宜賓市第四中學(xué)校2020屆高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四川省宜賓市第四中學(xué)校2020屆高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析2020年春四川省宜賓市第四中學(xué)高三第二學(xué)月考試文科數(shù)學(xué)第I卷選擇題（60分）一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1。若集合，，則(）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】求出集合A的補(bǔ)集，再進(jìn)行交集運(yùn)算.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2。已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(）A B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求出結(jié)論。【詳解】由，得，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的運(yùn)用得,可得的值.【詳解】因?yàn)樗?，?,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的運(yùn)用，靈活選擇前項(xiàng)和公式是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。4.若點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則該雙曲線的離心率為（）A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】由漸近線上點(diǎn)的坐標(biāo)得出，然后結(jié)合可求得離心率．【詳解】由題意，∴故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查漸近線的斜率與離心率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題．5。已知是兩條不同的直線是兩個(gè)不同的平面,則的充分條件是（）A。與平面所成角相等 B。C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定或定義進(jìn)行判斷即可?！驹斀狻繉?duì)于A，若與平面所成角相等,則可能相交或者異面，故A錯(cuò);對(duì)于B，若,則可能相交或者異面,故B錯(cuò)；對(duì)于C，若,由線面平行的性質(zhì)定理可得，故C正確；對(duì)于D,若，則可能異面，故D錯(cuò)；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線面的位置關(guān)系，需掌握判斷線面位置關(guān)系的定理和定義，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題6。已知函數(shù)，若，,則的太小關(guān)系是（)A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)得出的大小，再由函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】在上是減函數(shù),，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較函數(shù)值大小，考查函數(shù)的單調(diào)性．在比較冪的大小時(shí)，要注意同底數(shù)的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定大小，同指數(shù)的冪用冪函數(shù)的單調(diào)性確定大?。?.下列函數(shù)中,同時(shí)滿足：①圖像關(guān)于軸對(duì)稱;②，的是（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到為偶函數(shù)，且在區(qū)間為增函數(shù)。依次判斷選項(xiàng)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】由題知：①圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)，②，，在為增函數(shù)。選項(xiàng)：，為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤。選項(xiàng)：，為偶函數(shù)，且在區(qū)間為增函數(shù)，故正確.選項(xiàng)：，為偶函數(shù),且在區(qū)間有增有減，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)：，為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，熟練掌握初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.8.我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶(1202－1261)在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術(shù)"，即:以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積。其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長，,求三角形面積，即。若的面積,，,則等于（）A.5 B.9 C.或3 D.5或9【答案】C【解析】【分析】把已知數(shù)據(jù)代入面積公式解方程即得．【詳解】由題意得,，整理得，或5，即或3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題寓數(shù)學(xué)知識(shí)于數(shù)學(xué)文化之中，解題時(shí)只要把已知代入面積公式解方程即可得．9。與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為(）A。 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，列出方程組，求得圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),即可求解所求圓的方程?！驹斀狻坑深}意，圓的圓心坐標(biāo),設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，滿足,解得，即所求圓的圓心坐標(biāo)為，且半徑與圓相等，所以所求圓的方程為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程的求解,其中解答中熟記圓的方程，以及準(zhǔn)確求解點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10。已知是第二象限角,且，則的值為(）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的關(guān)系及角所在象限得，再利用正切的二倍角公式可得解?！驹斀狻坑?，得。因?yàn)槭堑诙笙藿?所以.。。故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及正切的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.11.定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí),,則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】由可知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，故選D。12.已知函數(shù),,當(dāng)時(shí)，不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C。 D.【答案】D【解析】分析】由變形可得，可知函數(shù)在為增函數(shù)，由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】，即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立.。令，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問題，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分13。計(jì)算______【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算可得.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)開__________?！敬鸢浮浚?9,1）【解析】【分析】先求出，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,求出其值域.【詳解】解:因?yàn)?，所以。?得,所以,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求法和解對(duì)數(shù)不等式,屬基礎(chǔ)題。15。