正方形的性質(zhì)與判定年

/1．（２01１福建省福州市）已知，矩形中，,，的垂直平分線分別交于點(diǎn),垂足為．（１）如圖1,連接．求證四邊形為菱形，并求的長;(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周,即點(diǎn)停止，點(diǎn)自停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程分別為（單位:，），已知四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式．圖圖1圖2備用圖答案：(1）證明:四邊形是矩形垂直平分,垂足為四邊形為平行四邊形又四邊形為菱形設(shè)菱形的邊長，則在中,由勾股定理得，解得(２)顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上，此時(shí)四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在或上,此時(shí)也不能構(gòu)成平行四邊形；因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上,才能構(gòu)成平行四邊形。以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)的速度為每秒5cm，點(diǎn)的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒解得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒．由題意得，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)在互相平行的對應(yīng)邊上.分三種情況：如圖１，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，,即，得如圖２，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，,即,得如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即,得圖1圖2圖3綜上所述，圖1圖2圖32577815783．5正方形的性質(zhì)與判定開放題解決問題２01１-08－1０2。(2011江蘇省南京市)如圖，菱形的邊長是2ｃｍ,是的中點(diǎn)，且,則菱形的面積為_＿_(dá)____＿_(dá)。答案:220１10８3５６3。５正方形的性質(zhì)與判定填空題基礎(chǔ)知識(shí)２011-０8-１53.（20１1江蘇省南京市)如圖,將的邊延長到點(diǎn)，使，連接，交于點(diǎn).（1）求證：;（２)若,連接,求證:四邊形是矩形.答案:證明：（1）四邊形是平行四邊形,．．在和中，。(２）解法一：，四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形,又是矩形。解法二:四邊形是平行四邊形。四邊形是平行四邊形，又。又即．是矩形。2０１１084423.5正方形的性質(zhì)與判定證明題雙基簡單應(yīng)用２011-0８—1５4。（201１江蘇省宿遷市)如圖，在邊長為２的正方形中,為的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)≤≤，線段的垂直平分線分別交邊、于點(diǎn)、,過作于點(diǎn),過作于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：△△；（2）順次連接、、、，設(shè)四邊形的面積為，求出與自變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最小值．AABCDQPMNEF答案:（1）證明:如圖，AABCDQPMNEFO因?yàn)槭钦叫危?又因?yàn)?，所以是矩形，所以．同理可證,，所以．設(shè)與交于點(diǎn),因?yàn)?所以，，所以.因?yàn)?所以△△.（２）解法一：由（1）知,△△，所以,因?yàn)椋?所以。在中，由勾股定理，得,因?yàn)?且，所以,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),有最小值．解法二：由(1）知，△△,所以.不妨設(shè)、,，則，又，所以。因?yàn)椋?，，所以，又因?yàn)?，因?又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),有最小值。２0110884２3。5正方形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)知識(shí)2０11-08-１５5。（201１江蘇省徐州市）如圖，將邊長為的正方形沿對角線平移,使點(diǎn)移至線段的中點(diǎn)處，得新正方形,新正方形與原正方形重疊部分（圖中陰影部分）的面積是(）Ａ．Ｂ。C．１D。答案:B2０110886６3.5正方形的性質(zhì)與判定選擇題基礎(chǔ)知識(shí)２０11—０８—156。(２011江蘇省徐州市）如圖，將矩形紙片按如下順序進(jìn)行折疊：對折、展開，得折痕（如圖①)；沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處（如圖②)；展開,得折痕（如圖③）；沿折疊,使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處(如圖④）；沿折疊（如圖⑤)；展平,得折痕（如圖⑥）。