第三章第5講定積分與微積分基本定理

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔精彩文檔第5講定積分與微積分基本定理定積分的概念在()x中，，b)a叫做被積式．定積分的運(yùn)算性質(zhì)(1k()＝)xka a(2[f(±f()]f()df()；1 2 1 2a a a(3()d()d()x(＜)．a(chǎn) a c微積分基本定理一般地，如果(，]上的連續(xù)函數(shù)，并且＝()＝a((()－()記為(，a 即()(＝ a可以過特定的交點(diǎn)作x1．(選修2－2P56

例1改)由曲線＝，＝3圍成的封閉圖形的面積( )1 1A.12

B.41 7C.3

D.12＝，解析：選A.由＝3

得0或＝，由圖易知封閉圖形的面積1(23)x011 1＝－＝，故選A.34122－2P59

練習(xí)T1

改編)一物體沿直線以的單位為的單位為m/s)的速度運(yùn)動，該物體在時間[3，t]內(nèi)行進(jìn)的路程為22m，則t的值( )0 0A．4 B．5C．6 D．8解析：選B.由變速直線運(yùn)動路程與速度的關(guān)系得(2＋3)＝2，3 即(＋3)t＝22，03∴2＋3t400(t＞3，0 0 0∴t＝5，故選B.03.(選修－260B組T1(1改1 －dx的值( )0π πA．2πB．πC.2 D.4解析：選D＝1－(0≤1)表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓位于第一象限

－dx Sπ即為扇形的面積0

＝4.4．(2－2

A

改編)曲線＝29與直線＋70所圍成的圖形的面60積為 ．

1(2)解析：如圖，作出＝＋9與＋＝0的草圖，所求的面積為圖中陰影部分面積，由方程組＝－2＋，＋7＝，得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝－1，x＝2.1 2∴所求的面積為2－1[29)(7)]x-1＝2 (2＋2)x-1 1 1 ＝－3＋2＋2 2 3 2

－110793＝＋＝.3629答案：22－2P56

例1改編)如圖，曲線2與x的交點(diǎn)為，過A分別作x軸與y軸的垂線垂足分別為在矩形ACOB中任取一點(diǎn)則M取自陰影部分的概率 ．2＝，解析：由

＝0，x

＝1.＝， 1 2231 1∴S1(－2)dx－ 1＝.陰影 0

3230 31S 31M取自陰影部分的概率為

＝＝.1答案：3

矩形ACOB13定積分的計算定積分的計算2，∈[，1，(1)[直接計設(shè)) x x 則)x等于( )2A.34C.5

2－，

∈1，2]，03B.45D.6(2)[利用幾何意義計]1(1－＋)dx的值( )-1π π＋1 π＋2 π＋42

2[解析](12()＝122(2－)x 0 0 11 1＝3 1＋2－2 230

21 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 精彩文檔精彩文檔3261 5326＝＋4－2－2＋＝.1－2(2)1 (1－2＋)d＝1－2

dx＋1xdx，根據(jù)定積分的幾何意義可知1-1

-1 -11－2π 11－2－2dx等于半徑為1－2

＝2，1x＝21＝，-1π∴1 (1－＋x)＝2.-1[答案](1)D(2)A

2 －1-1計算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運(yùn)算性質(zhì)分解成幾個簡單函數(shù)的定積分用微積分基本定理求解．對函數(shù)圖象和與圓有關(guān)的定積分可以利用定積分的幾何意義求解．定積1(2e)x的值( )0e＋2C．e

解析：選C1(2＋)2＋)11＋ 0x12．1A．2C．4

dx＝3＋ln則a的值( )B．3D．6 1 解析：選A2＋d(＋ln) ＝2＋ln－1， 11∴2ln－＝3ln，則＝2.－－22xm-2A．－1C．1

4，則m等于( )B．0D．2解析：選A.根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分

m－2－22x

dx的值就是函數(shù)y＝22的圖象與x軸及直線＝m＝－22是一個圓心2x－1,01的半圓，其面積等于2m-2

4，m 1 m即在區(qū)間[－2，

]上該函數(shù)圖象應(yīng)為個圓，于是得4

＝－1，故選A.定積分求平面圖形面積及幾何概型(1)[平面圖形面曲線＝2與直線＝x所圍成的封閉圖形的面積 (2)[幾何概如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)(1,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)(2,4，函數(shù)(＝，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等．[解析](1)如圖，陰影部分的面積即為所求．＝，由＝，

1 1 1故所求面積為1－2)2－

1＝. 20

30 6(2)由題意知，陰影部分的面積1 5S2(4－2)(4－3)＝， 3 1 315∴所以所求概率P＝

S 3 5＝12SABCD12

1×4＝.1 5[答案] 6 12選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù)，確定積分區(qū)間．進(jìn)行計算．．在區(qū)域Ω＝{，y 0≤4內(nèi)隨機(jī)放入一

