)y＝kt(0≤t≤eq\f(1,10))，把點(diǎn)(0.1,1)分別代入y＝kt和y＝(eq\f(1,16))t－a，得k＝10，a＝0.1，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t0≤t≤\f(1,10),\f(1,16)t－0.1t＞\f(1,10))).(2)由(eq\f(1,16))t－0.1＜0.25，得t＞0.6.答案：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t0≤t≤\f(1,10),\f(1,16)t－0.1t＞\f(1,10)))(2)0.63．江蘇舜天足球俱樂(lè)部準(zhǔn)備為救助失學(xué)兒童在江蘇省體育中心體育場(chǎng)舉行一場(chǎng)足球義賽，預(yù)計(jì)賣(mài)出門(mén)票2.4萬(wàn)張，票價(jià)有3元、5元和8元三種，且票價(jià)3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬(wàn)張．設(shè)x是門(mén)票的總收入，經(jīng)預(yù)算，扣除其他各項(xiàng)開(kāi)支后，該俱樂(lè)部的純收入為函數(shù)y＝lg2x，那么這三種門(mén)票分別為_(kāi)___________萬(wàn)張時(shí)可以為失學(xué)兒童募捐的純收入最大．解析：該函數(shù)模型y＝lg2x已給定，因而只需要將條件信息提取出來(lái)，按實(shí)際情況代入，應(yīng)用于函數(shù)即可解決問(wèn)題．設(shè)3元、5元、8元門(mén)票的張數(shù)分別為a、b、c，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝2.4，①,ab＝0.6，②,x＝3a＋5b＋8c，③))①代入③有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2eq\r(15ab)＝13.2(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝3b,ab＝0.6))時(shí)等號(hào)成立，解得a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8.由于y＝lg2x為增函數(shù)，即此時(shí)y也恰有最大值．故三種門(mén)票分別為0.6、1、0.8萬(wàn)張時(shí)可以為失學(xué)兒童募捐的純收入最大．答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江蘇卷)將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線(xiàn)剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長(zhǎng)2,梯形的面積)，那么s的最小值是________．解析：設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x.那么s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2)＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)，s′＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22)＝－eq\f(8\r(3),3)·eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍去)．即x＝eq\f(1,3)是s的極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)．∴smin＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(3－\f(1,3)2,1－\f(1,9))＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)二、解答題5．某商品每件本錢(qián)9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期賣(mài)出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？解：(1)設(shè)商品降價(jià)x元，那么多賣(mài)的商品數(shù)為kx2，假設(shè)記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，那么依題意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．又由已知條件可知，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)↘極小↗極大↘故x＝12時(shí)，f(x)取極大值，因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價(jià)為30－12＝18(元)能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．6．(2023·高考湖南卷)如圖，長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v(v>0)，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(c∈R)．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩局部：(1