真空與導體中靜電場

真空與導體中靜電場第1頁/共192頁一、庫侖定律1.庫侖定律的表述第2頁/共192頁2.幾點說明真空的條件是為了除去其他電荷的影響以及因周圍的感應和極化等因素的影響。但是，周圍有其他電荷存在時，兩電荷之間的電力仍然滿足庫侖定律，所以這個條件并非必要。靜止條件是指兩電荷相對靜止，且相對觀察者靜止。這個條件可以放寬成：靜止源電荷對運動電荷的作用力，但不能推廣到運動電荷對靜止電荷的作用力。庫侖定律成立的條件是真空和靜止。第3頁/共192頁庫侖定律指出兩靜止電荷間的作用是有心力。

力的大小與兩電荷間的距離服從平方反比律。我們將看到，靜電場的基本性質正是由靜電力的這兩個基本特性決定的。有心力是保守力。庫侖定律是一條實驗定律。

在庫侖時代，測量儀器的精度較低（即使在現(xiàn)代，直接用庫侖的實驗方法，所得結果的精度也是不高的），但是庫侖定律中靜電力對距離的依賴關系，即平方反比律，卻有非常高的精度。驗證平方反比律的可假定力按1/r2+d

變化，然后通過實驗求出d的數(shù)值。1971年的實驗結果是d＜2×10－16

第4頁/共192頁庫侖定律給出的平方反比律中，r值的范圍相當大。

雖然在庫侖的實驗中，r只有若干英寸，但近代物理的實驗表明，r值的數(shù)量級大到107m而小到10－17m的時候，平方反比律仍然成立。第5頁/共192頁第6頁/共192頁【例】正電荷q1和負電荷q2固定在X軸上，分別居于x軸的光滑絕緣板的兩側，帶正電的小球葉處于x軸上且靠著板，如圖所示，起初，板處于負電荷不遠處。球處于平衡，板開始沿x軸緩慢平移擴大與負電荷的距離。當距離擴大到l/3時，小球從x軸“逃逸”,試求兩電荷電量比值。物體對電場的影響可以忽略，重力也不計。第7頁/共192頁【解】小球在兩個電荷作用的合力與板對它的支持力平衡，移動一段距離過程仍平衡（隨遇平衡），一旦合力大于支持力，平衡打破，小球運動，即“逃逸”。逃逸時，設小球在x軸方向上的偏離為Dy，因此在X軸方向的受力平衡，有F1y=F2y,即第8頁/共192頁當Dy→0時，上式簡化為：第9頁/共192頁二、電場強度1.電場強度

第10頁/共192頁【例】無限長均勻帶電直導線外的電場強度。

設無限長帶電直線的電荷線密度為l。由于此系統(tǒng)具有相對于軸的旋轉對稱性,電場也具有相對于帶電直線軸的旋轉對稱性。第11頁/共192頁以P點為圓心,以a為半徑作半圓,直徑AB平行于MN,半圓與

MN的切點為

D,如圖所示。在直線MN上,任意位置處取一線元,長為

Dl,帶電量Dq=lDl，由于線元Dl

很小

，有：第12頁/共192頁帶電線元在P點激發(fā)的電場強度大小為：

這個表達式相當于弧元AB的電荷線密度也為l

時,在P點激發(fā)產生的電場強度。由于整條直線MN上各線元與半圓上各弧元具有一一對應關系,因此,帶有電荷線密度的無限長均勻帶電直線在P點激發(fā)產生的電場強度,等于對應的半徑為a、電荷線密度同為l的均勻帶電半圓在P點激發(fā)產生的電場強度。第13頁/共192頁設想在P點有一單位點電荷，它所受到的靜電力為：所以，無限長帶電直導線外的電場強度為：第14頁/共192頁【例】一條無限長、電荷不能自由移動的直線,在A點折成直角,直線上均勻帶電,電荷線密度為l(設l>0)。在折成直角的直線平面內有點P1,P2,P3

和P4四個點,它們與兩半直線的垂直距離均為a。如圖所示。求四點P1,P2,P3和P4處的電場強度。

第15頁/共192頁第16頁/共192頁由疊加原理，有：第17頁/共192頁角度由正弦定理求得：第18頁/共192頁方向如圖所示。第19頁/共192頁P4處電場強度與求P3處電場強度相同的方法,得E4的大小為：第20頁/共192頁【例】一半徑為R的均勻帶電細圓環(huán),帶有電荷q。在圓環(huán)的軸線上有一根很長的均勻帶電細線,其一端與環(huán)心重合,電荷線密度為l。求圓環(huán)與細線間的相互作用力。第21頁/共192頁

