高等數(shù)學(xué)殷錫鳴函數(shù)的單調(diào)性極值與最值

高等數(shù)學(xué)殷錫鳴函數(shù)的單調(diào)性極值與最值第1頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二這與定理?xiàng)l件矛盾

由于f(x)在[x1，x2]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，從定理的證明過(guò)程可以看出,將定理中的[a,b]換成(-∞，+∞),[a，+∞)，(a，+∞),

(-∞,a

]結(jié)論仍然成立說(shuō)明:存在ξ(x1，x2)使第2頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明:例

(證明恒等式)證明:設(shè)則對(duì)

,有第3頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二又f(x)在上連續(xù),根據(jù)上面的定理知令x=0第4頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2o單調(diào)性設(shè)f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增,定理(2)f(x)在(a,b)的任意部分區(qū)間內(nèi)都不恒等于零設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo),則f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增(嚴(yán)格單調(diào)減)證明:僅對(duì)嚴(yán)格單調(diào)增的情形給出證明有則對(duì)任意第5頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二即結(jié)論（1）成立

為證(2),采用反證法設(shè)條件(1)、(2)成立.對(duì)任意據(jù)拉格朗日中值定理

f(x)在[a,b]單調(diào)增故知(2)成立由于部分區(qū)間I上恒等于零，假設(shè)f(x)在(a,b)的某恒等于常數(shù)，這與f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾,據(jù)定理知，f(x)在I上第6頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

為證嚴(yán)格單調(diào)增，假設(shè)f(x1)=f(x2)=c

即f(x)在

(x1，x2)內(nèi)恒等于一個(gè)常數(shù),

這與條件（2）矛盾

f(x1)<f(x2)

f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增

(嚴(yán)格單調(diào)減)而且使f

(x)=0的點(diǎn)不構(gòu)成區(qū)間說(shuō)明:定理可簡(jiǎn)述為:第7頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解

例求的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間應(yīng)用定理知:當(dāng)

x(-∞,-1)時(shí),f(x)<0f(x)嚴(yán)格單調(diào)減當(dāng)

x(-1,1)時(shí),f(x)>0f(x)嚴(yán)格單調(diào)增當(dāng)

x(1,∞)時(shí),f(x)<0f(x)嚴(yán)格單調(diào)減駐點(diǎn):第8頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二先證:當(dāng)x>0時(shí),

構(gòu)造輔助函數(shù)則且使f

(x)=0的點(diǎn)不構(gòu)成區(qū)間,

當(dāng)x>0時(shí),x>sinx再證:當(dāng)x>0時(shí),例(利用單調(diào)性證不等式)

證明:當(dāng)x>0時(shí),解由于f(0)=0當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0

據(jù)定理知f(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增,第9頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二構(gòu)造輔助函數(shù)則g(0)=0,下證:當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)注意到當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=0g(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=0即當(dāng)x>0時(shí),由第10頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3o局部極小與極大

我們已經(jīng)知道:f(x)的極值點(diǎn)必為臨界點(diǎn),但臨如何判斷一臨界點(diǎn)是不是極值點(diǎn)?

定理(一階充分條件)

設(shè)y=f(x)在N(x0,)內(nèi)可導(dǎo)(在x0處可以不可導(dǎo),(1)如果當(dāng)x(x0-,x0)時(shí),f(x)<0當(dāng)x(x0,x0+)時(shí),f(x)>0x0

是f(x)的局部極小點(diǎn)界點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)若是極值點(diǎn),則是極小還是極大值點(diǎn)?問(wèn)題:但要求連續(xù)),則第11頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(2)如果當(dāng)x(x0-,x0)時(shí),f(x)>0當(dāng)x(x0,x0+)時(shí),f(x)<0x0

是f(x)的局部極大值點(diǎn)(3)當(dāng)xN(x0,)時(shí),f(x)不變號(hào),則x0不是極值點(diǎn)僅對(duì)(1)加以證明

取0<1<,則(x0,x0+1)(x0,x0+),由于x(x0-1,x0),f(x)<0,f(x)

在[x0-1,x0]上嚴(yán)格單調(diào)減,即證明:(x0-1,x0)(x0-,x0)

利用定理知第12頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二又由x(x0,x0+1),f(x)>0,f(x)

在[x0,x0+1]上嚴(yán)格單調(diào)增即綜上所述有即x0

是f(x)的局部極小值點(diǎn)利用定理知第13頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例