P，則P點(diǎn)落在區(qū)域M＝ y －≤ | x

≤的概率( )1 23B.331 34C. D.44解析：選A.如圖，求得曲線與直線區(qū)域MSΩ＝42＝16.M區(qū)域M的面積為S(－＋2)xM231

0 16＝x－2＋2 4＝.322 0 3S 1S∴所求的概率為P＝M＝.S3求曲線

Ωxy xy 1x所圍成圖形的面積．x，

＝2－，＝－3解：由y＝2－x＝2，由 13＝－x3

得交點(diǎn)A(1,1)；得交點(diǎn)B(3，－1)．故所求面積

31＋3 x1

1 ＋032－＋dx31 231

1＝x＋ 12－ 33260 21413＝＋＋＝.363 6

31定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用(1)1體在s～6s間的運(yùn)動路程m.2(2)[求變力做]設(shè)變力作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從運(yùn)動到已知(＝＋1的方向和x軸正向相同，則變力F()對質(zhì)點(diǎn)M所做的功 Jx的單位：m，力的單位[解析](1)由題圖可知，2， ≤，v(t)＝2，1＜t≤3，1t＋1，3＜t≤6.31因此該物體2

s間運(yùn)動的路程為 s6()d12td32＋1 1 12 21 36＋3

1 49＝2

＋2t3＋26＝(m．1121 6 112 (2)由題意知變力)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為11 1(2＋1)＋10＝342(J． 149

1[答案](1)

(2)342定積分在物理學(xué)中的兩個應(yīng)用：到.b所經(jīng)過的路程vtt.a②變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力()所做的功是＝d.a一物體在變力＝－2力單位，位移單位m作用下，沿與(成30°方向作直線運(yùn)動，則由運(yùn)動到時做的功( )精彩文檔精彩文檔A.3JA.3J43C.3J

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案23B.3JD．23J

1

3 4解析選C2[()cos3°]d2

× 5－3×

2＝ 3，1Fx 4

13J.

2

3 21 3∴()做的功為3汽車以54km/h3/2問從開始剎車到停車，汽車走了多遠(yuǎn)？解：由題意，得v＝54km/h＝15m/s.00解得t＝5.所以開始剎車5s后，汽車停車．所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為33 5()d5(15－3)d15－5 0 0

20＝37.5(m)．故汽車走了37.5m.一、選擇題1．(選修－267B組6改編)1||x的值( )-1A．2 B．2eC．2e－2 D．2e＋2解析：選C.1e||d0e－d＋1ex-1-10 -1-10 ＝－e－x

0＋ex1－1 0 ＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故選C.2．(2－2P例2＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故選C.2．(2－2P例257)A．16 B．18 C．20 D．222 2 解析：選B4(4－) ＋4－4＝18.故選B. 2 -2

6－2 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 精彩文檔精彩文檔3．(2－2PA

x πxπ

y x所圍成60332改編)由直線＝－，＝，＝0＝cos的封閉圖形的面積( 332改編)由直線＝－，＝，＝0＝cos

1(1) 3 3A.2B．1C. D.解析：選D.由題意知S＝∫π－πcosxdx＝3 3sinx

＝3－－ 3.π3π32 2π3π3二、填空題4．(選修－260B組1(22[0

－12＋π] .[1－x1－x－12

x－1

＋π]x＝20

πx，0由定積分的幾何意義知2 －－1x表示(1,0為圓心，半徑為，位于x軸0上方的半圓(含與x軸的交點(diǎn))，(如圖)與x軸圍成的面積．∴2 1－0

π－1＝2，而而πx＝22005π∴[1－－1＋π]＝2.05π答案：25．(選修2－2P60

A組T6

改編)一客車在平直的公路上行駛，由于緊急情況，客車以速40(t單位：s，vt＋1停車所經(jīng)過的時間在此期間客車運(yùn)行的路程解析：由題意得客車停止運(yùn)行．即40＝0(t＞0)，t＋1解得t＝9.即經(jīng)過9s后，客車停止運(yùn)行．此時運(yùn)行的路程為9S()d9

40t

t＋1d.0 01 9＝[5－2＋40ln＋1)]＝＋40ln10.2 0 29即客車運(yùn)行了＋40ln1029答案：9 ＋40ln102三、解答題6．(2－2

A組T改編)如圖，直線＝kx分拋物線＝2與x軸所圍圖形為60 1(2)面積相等的兩部分，求k的值．解：拋物線＝－2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x＝，x，∴拋物線與x軸所圍2

1

111

22，成圖形的面積為S1(d2－3 ＝－＝. 236 k，0 0解得兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x′＝0，x′＝1－k，1 2S2∴1-(－－k)d201－k

1－k 1＝ 2S1

2－30

＝(1.6又＝，61 1 1∴(1)＝，∴(＝6 12 231 34∴k＝1－

2＝1－2.一、選擇題x由曲線x

ymm 8 m )與軸及直線

＝(>0)圍成的圖形的面積為，則3

的值為(A．2 B．3 C．1

2 2 8[導(dǎo)學(xué)號03350243]解析：選.(m－x)dmx2

3－3＝， －x 3 33 00解得m＝2.函數(shù))2＋＋，R)的最小值為，2()x等于( )116A．2 B.3C．6 D．7[導(dǎo)學(xué)號03350244]解析：選B(＝＋2＋(1＋－，當(dāng)＝1時，fmin＝m－1＝－1，∴m＝0.