圓環(huán)與細線間的相互作用力,既可以從帶電細線在圓環(huán)產生的電場中受力求得,也可以從帶電圓環(huán)在細線產生的電場中受力求得。顯然,后者的求法簡單。因為細線產生電場,在圓環(huán)上每一點的電場強度大小相同,容易求出。

只要求出圓環(huán)上任一點P處的電場強度,就能求出圓環(huán)受到細線的靜電力。

半無限長均勻帶電直線在P點產生的電場強度,可以用以P為圓心,R為半徑,并帶有相同電荷線密度的四分之一圓弧替代。

第22頁/共192頁四分之一均勻帶電圓弧在圓心處電場強度的大小,等于圓心處放置單位電荷所受力的值：

電場強度的方向與細線成45o角。由對稱性，圓環(huán)所受到的靜電力必沿軸線，其值為：第23頁/共192頁

若以q所在處為中心、r為半徑作一球面，則erDS就是面元DS在球面上的投影DS0，DS0／r2為DS0對球心所張的立體角DW，三、高斯定理1、立體角第24頁/共192頁第25頁/共192頁第26頁/共192頁第27頁/共192頁電場對任意封閉曲面的電通量只決定于被包圍在封閉曲面內部的電荷，且等于包圍在封閉曲面內電量代數(shù)和除以e0，與封閉曲面外的電荷無關。這一結論就是靜電場的高斯定理。

2、立體角第28頁/共192頁高斯定理表明是靜電場是有源場

高斯定理給出了場和場源的一種聯(lián)系，這種聯(lián)系是場強對封閉曲面的通量與場源間的聯(lián)系，并非場強本身與源的聯(lián)系。電荷是靜電場的源.高斯面上的電荷問題

高斯面把電荷區(qū)分為內外兩種，是否存在一種點電荷正好在高斯面上？這是不存在的，因為只有點電荷的線度要遠小于q與高斯面間的距離，才能視為點電荷。高斯定理討論第29頁/共192頁高斯定理中的E問題

高斯定理中的E是全部電荷所產生的E，而不管這電荷是在曲面內部或在曲面外部。同一高斯面的E可能相同，也可能不同，因為高斯面是任意選取的。高斯定理表明的只是電通量和電荷的關系

如果在高斯面內部或外部電荷分布發(fā)生改變，則空間電場分布將發(fā)生變化，高斯面上的電場也會發(fā)生變化，但只要內部總電荷數(shù)不變，高斯定理指出，電場對該封閉曲面的電通量并無變化。第30頁/共192頁【例】求均勻帶電球面產生的電場。已知球面的半徑為R，電量為Q。【解】根據(jù)球對稱性可以判定，不論在球內還是在球外，場強的方向必定沿球的半徑，與球心等距離的各點的場強大小應相等。作如圖所示的高斯面，當r<R時，有：第31頁/共192頁當r>R時，作S2的高斯面，有：

第32頁/共192頁【例】求均勻帶電球體中所挖出的球形空腔中的電場強度。球體電荷密度為r，球體球心到空腔中心的距離為a。3.電場疊加法第33頁/共192頁【解】將空腔看作是同時填滿+r和-r的電荷，腔內任一點的電場強度就由一個實心大球電荷密度為+r和一個實心小球電荷密度為-r的疊加而成，如圖所示：第34頁/共192頁同理可得：所以，a為矢量，方向由O指向O’?？梢娍涨粌入妶鰪姸仁蔷鶆虻摹５?5頁/共192頁帶異種電荷具有同樣電荷密度的兩個球有一部分重疊，則重疊部分的電場強度為：表明該部分的電場是均勻場，方向從正電子中心指向負電荷中心。第36頁/共192頁無限長圓柱體，電荷均勻分布，在內挖出一個空腔，空腔軸線與圓柱體軸線平行，相距為a，則空腔內的電場強度為：均勻場，方向從O指向O’。注：帶電圓柱體內外的電場強度為：第37頁/共192頁【例】在電場強度為E的均勻電場中放著一個均勻金屬球,其半徑為R,求球表面感應電荷的分布.【解】設整個球都均勻充電(電荷為Q)的球內的電場強度為EM:第38頁/共192頁考察兩個半徑為R,相互錯開了距離l,均勻帶電+Q和-Q,公共區(qū)域的電荷為零.兩個帶電球在公共區(qū)域P點的電場強度為:公共部分為均勻電場.[球,球內電場為零]第39頁/共192頁設球殼的厚度為h,在面元DS上的電量為:公共部分總的電場應為零.即:第40頁/共192頁四、靜電場的電勢對閉合環(huán)路L,則有:第41頁/共192頁