求下列函數(shù)的極值

(1)由于f(x)在R上可微所以駐點(diǎn):當(dāng)x<0

時(shí),f(x)<0f(x)當(dāng)時(shí),f(x)<0f(x)當(dāng)時(shí),f(x)>0f(x)x=0不是極值點(diǎn)是極小值點(diǎn)解極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)第14頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二極小值:

(2)x=0,x=1是不可微點(diǎn)有駐點(diǎn):所以f(x)的可能的極值點(diǎn)為:x=0,x=1是可能的極值點(diǎn)第15頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)x(-∞,0)時(shí),f(x)>0f(x)當(dāng)時(shí),f(x)>0f(x)x=0不是極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)當(dāng)時(shí),f(x)>0f(x)當(dāng)x(1,+∞)時(shí),f(x)>0f(x)x=1是極小值點(diǎn)所以極小值:極大值:第16頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二我們注意到:

研究x0是否為f(x)的局部極值點(diǎn),

即,

只需研究f(x)-f(x0

)在x0附近是否局部保號(hào)f(x)-

f(x0)0(或f(x)-

f(x0)0),

定理

(二階充分條件)由于f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),泰勒公式為我們研究f(x)-

f(x0)的保號(hào)性提供方便(1)若f

(x0)>0,x0是局部極小值點(diǎn);(2)若f

(x0)<0,x0是局部極大值點(diǎn);(3)若f

(x0)=0,無(wú)明確結(jié)論二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則設(shè)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處具有第17頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明:任取其中ξ介于x0與x

之間,即x0是局部極小值點(diǎn)我們僅證明(1)

由f(x0)>0,f(x)在x0處連續(xù)以及極限的保號(hào)性性質(zhì),存在>0,有當(dāng)時(shí),利用泰勒公式,有

此時(shí)ξ

N(x0,)第18頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二即

是

f(x)的極大值點(diǎn)處取得極值,是極大值還是極小值?并求出其極值例

試問(wèn)a為何值時(shí),在

因?yàn)閒(x)是可微函數(shù),故是f(x)的駐點(diǎn),當(dāng)a=2時(shí),極大值:

解即第19頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由f(x)是可微函數(shù),并在x0處取得極值當(dāng)x0>0時(shí),所以,x0是f(x)的極小值點(diǎn)

在方程中令x=x0,則有f(x0)=0.當(dāng)x0<0時(shí),由于已知y=f(x)滿足

如果f(x)在x00處有極值,問(wèn)它是極大值還是極小值?并證明之例解第20頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4o最大值、最小值(簡(jiǎn)稱最值)的計(jì)算定理（最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系）

如果開區(qū)間(a,b)內(nèi)的點(diǎn)x0是f(x)的最值點(diǎn)，則x0是極值點(diǎn),反之不然最值的計(jì)算方法：（1）f(x)在（a,b）上的臨界點(diǎn)；計(jì)算f(x)在[a,b]上的最值點(diǎn)，只需計(jì)算（3）比較這些點(diǎn)處函數(shù)值的大小，求出最值（2）端點(diǎn)x=a或x=b;第21頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二比較

f(x)在[-2,3]上連續(xù)且可導(dǎo),先求可能的最值點(diǎn)

可能的最值點(diǎn)為:

f(x)在(-2,3)內(nèi)有駐點(diǎn):

最大值為

最小值為

求函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值例解第22頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

x=1是f(x)在(0,2)中的唯一極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)原不等式令,則由又

x=1是最小值點(diǎn)

f(x)f(1)=0,x(0,2)求0<x<2時(shí),證明不等式例解

得f(x)在(0,2)中的唯一駐點(diǎn):x=1第23頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5o最大值、最小值的問(wèn)題

在實(shí)際應(yīng)用中,我們經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的最優(yōu)化問(wèn)題(即最優(yōu)值問(wèn)題),在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的求解方法,其中I是某個(gè)區(qū)間這里討論半頂角為的圓錐形容器內(nèi)已有b公升的鹽水,器內(nèi)液面上升速度最快?例若現(xiàn)在開始(t=0)往容器內(nèi)加注鹽水,經(jīng)t秒鐘后,注入的鹽水量為at2公升,試問(wèn)從開始起,經(jīng)幾秒后,容第24頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

xthr（1）建立h與t的函數(shù)關(guān)系設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，水深為h,時(shí)刻t的液量=原有液量+流入液量原有液量=b,流入液量=at2時(shí)刻t的液量分析:水深h=h(t)上升速度最快就是

指ht的最大值,所以應(yīng)先找出h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系,再求ht

的最大值解則所以第25頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型液面上升的速度:所以問(wèn)題為求v(t)在t0上的最大值,

(1)(3)