3

16∴()2(＋) ＋2＝. 3 1 31 13．若(＝＋)，()＝( )0－11C.3

01－3D．1[導(dǎo)學(xué)號03350245] 解析：選B.由于1()x為一常數(shù)，故1()x＝0 1 0 3＋21fx d13 0013 ＝＋()3 01∴()＝－.故選B. 30＋，≤0，函數(shù)f(x)＝ 2cos，≤≤2

的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積是( )B．2C．3 D．4[導(dǎo)學(xué)號03350246]解析：選D0－22x-2π 1 ＋ 2cosxx＋20＋2sinx＝4.2 2 20 20如圖，在矩形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)則點(diǎn)P取自圖中陰影部分的概率( )1 13B.341 15C. D.56[導(dǎo)學(xué)號03350247]解析：選B11 ∴S2(4－3)22－2＝4.陰影 0

40∵S ＝2×8＝16.矩形OABCP 4 1∴點(diǎn)取自陰影部分的概率為＝.故選B.164已知函數(shù))sinxd，則20B．1－cos1C．0D．cos1－1[導(dǎo)學(xué)號03350248]解析：選B(sinxd＝0－cosxa＝1－cosa，0∴ π2＝1－cos2＝1. ∴π＝(11 21＋vt 257．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度()＝7－31＋vt (t的單位的單位行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距(單位是( )11A．1＋25ln5 B．8＋25ln3C．4＋25ln5 D．4＋50ln2[導(dǎo)學(xué)號03350249]解析：選C.令v(t)＝7－3t＋

25＝0，得

25

1＋t0 033＝7－2＋25ln1＋t＝＋25ln5. 2 01121－x8．若1x1－x

d＝1

，則將從小到大排列的順0 0 0序?yàn)? )

1 1－xdx[導(dǎo)學(xué)號03350250]解析選A根據(jù)定積分的幾何意義可知xd .00當(dāng)0＜11－＜－＜－，(0,1－，＝1－＝1的圖象從低到高，在點(diǎn)x＝0，x＝1處三個函數(shù)的圖象重合．根據(jù)定積分的幾何意義得a＜b＜c.y xx π的圖象上有一點(diǎn)，cost)，此函數(shù)圖象與x軸在函數(shù)

＝cos，∈－2，2及直線圍成圖(如圖中陰影部的面積為則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的圖象可表示( )[導(dǎo)學(xué)號03350251]解析：選C

cosxdx＝sinx

-π2t2π2t t

π.＝sin

＋1

∈－2，2即(的圖象為＝sint π向上平移1個單位長度所得．∈－2，2若函數(shù)(1(()，則稱(1,1-1fx 1 1組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①(

)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；2 2③(＝，()＝2.其中為區(qū)－1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)( )A．0 B．1C．2 D．3[導(dǎo)學(xué)號03350252]解析：選C.由題意，要滿足f(x)，g(x)是區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)，1())＝0.-11 1 1 1 1 ①1(()＝1sincosxd＝1sinxd＝－cos1

＝0，故第①組 2 2 2 2 －1-1 -1 -1是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)；②1()·)x＝1(x＋1)(x－1)x＝1(2－1)x＝3 4

-1 -1 -1 1

≠1,11(()12dx3 －1 11＝ 3d＝ 14

-1 -1＝0，故第③組是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)．綜上，其中為區(qū)間[－1,1]上－1-1的正交函數(shù)的組數(shù)是2，故選C.二、填空題11．若()＝＋()，則(＝ .0[導(dǎo)學(xué)號03350253])(＝21()1(2)x0 0 01 a＝＋2，2a1 aa

fx x所以＝＋2，＝－，故

()＝－1.2 2答案：x－1lg＞，12．設(shè)

若則.0[導(dǎo)學(xué)號03350254]解析：由分段函數(shù)的定義知[(1)＝(lg1(0＝03d＝t3＝a31，∴a＝1.答案：1

0013．設(shè)Mm分別是f(x[a]上的最大值和最小值，則()d≤a(－)．根據(jù)上述估值定理可知定積2－x的取值范圍 ．-1[導(dǎo)學(xué)號03350255]1≤≤2時≤24，1所以≤2－2≤1.16116 根據(jù)估值定理得×[1)]22×[1)16 -1316即22－216答案：316 014．a(chǎn)26的展開式中常數(shù)項(xiàng)為6，2＋e－1) .0 1[導(dǎo)學(xué)號03350256]解析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得T＝(a26－－＝(－1)6－1－3，故當(dāng)4時，

r＋1 6

6即T為常數(shù)項(xiàng)，而T4(－1)－4＝1260，故＝40，5 5 61

8 1所以＝2(e－1)＋e－2e2－(＋0－0＝e－.