它表明任何靜電場的環(huán)流都為零。這就是靜電場的環(huán)路定理。它表明，靜電場是無旋場。

靜電場作功與路徑無關，只與起點與終點的位置有關；或靜電場沿任何閉合環(huán)路作功為零。電場的這個性質來源于庫侖力的有心力特性；而不是平方反比律環(huán)路定理可以證明靜電場的電力線不可能是閉合曲線

反證法，若電力線是閉合曲線，沿電力線一周，則:矛盾第42頁/共192頁1．點電荷的電勢

點電荷q的電場強度為由電勢的定義可得a,b兩點的電勢差為：

選無限遠處為電勢零點，有：第43頁/共192頁2.電勢疊加原理

對點電荷系，有：此式表明，點電荷組的電勢等于各個電荷單獨存在時電勢的代數(shù)和。

第44頁/共192頁【例】一個立方體有5個面接地,而第6個面與其余5個面絕緣,電勢為U,則立方體中心的電勢是多少?第45頁/共192頁[解]由電勢的疊加原理,中心點的電勢由6個面電勢疊加而成:因為6個面幾何形狀對稱,所以系數(shù)ki相同,若6面等電勢,均為U,則中心點也為U,所以k=1/6第46頁/共192頁所以,當:

有:第47頁/共192頁【例】如圖所示，三根等長的帶電絕緣棒首尾相接構成三角形，其中的電荷分布如同絕緣棒換成長導體棒，且已達到靜電平衡時的電荷分布。三棒共存時，側得突中A,B兩點的電勢分別為UA和UB。若將ab棒取走，并不影響ac和ab棒的電荷分布。求此時A,B兩點的電勢。第48頁/共192頁【解】三根帶電絕緣棒電荷分布如同絕緣棒換成長導體棒達到靜電平衡時的電荷分布，所以為非均勻分布，但是都是自身左右的對稱分布。三根棒對A點的電勢貢獻都相同，記為U1,則bc棒在A和B點的貢獻相同，因而，bc在B點的電勢為U1.ab和ac對B點的貢獻相同為U2,則：第49頁/共192頁由上兩式解出：如果把ab棒取走，則A,B兩點的電勢為：第50頁/共192頁3.等勢面電勢為空間坐標的標量函數(shù)，是標量場。標量場常用等值面來進行形象的幾何描述電勢的等值面稱為等勢面，在同一等勢面上，電勢處處相等。第51頁/共192頁兩個正電荷的等勢面第52頁/共192頁等勢面的特性一根電場線不可能與同一等勢面相交兩次或多次?？臻g某點的電場強度應與該處的等勢面垂直。電場強度的大小也可用等勢面的疏密程度來量度。第53頁/共192頁4.E與U

的關系

單位點電荷從B移至C，電場力做的功等于電勢能的減少，即：第54頁/共192頁

可見，改變同樣的DU，沿不同的方向，由于Dl的長度不同，El的改變并不相同。

當Dl取法線方向時，電勢在該方向的變化率最大，亦即電勢的梯度最大，根據(jù)矢量的定義，矢量絕對值最大的分量就是矢量本身，所以我們得到電場強度的大小為：或：第55頁/共192頁電勢函數(shù)的值與電勢的零參考點的選擇有關，而電勢零參考點的選擇有很大的任意性，電場中任何一點都可以作為電勢的零點。

把電勢的零點取在無窮遠處是因為分布在有限區(qū)域中的電荷產生的電場在遠離電荷處的場強按1／r2減少，故無限遠處任意兩點的電勢差為零，無限遠處是電勢的等勢區(qū)域，因而我們可以把電勢的零點取在這個區(qū)域中。但是，當電荷分布在無限大區(qū)域中時，無限遠處并不是等勢區(qū)域。在這種情況中，雖然可以取遠處某一確定點作為電勢的零點，但卻不能把無限遠處作為電勢的零參考點（無限遠處是一個區(qū)域）。

