第六章直線回歸與相關

第六章直線回歸與相關張菊英復習

已學過的基本統(tǒng)計推斷方法單變量分析(univariateanalysis)：t檢驗、u檢驗、2檢驗、秩和檢驗、方差分析多變量分析(multivariateanalysis)：人的身高與體重，體溫與脈搏次數(shù)，年齡與血壓，藥劑量與療效，體表面積與肺活量，身高與臂長

直線回歸（linearregression）問題的提出例11.1在腦血管疾病的診斷治療中，腦脊液白細胞介素-6(IL-6)水平是影響診斷與預后分析的一項重要指標，但腦脊液臨床上有時又不容易采集到。某醫(yī)生欲用容易測定的血清IL-6含量，來了解急性腦血管病病人腦脊液IL-6水平，隨機抽取了某醫(yī)院確診的10例蛛網(wǎng)膜下腔出血(SAH)患者24小時內血清IL-6(pg/ml)和腦脊液IL-6(pg/ml)數(shù)據(jù)見表11.1，試求腦脊液IL-6對血清IL-6的直線回歸方程。表11.1SAH患者第一天血清和腦脊液

IL-6(pg/ml)檢測結果

患者號

12345678910血清IL-6(x)22.451.658.125.165.979.775.332.496.485.7腦脊液IL-6(y)134.0167.0132.380.2100.0139.1187.297.2192.3199.4

為直觀理解SAH患者血清IL-6和腦脊液IL-6的關系，以血清IL-6為橫軸，腦脊液IL-6為縱軸，描出10對數(shù)據(jù)散點圖如圖11.1。血清IL-6(pg/ml)10080604020腦脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060直線回歸目的研究變量之間的數(shù)量依存關系（Y隨著X變化而變化），找出一條最能代表這種數(shù)據(jù)關系的直線。背景

高個子父代的子一代在成年之后的身高平均來說不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個子父代的子一代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平?；靖拍钪本€回歸方程：X為自變量的取值為當X取某一值時應變量Y的平均估計值

函數(shù)關系與回歸關系函數(shù)關系：自變量取某一數(shù)值時，應變量有一個完全確定的數(shù)值與之對應。如：y=2x+1回歸關系：變量間雖然存在一定的關系，但關系不是十分確定。如：SAH患者的血清水平與腦脊液水平，一般情況下，血清水平越高，其腦脊液水平就越高。血清IL-6(pg/ml)10080604020腦脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060基本概念直線回歸方程：X為自變量的取值為當X取某一值時應變量Y的平均估計值為截距(intercept)，即當X=0時Y的平均估計值a>0a=0a<0基本概念直線回歸方程：為回歸系數(shù)(regressioncoefficient)，又稱斜率(slope)，是當X每改變一個觀測單位時所引起Y

的改變量。b>0：X每增加（減少）一個觀測單位，增加（減少）b個單位。b<0：X每增加（減少）一個觀測單位，減少（增加）|b|個單位。b=0：X與Y沒有直線回歸關系。b>0b<0b=0原理最小二乘法：實測點到直線的縱向距離平方之和達到最小。基本公式設有n對觀測值(X1,Y1)，，(Xn,Yn),記則血清IL-6(pg/ml)10080604020腦脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060具體步驟(1)用實測數(shù)據(jù)繪制散點圖(scatterdiagram)(2)計算回歸系數(shù)b與截距a求求

則(3)列出回歸方程

(4)作出回歸直線：在X值實際范圍內任取兩點

(25,102.4535)(50,131.946)血清IL-6(pg/ml)10080604020腦脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060一、建立假設檢驗，確定檢驗水準

H0：X與Y之間無回歸關系，即

H1：X與Y之間有某種程度的回歸關系，即二、計算檢驗統(tǒng)計量方差分析：對應變量Y的離均差平方和進行分解P(X,Y)

表示實際值Ｙ與估計值之差,

稱為殘差或剩余。表示估計值與均數(shù)之差，它與回歸系數(shù)的大小有關。當|b|值越大時，差值也越大。方差分析表來源平方和SS自由度均方MS統(tǒng)計量F總總=n-1回歸回=1MS回=SS回/1MS回/MS殘殘差殘=n-2MS殘=SS殘/(n-2)表11.2方差分析結果來源平方和SS自由度均方MS統(tǒng)計量FP總16242.1009回歸8495.883918495.88398.77420.018殘差7746.21618

968.2770

(2)

t檢驗則

t=(b-0)/Sb

，=n－2

本例中,t=2.306,=8

三、確定P值和作出統(tǒng)計判斷

本例P<0.05,按=0.05水準拒絕H0，故可以認為X與Y之間有某種程度的回歸關系，即回歸系數(shù)0。注:直線回歸方程的應用條件平均數(shù)的可信區(qū)間點估計:是在給定X下的條件平均值的點估計的1-α的可信區(qū)間估計

其計算公式為：

為自由度為n-2的t分布的雙側1-臨界值

當時,條件平均值的可信區(qū)間最窄,越遠離時,的可信區(qū)間越寬個體Y值的容許區(qū)間

同一X值下，個體Y值的預報區(qū)間要寬于條件平均值的可信區(qū)間。2、控制：控制是指要求應變量Y在一定范圍內波動時，如何控制自變量X的取值。

例:

為使一名糖尿病人的血糖維持在正常范圍（4.44~6.66mmol/L）,根據(jù)資料已建立的直線回歸方程，問欲將血糖水平控制在正常范圍的上界（6.66mmol/L）以內時，胰島素應維持在什么水平上？解得X=32.64(mU/L)注意事項(1)直線通過點()(2)實際意義：從專業(yè)角度對兩個變量內在聯(lián)系有一定認識，不能把毫無關聯(lián)的兩種現(xiàn)象作回歸分析。YX,(3)適用條件

Y為數(shù)值變量且服從正態(tài)分布，X為人為控制或精確測量，一般稱為Ⅰ型回歸。若X，Y服從雙變量正態(tài)分布，則對這種資料進行的回歸稱為Ⅱ型回歸。可計算兩個回歸方程：（4）散點圖：必需有直線趨