（1）求圖②中的大?。唬?)圖⑥中的是正三角形嗎?請說明理由.答案:（1）法一：連接，由折疊知，是線段的對稱軸.∴又，∴∴是等邊三角形．∴法二：由折疊知，在中,∵∴即法三:過作，垂足為中,∵∴（2）根據(jù)題意，平分，∴∴由折疊知,是線段的對稱軸.∴∴是等邊三角形。(有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形）。2０110８2１13。5正方形的性質(zhì)與判定猜想、探究題基礎(chǔ)知識(shí)2011—０8－１5７.（2011江蘇省鹽城市)情境觀察將矩形ＡBCD紙片沿對角線AC剪開，得到△AＢC和，如圖1所示．將的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Ｄ、A(）、B在同一條直線上，如圖2所示.圖圖1圖2觀察圖2可知：與BC相等的線段是_＿_(dá)___＿_(dá)，∠=＿＿_(dá)_____°。問題探究向△ＡBC外作等腰Rｔ△ABE和等腰Rt△ＡCＦ,過點(diǎn)E、F作射線GＡ的垂線，垂足分別為Ｐ、Q。試探究ＥＰ與FＱ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論。圖圖3拓展延伸如圖４,△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G,分別以ＡB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形AＣNＦ，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，ＡC=kAＦ,試探究ＨE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。圖圖4答案:解:情境觀察AD（或A′Ｄ）,90問題探究結(jié)論:EP＝FQ．證明：∵△AＢE是等腰三角形,∴ＡB=AE，∠ＢＡＥ＝90°.∴∠ＢAＧ+∠EAP=90°．∵AG⊥BC，∴∠BＡG+∠ABG=9０°,∴∠ABG=∠EAＰ.∵EＰ⊥AG,∴∠AGＢ=∠ＥPA＝9０°，∴Rt△ABＧ≌Ｒt△EAP．∴AG=ＥＰ.同理AG=ＦQ.∴EP=FＱ。拓展延伸結(jié)論：HE=HF。理由：過點(diǎn)Ｅ作EＰ⊥ＧA,FＱ⊥GA,垂足分別為P、Q.∵四邊形ABＭE是矩形，∴∠BAE=90°,∴∠BＡG+∠EAＰ=90°。AＧ⊥ＢＣ，∴∠BAG＋∠AＢＧ=90°，∴∠AＢG=∠EＡP.∵∠AGB＝∠EPA=9０°，∴△ABG∽△ＥAP,∴ｅq\f（AG，EP)=eq＼f（AＢ，EＡ).同理△ACG∽△FＡQ，∴eq＼ｆ（ＡG，F(xiàn)P）=ｅq\f(AＣ，ＦA)．∵AB=kAE，ＡC＝ｋＡF，∴eｑ＼f（AＢ,ＥA）=eq＼f(AC，F(xiàn)A)＝k，∴eq\f(AG,ＥP）=ｅｑ\f（AG,FP)．∴EP=FQ.∵∠EＨP=∠FＨQ，∴Rt△ＥPH≌Rt△FQH．∴HＥ=ＨＦ.244765991３.5正方形的性質(zhì)與判定動(dòng)態(tài)幾何解決問題２011－０8-168.（2011江蘇省鎮(zhèn)江市)已知：如圖，在梯形中,,,，為中點(diǎn)。求證:四邊形是菱形．答案:證明：，又為中點(diǎn)，．又．.．.四邊形是平行四邊形。。四邊形是菱形．２17７507873。5正方形的性質(zhì)與判定證明題基礎(chǔ)知識(shí)2011-08-1６9。（201１遼寧省大連市）如圖，矩形中,,，平分，則等于（）Ａ．Ｂ．1Ｃ． Ｄ。2答案：C2５6421７1２３。５正方形的性質(zhì)與判定選擇題基礎(chǔ)知識(shí)2０１1－08－１７１0.（２0１１內(nèi)蒙古赤峰市）如圖（圖１,圖2），四邊形是邊長為４的正方形,點(diǎn)在線段上，,且交正方形外角平分線于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)。（1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)（如圖1）,與相等嗎?為什么?(２）點(diǎn)在間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)，的面積為．①求與的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)取何值時(shí)，有最大值,并求出這個(gè)最大值。圖圖1圖2答案：解:(1）相等理由是（方法一）：四邊形是正方形,點(diǎn)是的中點(diǎn)，．．，．.是的平分線，，．．在與中，．。．即..．方法二：取的中點(diǎn),連結(jié)，四邊形是正方形,，．點(diǎn)是的中點(diǎn)．．在中,,.是的平分線,．．.又,．在中,，。，。（２）①．。．，。.，．②．當(dāng)時(shí)，有最大值為2．24235９5183．５正方形的性質(zhì)與判定閱讀理解與信息遷移解決問題2０１1—０８—1711．(2０11內(nèi)蒙古鄂爾多斯市)在中,對角線、相交于點(diǎn),,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).連接、．（１）求證:(2）在上述條件下，若，是上一點(diǎn),且,連接、，試判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論。答案：證明:四邊