5.電勢的零參考點第56頁/共192頁在均勻電場E0中放入一個點電荷q,則空間的電勢如何?對均勻電場,不能取無限遠處為電勢零點,取原點O為參考點,則:對點電荷,不能取原點為電勢零點,可取無限遠處為電勢零點,則:合電勢為:無限遠處與原點均不能作為電勢零點.除這兩點外任一點的電勢都可做參考點.U0取值由該點決定.第57頁/共192頁均勻外場中放入一半徑為R,帶電量為Q的導體球,球外任一點的電勢為:第58頁/共192頁除無限遠外,其它點均可作電勢零點.一旦該點選定,U0就確定.第59頁/共192頁五、相對論電磁場第60頁/共192頁1.電荷線密度變換在O’系：在O系：第61頁/共192頁2.電荷面密度變換在O’系：在O系：第62頁/共192頁3.電場的變換第63頁/共192頁第64頁/共192頁4、勻速運動點電荷的電場第65頁/共192頁第66頁/共192頁第67頁/共192頁第68頁/共192頁Thereissameamountofelectricfluxlinesbutlinesareshifted.Inbothcases第69頁/共192頁不同速度的電場不同速度的電勢第70頁/共192頁【例】在一個真空箱中，10A的電流流過一根具有很大大電導率的長直導線。初速度為v0的電子垂直于導線的徑向距離為r0的一點開始運動。最后停止在r0/2處，求v0.第71頁/共192頁【解】靜止參考系為S系，建立新的S’系，該系以v0的速度運動，在S’系中電流不變，因為電子運動向上速度變化，而原來不動的正電荷向下運動，抵消了電流的變化。在S’系中，出現(xiàn)一個電場第72頁/共192頁在S’系，電子的初速度為不需要用相對論速度疊加，因為這個速度比光速小得多，質量也不需用動質量，根據(jù)動能定理，有：第73頁/共192頁六、物質的電性質第74頁/共192頁靜電平衡時，導體顯示出徹底的“抗電性”，表現(xiàn)為導體內電場強度必須處處為零。而載流導體則不同，導體內存在著非零的電場，它與電流之間的依賴關系滿足一定的實驗規(guī)律，該規(guī)律反映了導體的導電性質。1.靜電平衡第75頁/共192頁2.導體上的電荷分布導體表面電荷的電荷層一般只有1至2個原子的厚度。若初始時刻，導體內電荷不為零，則導體內的電荷將按指數(shù)衰減，在很短的時間內（約10-14秒），導體達到靜電平衡。靜電平衡時，電荷只分布在導體的表面，導體內部體電荷密度處處為零。第76頁/共192頁

導體表面的電荷分布與導體的幾何形狀、導體所帶的總電量以及周圍其它場源和導體有關。孤立導體，表面電荷分布只與導體的形狀有關：凸的地方，面電荷密度大，凹的地方，面電荷密度較小。與內外表面的曲率有關，但并不存在唯一的函數(shù)關系。導體表面的電荷分布非常復雜第77頁/共192頁導體外靠近其表面的地方的電場與表面垂直，其場強大小為s/e0。第78頁/共192頁3.靜電屏蔽腔外不影響腔內

腔內卻影響腔外第79頁/共192頁對接地空腔，腔內腔外互不影響

第80頁/共192頁【討論】導體腔內有點電荷q,腔外相距q

電荷r處有點電荷Q.q

受Q的靜電力為多少?q

受靜電力為多少?導體腔受到的靜電力為多少?第81頁/共192頁取決于q位置,內表面形狀或內表面電荷分布.外不影響內第82頁/共192頁合力為零合力為零由電象法解決.第83頁/共192頁【例】一導體球通過與一帶電金屬板反復接觸而獲得電荷。每當導體球與金屬板接觸并分開后，又重新使金屬板帶有電量Q，若q1是導體球與金屬板第一次接觸后所帶的電量，求導體球可獲得的最大電量。[解]設經過第一次接觸，導體球的電量為q1，金屬板的電量為Q1，它們的比值為：根據(jù)電荷守恒，有：所以：第84頁/共192頁根據(jù)疊加原理和靜電平衡條件，當導體球與金屬板接觸時，只要它們所帶的電量之比保持不變，則靜電平衡條件將得到滿足，經過第二次接觸后，導體球與金屬板的電量分別為q2和Q2，則：根據(jù)電荷守恒定律，故有：第85頁/共192頁同理，經過n次接觸后，導體球的電量為：當n時，這就是導體球獲得的最大的電量。第86頁/共192頁孤立導體的電勢與其電量成正比:比例系數(shù)C稱為孤立導體的電容。

