常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法課件

正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂小結(jié)思考題作業(yè)constantterminfiniteseries第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

第十一章無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法11.定義正項(xiàng)級(jí)數(shù)2.收斂的充要條件單調(diào)增加數(shù)列這時(shí),只可能有兩種情形:positivetermseries正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法2定理1(基本定理)注正項(xiàng)級(jí)數(shù)可以任意加括號(hào),其斂散性不變,對(duì)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),其和也不變.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列有界.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法3

例1

判定的斂散性.解由定理1知,故級(jí)數(shù)的部分和可與另一個(gè)已知斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較來確定.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.這個(gè)例啟示我們:判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列有界.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法43.比較審斂法證定理2即部分和數(shù)列有界.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法則收斂收斂發(fā)散發(fā)散收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法5不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法發(fā)散發(fā)散發(fā)散推論1(發(fā)散)收斂收斂(發(fā)散)證常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法6證明7解(1)(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散用比較審斂法發(fā)散.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法例2討論的收斂性.8正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法收斂.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法9(1)幾何級(jí)數(shù)使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判定法時(shí),常用的比較級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一些級(jí)數(shù)的斂散性,作為比較的標(biāo)準(zhǔn).需要知道(2)p-級(jí)數(shù)(3)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法10例3討論下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解(1)而等比級(jí)數(shù)收斂.所以,原級(jí)數(shù)收斂.由比較審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法11解因?yàn)槎前l(fā)散的p-級(jí)數(shù).所以,原級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法發(fā)散.由比較審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法12例4討論下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.（1）提示：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法13（2）提示：?jiǎn)柌荒?！說明用不等式形式不方便！常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法144.比較審斂法的極限形式定理3正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法15解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.16例5討論下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.提示：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法17解而級(jí)數(shù)收斂故級(jí)數(shù)～正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法收斂.?常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法18結(jié)論：則即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法19定理4達(dá)朗貝爾,1717–1783,法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法5.比值審斂法(達(dá)朗貝爾判定法)收斂發(fā)散方法失效常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法202.若用比值判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散注3.一旦出現(xiàn)ρ=1

要用其它方法判定.級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零.后面將用到這一點(diǎn).或不存在時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法4.條件是充分的,1.適用于的若干連乘積(或商)但非必要.收斂形式.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法21正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法收斂不存在收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法22比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).由級(jí)數(shù)本身就能斷定斂散性.例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性解：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法23解24比值審斂法失效,改用比較審斂法25例7證明:級(jí)數(shù)發(fā)散.證因故從而由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法知級(jí)數(shù)發(fā)散.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法26這里用比值法判斷級(jí)數(shù)的收斂性時(shí),雖然如此,也還能利用比值,正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法求出比值的極限為1,比值審斂法失效.從而得到一般項(xiàng)不收斂于零.因?yàn)楹愦笥?,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法27級(jí)數(shù)收斂.定理5柯西(Cauchy)(法)1789–1857適用于:以n為指數(shù)冪的因子正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法6.根值審斂法(柯西判別法)收斂發(fā)散方法失效常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法28注1.根值法條件是充分的,但非必要.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法收斂2.凡涉及證明的命題一般不可用比值法與

而只能用比較法.根值法,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法29例9討論級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)樗?當(dāng)a>0時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)a<0時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)a=0時(shí),根值法失效,但此時(shí)級(jí)數(shù)為是發(fā)散的.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法30總結(jié)：思維順序：（1）比較判別法：一般選幾何級(jí)數(shù)，p-級(jí)數(shù)；（2）比值判別法：通項(xiàng)中出現(xiàn)冪次或階乘時(shí)，用此法；（3）根值判別法：當(dāng)通項(xiàng)中的指數(shù)位置含有n時(shí)，用此法。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法31例10判定級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?收斂,再由比較判別法知,原級(jí)數(shù)也收斂.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法32例11利用級(jí)數(shù)收斂性,證明證考查級(jí)數(shù)由于故級(jí)數(shù)收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法33正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為萊布尼茨(Leibniz)(德)1646–1716定義alternateseries交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6(萊布尼茨定理)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法34注un與un+1大小的方法有三種:(1)比值法,

??(3)由un找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)考察?(2)差值法,

交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法用萊布尼茨定理判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是否收斂時(shí),要考察un與un+1大小,比較常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法35例12判別下列級(jí)數(shù)的斂散性收斂發(fā)散36解原級(jí)數(shù)收斂，且和s<√2.37任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)思想是:定義2定義1可正,可負(fù),可0.絕對(duì)收斂.條件收斂.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂38證

絕對(duì)收斂與收斂設(shè)級(jí)數(shù)正定理7絕對(duì)收斂與條件收斂收斂.絕對(duì)收斂.顯然,

比較極限審斂法

由性質(zhì)1,2有以下重要關(guān)系常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法39解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂例14判別級(jí)數(shù)的斂散性.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法40例15解(1)所以原級(jí)數(shù)收斂.絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂.是條件收斂還是絕對(duì)收斂.是等比級(jí)數(shù),判定下列級(jí)數(shù)的斂散性,對(duì)收斂級(jí)數(shù)要指明常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法41解因?yàn)橛?2)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知,從而級(jí)數(shù)(2)由于使用的是比值判別法而判定的級(jí)數(shù)(2)因此絕對(duì)收斂與條件收斂級(jí)數(shù)發(fā)散,不絕對(duì)收斂.不絕對(duì)收斂,發(fā)散.級(jí)數(shù)(2)是斷定正項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法42其和分別為*四、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

*定理8.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為說明:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)有類似有限項(xiàng)和的性質(zhì),

但條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).43絕對(duì)收斂與條件收斂通常先考查它若使用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂(這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零),對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、2將級(jí)數(shù)如不是絕對(duì)收斂的,再看它是否條件收斂.便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散.可用萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.拆開為兩個(gè)級(jí)數(shù),(用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法),討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性時(shí),是否絕對(duì)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法44

正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序四、小結(jié)1.2.若比值、根值法;若失效3.比較審斂法的極限形式4.5.充要條件6.按基本性質(zhì)7.?比較審斂法發(fā)散;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法45任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序3.

交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)1.?發(fā)散2.絕對(duì)收斂4.按基本性質(zhì)5.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法46思考題常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法是非題是由比較審斂法知