如圖，點(diǎn)是橢圓右頂點(diǎn),過橢圓中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，滿足，．則該橢圓的離心率為________．【答案】【解析】【分析】確定△OAC是以角C為直角的等腰直角三角形，可得點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程，可得a，b的關(guān)系,即可求橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)锽C過橢圓M的中心，所以BC=2OC=2OB，又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C為直角的等腰直角三角形，則A（a，0），C（，﹣），B（﹣,），AB=a,所以+=1，則a2=3b2，所以c2=2b2，e=.故答案為【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等。16。在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______。【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn),設(shè)等邊三角形的中心為，連接。根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,，由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積?！驹斀狻吭诘冗吶切沃?，取的中點(diǎn)，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面,平面，,，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為。故答案：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題。三。解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分17.設(shè)數(shù)列滿足,（1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2)求數(shù)列的前項(xiàng)和?！敬鸢浮?1）證明見解析;（2).【解析】【分析】(1)計(jì)算得到，得到證明.（2）計(jì)算,利用分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】(1）,，故故是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2)故故【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，分組求和法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列方法，公式的綜合應(yīng)用.18.某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況,分別在高一和高二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.（I)將頻率視為概率，估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大？請(qǐng)說明理由.(II)在高二的抽查中，已知隨機(jī)抽到的女生共有55名，其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？非手機(jī)迷手機(jī)迷合計(jì)男女合計(jì)附：隨機(jī)變量（其中為樣本總量）。參考數(shù)據(jù)0.150。100。050。0252.0722。7063.8415.024【答案】（Ⅰ）高一年級(jí)，理由見解析；（Ⅱ)列聯(lián)表見解析,90%【解析】【分析】(Ⅰ）根據(jù)頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,分別計(jì)算兩個(gè)年級(jí)學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率，即可比較,作出判斷。(Ⅱ)根據(jù)題意，求出手機(jī)迷人數(shù)和非手機(jī)迷人數(shù),完善列聯(lián)表，即可由獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式求得，進(jìn)而作出判斷即可.【詳解】（Ⅰ）由頻數(shù)分布表可知，高一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為由頻率分布直方圖可知，高二學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為=(0.0025+0。010）×20=0。25因?yàn)镻1P2，所以高一年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷"的概率大。(Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“手機(jī)迷”有（0.010+0。0025）×20×100=25（人)，非手機(jī)迷有100﹣25=75（人）.從而2×2列聯(lián)表如下：非手機(jī)迷手機(jī)迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得結(jié)合參考數(shù)據(jù),可知3.0302。706,所以有90%的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?！军c(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表與頻率分布直方圖的簡單應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)中卡方計(jì)算與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。19.在如圖如示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為的正方形,∥，且。（1）若分別是中點(diǎn)，求證：∥平面（2)求此多面體的體積【答案】（1)見解析（2)【解析】【詳解】試題分析：（1）在平面中，作交DC于連接,根據(jù)條件可得四邊形是平行四邊形，于是∥，由線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．(2）結(jié)合圖形將多面體的體積分為兩部分求解,由題意分別求得兩個(gè)椎體的高即可．試題解析：（1）證明：在平面中，作交DC于連接．是中點(diǎn),且是正方形，∥,，又∥,，∥,四邊形是平行四邊形，∥，又平面，平面，∥平面．(2)解：如圖,連BD,BF，過F作FG⊥EF，交BC于點(diǎn)G．四邊形BEFC是等腰梯形,．平面平面，平面平面，F(xiàn)G⊥EF,DF⊥EF，平面,平面．,,故多面體的體積．20。已知橢圓的短軸長為，離心率為．(Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ);（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ)由橢圓的短軸長可得，結(jié)合離心率求得a的值即可確定橢圓方程；（Ⅱ)設(shè)直線的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立可得，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得，，結(jié)合k的范圍確定的取值范圍即可?！驹斀狻浚á瘢┮?yàn)闄E圓的短軸長為，所以，所以,又橢圓的離心率為,所以，解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ)由題可設(shè)直線的方程為，,，將代入，消去可得，所以，即，且，，所以，因?yàn)?，所以，所?所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí),要注意:(1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值；(2）函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線斜率為有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.【答案】（1）見解析；(2）見解析。【解析】【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值,無最大值;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值，無最小值。（2）依題知，即，所以，,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn),必然一個(gè)小于，一個(gè)大于，不妨設(shè)。因?yàn)?所以，變形為.欲證，只需證,即證.令，則只需證對(duì)任意的都成立。令,則所以在上單增，即對(duì)任意的都成立。所以點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略（1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式。（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的