在單位制確定以后，它的值只取決于孤立導體的幾何形狀。孤立導體電容的大小反映了該導體在給定電勢的條件下儲存電量能力的大小。

七、電容與電容器

第87頁/共192頁1.孤立導體球的電容

一半徑為R的導體球，當帶有電荷q時，其電勢為:故其電容為:

由半徑決定．若把地球作為一個孤立導體球，其電容也可由上式決定。

第88頁/共192頁當這兩導體附近存在其他帶電體或導體時，電量與電勢差之間的正比關系將被破壞?？梢圆捎渺o電屏蔽的方法，可保證兩導體間的電勢差與電量間的正比關系，容器不受周圍其他帶電體或導體的影響?？涨粚w的屏蔽作用可以使帶電物體不影響周圍其它帶電體，即C和D的位置改變不影響AB之間的電勢差。CD2、電容器

第89頁/共192頁球內電場均勻分布，不隨外界影響。ABC第90頁/共192頁導體A和B之間的電勢差將僅與導體A的電量成正比，與導體B周圍的其他帶電體或導體無關。這種特殊的導體組稱為電容器，組成電容器的兩個導體分別稱為電容器的兩個極板。電容器的電容值為：電容器的電容與電容器的帶電狀態(tài)無關，與周圍的帶電體也無關，完全由電容器的幾何結構決定。電容的大小反映了當電容器兩極間存在一定電勢差時，極板上貯存電量的多少。第91頁/共192頁廣義電容器：多個導體任意放置，構成廣義電容器，各個導體的表面是極板。EADFBC第92頁/共192頁3.常見電容器平行板電容器

第93頁/共192頁球形電容器若RB＞＞RA，即外球殼B遠離球A，則回到孤立導體球的電容公式；若RA和RB都很大，而比RB一RA＝d很小，則RARB=R2,則回到平板電容器的公式。

第94頁/共192頁圓柱形電容器

當d《R時，第95頁/共192頁4.復雜電容器電容的計算C=Q/U是一個普遍適用的公式，對Q1Q2的兩導體，公式中的Q應理解為用導線將兩導體接通時所交換的電荷量。第96頁/共192頁【例】兩塊長與寬均為a和b的導體平板在制成平行板電容器時稍有偏斜,使兩板間距一端為d,另一端為(d+h),且h<<d,求該電容器的電容.第97頁/共192頁【解】方法一:把電容器分成n個等間距,但兩極板的距離依次增加的n個小電容器,n個電容并聯(lián)成總電容器.第98頁/共192頁方法二:分成n個電容,讓每個小電容器的電容值相同.第i個電容器的板間距為di,面積為:則:即:或:第99頁/共192頁當n趨于無限大時,有數(shù)學上有:第100頁/共192頁5.電容器的聯(lián)結

電容器串聯(lián)

電容器并聯(lián)

第101頁/共192頁【例】在如圖所示的電路中，C1=C3=2mF,C2=C4=C5=1mF,e=600V,試求各電容器兩端的電壓?！窘狻坑苫鶢柣舴蚧芈范ɡ恚梢缘玫?個方程：第102頁/共192頁另外2個方程由L1和L2回路的電荷守恒（原來不帶電）解之得：第103頁/共192頁C=？第104頁/共192頁第105頁/共192頁【例】一個球形電容器由三個很薄的同心導體殼組成，它們的半徑分別為a,b,d。一根絕緣細導線通過中間殼層的一個小孔把內外球殼連接起來。忽略小孔的邊緣效應。求：（1）此系統(tǒng)的電容；（2）若在中間球殼上放置任意電量Q，確定中間球殼內外表面上的電荷分布。第106頁/共192頁【解】這相當于內外2個電容器并聯(lián).設內外兩球殼代的電量分別為Q1和Q2,那么a,b球的的電勢差為:d,b球的的電勢差為:第107頁/共192頁兩電容器并聯(lián),所以:內外兩球形電容器的電容值為:第108頁/共192頁(2)內外兩球形電容器的電容值為:第109頁/共192頁【例】一個面積為A、介質為空氣的平行板電容器連接到一個電動勢為e、內阻很小的電池兩端。電容器的其中一個極板振動，兩極板間距離變化為d=d0+acoswt,a《d0。當電路中瞬時電流值達I時，電容“燒毀”.求允許的最大振幅。【解】由電容器的公式由電容的定義，

其中一個極板上的電荷量為第110頁/共192頁電流振幅：第111頁/共192頁d第112頁/共192頁第113頁/共192頁第114頁/共192頁第115頁/共192頁【拓展題】半徑分別為a和b的兩個導體球,相距為r(r>a+b),現(xiàn)分別充以電壓U1和U2,然后用細金屬線把它們連接起來.求此時的電容.第116頁/共192頁【提示】設兩球的電勢為U1和U2,電量為q1和q2,然后用導線連通,各量為U’1,U’2,q’1,q’2聯(lián)立解出q’1,q’2,U’孤立導體的電容第117頁/共192頁【例】如圖，三個面積均為S的金屬板A,B,C水平放置，A,B相距為d1,B,C相距為d2，A,C接地，構成兩個平行板電容器，上板A中央有一小孔D，B板開始不帶電。質量為m，電荷量為q（q>0）的液滴從小孔D上方高度為h處的P點由靜止開始一滴一滴落下。假設液滴接觸B板后立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可以忽略，重力加速度為g.

(1)若某帶電液滴在A,B板之間做勻速直線運動，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

（2）若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點轉向向上運動，求此點與A板的距離H.

第118頁/共192頁【解】（1）等效電容如圖當B板上有n-1滴液滴時，設電量為Q=(n-1)q，則Q分布在B板上下的電量分別為q1,q2,本題不考慮第n滴在導體板上感應電荷的影響第119頁/共192頁(2)第N滴液滴下落時，極板對該滴液體有一個向上的凈力，這個凈力來源于前N-1滴到達極板B后產生的靜電力大于重力。前N-1滴液體的電荷分布在B上下面，比例見（1）

第N點液滴從A板到H高處（離B板）的靜電力做功為第120頁/共192頁從P點下落，到離B為H高時，重力所做的功為兩者相等，解出：本題不考慮第N滴在導體板上感應電荷的影響。第121頁/共192頁6、倒數(shù)法電阻電容倒數(shù)通過類比，把求電容的問題轉化為求電阻問題。第122頁/共192頁第123頁/共192頁這種解正好是黃金分割值，電容在其值的下面分割點，而電阻在其值的上面分割點。上面電路中的電流或電勢正好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，兩個相鄰數(shù)的比值以驚人的速度趨向黃金分割。在數(shù)學上，把一個偶數(shù)分解成比它小的兩個奇數(shù)時，或把一個奇數(shù)分解成比它小的兩個偶數(shù)時，都將趨向于黃金分割點。高架供電線路就可以看成是上面的電路，因為中線線在每一根電線桿都要接到桿和地。第124頁/共192頁【例】先用電壓為U的電源給電容量為C0的電容器充電,然后電源斷開。再將充電后的該電容給一個電量為C的原不帶電的電容器充電,然后把這個電量為C的電容器拿走,用同樣的方法使電容量為C0的電容依次再給(n-1)只電容量為C的電容充電。最后把這n只電容量為C的電容再串聯(lián)起來,試求這串聯(lián)后的電壓U。【解】電容為C0的電容器所帶的電量為：給第一個電容器充電后，電壓為U1，且電容器C0和C上所帶的電量分別為q’和q1，則：第125頁/共192頁解之得：同樣方法求得給第2…，n個電容器充電后的電壓為：第126頁/共192頁因此，所求的總電壓為：第127頁/共192頁第128頁/共192頁第129頁/共192頁對于2個無限大的平行板帶電導體，有：（1）相向的兩面，電荷密度總是大小相等而符號相反；（2）相背的兩面，電荷密度總是大小相等而符號相同；（3）若帶有相同的同種電荷量，則電荷只分布在相背的兩面上；（4）若帶有相同的異種電荷量，則電荷只分布在相向的兩面上。第130頁/共192頁【例】三塊厚度均勻，長、寬和厚相等的金屬板，依次排列，如圖所示，金屬板的長、寬線度遠大于板間間距。已知三個金屬板所帶的電量分別為Q1,Q2,Q3．在不考慮邊緣效應的情況下，求各金屬板兩側的帶電量q1,q2,q3,q4,q5,q6；

第131頁/共192頁【解】設各板的面積都為S，由電荷守恒，有：在極板的1，2，3點處電場強度均為零，有：第132頁/共192頁第133頁/共192頁【例】有100塊平行放置的正方形大導體板，每塊邊長均為L，相鄰兩板距離為d，從左到右順次編號為1、2、3、…100。開始每板上都帶有凈電荷，已知第一個板上的凈電荷為q1，第n個板上的凈電荷為qn=nq1，現(xiàn)將第1個板和第n個板接地，忽略邊緣效應，試問：（1）從第1塊板和第100塊板上流入大地的電量為多少？（2）上述兩板接地后哪塊板上的電勢最高？其電勢值為多少？第134頁/共192頁【解】左右兩端導體板接地，各導體板上的電荷分配分布均將發(fā)生變化，達到靜電平衡后，其余各板上的電量分布滿足：（1）忽略邊緣效應，導體板上的電荷全部分布在板兩側；（2）相鄰兩板相對側面的電量大小相等，符號相反；二者形成一個電容器；（3）第n塊板上的電量滿足：Qn左+Qn右=qn第1塊板接地后，第1塊板右側板上的電量為：Q1右=-Q0由此類推：第135頁/共192頁第136頁/共192頁取地為零電勢點，各板上的電勢從左到右順次記為：則：相鄰兩板的電勢差為：兩相鄰板之間的電容值為：第137頁/共192頁將以上各式兩邊分別相加，得：qn=nq1第138頁/共192頁由于U100=0，代入上式，得：第1塊極板流入大地的電量為：第100塊極板流入大地的電量為：第139頁/共192頁設第n塊板上的電勢最高，則該板兩側面上的電量必須滿足：亦即：或：解不等式，得：取：第140頁/共192頁即第58塊極板上的電勢最高，其值為：第141頁/共192頁【拓展題】一組彼此間距相等的薄金屬板,總數(shù)為n個,由一電池按下列方式充電.電池負極接1板,正極依次接n板,n-1板,n-2板,,一直接到2板.求此時1板與3板上的電量之比.第142頁/共192頁八、靜電場的能量第143頁/共192頁1、靜電能（1）兩個點電荷系統(tǒng)第144頁/共192頁相互作用能與電荷的移動次序無關。Ui表示除自身外，另一個點電荷在該處所產生的電勢。第145頁/共192頁（2）N個點電荷系統(tǒng)把2個點電荷系統(tǒng)的相互作用能推廣到N個點電荷系統(tǒng)，就有：Ui表示除自身外，所有其它點電荷在該處所產生的電勢，表達式為：第146頁/共192頁下標i和j對稱，表示外界做功與電荷移入的次序無關。第147頁/共192頁【例】正負離子相互排成一條無窮長直線，相鄰兩離子間的距離是a，正負離子的電量為±q，求每個離子與所有其它離子的相互作用能?！窘狻吭谝粋€正離子處，所有其它正離子產生的電勢為：所有其它負離子產生的電勢為：第148頁/共192頁故一個正離子處，所有其它離子所產生的電勢為：于是得一個正離子與所有其它離子的相互作用能為：對負離子，由于相互作用能正比于電荷平方，故：第149頁/共192頁【例】兩塊無限大接地導體平面相距4x,其間有2個點電荷(+Q,-Q),距離其中一個板分別為x,3x.求把這兩個電荷移到很遠處(它們之間相距亦很遠),需要做多大的功?第150頁/共192頁所做的功等于系統(tǒng)的能量增加:末態(tài):初態(tài):U+是+Q處所有其它電荷(-Q和像電荷,不包括+Q)產生的電勢.U-同理.第151頁/共192頁第152頁/共192頁(2)求2個極板上的感應電荷.

由于中線上的電勢為零,因此由+Q發(fā)出的電力線只有一半到達左板,而-Q發(fā)出的電力線不可能到達左板,故左板上的感應電荷為-Q/2,同理,右板上的感應電荷為+Q/2.第153頁/共192頁(3)當+Q單獨存在時,兩極板的感應電荷.當+Q單獨存在時,兩極板感應電荷總數(shù)為-Q,設左板為-Qx,則右板為-Q+Qx.

當-Q單獨存在時,右板為+Qx,則左板為Q-Qx對左板,2個都存在時的感應電荷為它們單獨存在時感應電荷之和:第154頁/共192頁【例】在邊長為a的正六邊形各頂點有固定的點電荷,它們的電量相間地為Q和-Q.求:(1)系統(tǒng)的電勢能;(2)若外力將其中相鄰的兩個點電荷緩慢地移到無限遠處,其余電荷位置不變,外力需做多少功?第155頁/共192頁[解]

(1)任一電荷Q所在處的電勢為:由對稱性,有:系統(tǒng)的電勢能為:第156頁/共192頁(2)余下四個點電荷系統(tǒng)的電勢能為:無限遠處一對電荷間的電勢能為:做功等于系統(tǒng)電勢的改變:得:第157頁/共192頁2、帶電體系統(tǒng)的靜電能（1）單個帶電體的靜電能體分布電荷把點電荷體系的相互作用能推廣到連續(xù)分布的帶電體系，對體分布電荷系統(tǒng)，有：式中U1(r)表示除re(r)DV以外，其它所有電荷在r處所產生的電勢。第158頁/共192頁U(r)和U1(r)的關系：設DV為球體，半徑為a，電荷密度為re，在球體內任一點產生的電勢為：即re(r)DV在r處產生的電勢隨DV趨于零而趨于零。即U(r)和U1(r)的的差別可以忽略。第159頁/共192頁所以，靜電能公式可以改寫為：這就是體電荷分布的靜電能公式。第160頁/共192頁面電荷分布面電荷密度為se(r),se(r)DS在自身處產生的電勢不會大于

sea/2e0,該電勢將隨DS趨于零而趨于零。即U(r)和U1(r)的的差別也可以忽略。第161頁/共192頁線電荷分布線電荷密度為le(l),le(l)Dl在自身處產生的電勢不會隨r趨于零而趨于零。反而會趨于無窮大?。?，即U(r)和U1(r)的的差別不可忽略！是否線電荷分布的靜電能只能寫成下列形式？否！其原因是：要把電荷從無限分散狀態(tài)壓縮到一條幾何線上，外界要做無窮大的功！第162頁/共192頁均勻帶電球殼的靜電能為：均勻帶電球體的靜電能為：當R0時，W，如果電子被看成是點電荷，則其自能為無窮大！第163頁/共192頁【例】半徑為R的一個雨點,帶有電量Q,今將它打破成兩個完全相同的雨滴,并分開到很遠,靜電能改變多少?【解】雨滴是導體,電荷只能分布在表面,故它的靜電能為:分成2個雨滴后,每個電量為Q/2,半徑為:第164頁/共192頁因相距很遠,略去相互作用能,靜電能的增量為:靜電能減少,同號相斥,分開時,靜電力對外做正功.第165頁/共192頁第166頁/共192頁V2V1V3VN2、多個帶電體的靜電能空間的總電勢可以分為兩部分：Ui(r)表示除第i個帶電體外所有其它帶電體在r處產生的電勢U(i)(r)表示第i個帶電體在r處產生的電勢第167頁/共192頁總靜電能第168頁/共192頁電偶極子在均勻外電場中的電勢能如圖，正負電荷的電勢能為：電偶極子在外電場中的電勢能為：寫成矢量形式，有：為什么沒有1/2?第169頁/共192頁【例】一電偶極子p垂直放置在無限大接地導體前,距離為d,求它受到導體的作用力.第170頁/共192頁電偶極子鏡象p’在p處產生的電場:p的電勢能為:由虛功原理:得到:第171頁/共192頁3、電容器的儲能對電容器，如果每個極板的電量為Q，則：第172頁/共192頁【例】兩電容器的電容為C1和C2，它們分別蓄有電荷量Q1和Q2，用導線聯(lián)接，求所蓄電能的損失量。C1C2KQ1Q2【解】未接通開關，電能為：第173頁/共192頁接通開關后，靜電能為：能量損失為：第174頁/共192頁如果是異號電荷的兩極板相連接，則靜電能損失為：C1C2KQ1Q2第175頁/共192頁[例題]由n個網絡元組成的電容網絡如圖所示,每一個網絡元由三個電容組成,其中上、下兩個電容器的電容均為3C,右側電容器的電容均為2C。a和b點是網絡的輸入端,a’和b’點是網絡的輸出端,在a和b之間有恒定的輸入電壓U,