數字濾波器的結構

數字濾波器的結構第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六§5.1

引言一、什么是濾波狹義地說：濾波是把信號中的某些頻率分量分離出來或去掉，能完成這種功能的設備就稱為濾波器。廣義地說：濾波是指某種信號處理成為另一種信號的過程，因此濾波器就是一個系統。二、數字濾波器DF（DigitalFilter）所謂數字濾波器指的是對輸入數字信號x(n)按一定要求進行運算，然后輸出數字信號y(n)的過程。它可以是一種算法，亦可是一種數字處理設備。一般情況下，數字濾波器是一線性非移變系統，第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六與模擬濾波器的差別：1、處理信號不同：數字濾波器處理數字信號（以序列表示）模擬濾波器處理連續(xù)信號（以波形表示）2、實現的方式不同：數字濾波器可用數字硬件結構或軟件實現，或二者結合使用。 （數字硬件：加法器、乘法器、延時器）模擬濾波器由分立元件組合電路網絡實現。 （分立元件：電阻、電容、晶體管等。）第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六數字濾波器是一類非常重要的線性非移變系統，對于一個確定的數字濾波器，就有其確定的系統函數H(z)與單位沖激響應h(n)。其性能不僅由H(z)決定，還有其算法結構密切相關。信號流圖表示法是一種有效的系統算法結構表示法，用它來表示數字濾波器的結構，一目了然。（運算步驟、乘法、加法次數、所用存儲單元）數字濾波器第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六§5.2數字網絡的信號流圖一、信號流圖及其表示法信號流圖是由連接節(jié)點的有向分支構成的網絡，是表示信號流通的幾何圖形。數字網絡信號流圖x(n)z-1y(n)ABa0b1a1x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六1、節(jié)點。2、支路（連接兩個節(jié)點的有向線段，系數叫做支路傳輸。3、源節(jié)點，只有輸出支路與之相連的節(jié)點稱為源節(jié)點，或輸入節(jié)點。4、匯點，只有輸入支路與之相連的節(jié)點稱為匯點，或輸出節(jié)點。5、混合節(jié)點。6、開路徑或通路（從某一節(jié)點出發(fā)，終止到另一節(jié)點，且每節(jié)點只通過一次）。7、自環(huán)（從某一節(jié)點出發(fā)，終止在同一節(jié)點的路徑且每節(jié)點只通過一次）。8、節(jié)點變量值（等于流入該節(jié)點的全部信號的疊加，流出信號不計）。9、延時器z-1相當于延時器b(n)=a(n-1)x(n)z-1y(n)ABa0b1a1CYX第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六aX1bX2X1X2a+bX1X3abX1X3abX2X1X3abX2X4cX3abX1X4ac二、信號流圖的簡化：1、支路的合并相加：相乘：2、節(jié)點的吸收：消去X2第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六3、自環(huán)消除cX1X3abX2==X1X3X1X3abbc三、根據信號流圖求系統函數匯點與源點之間的函數關系，即為系統函數。有三種方法求解

a.將信號流圖逐步化簡，得到系統函數

b.用信號流圖代數方程組求解

c.用Mason公式求系統函數第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G41、信號流圖代數方程組法設X為源點，Y為匯點，系統函數為H=Y/X由流程圖可得如下方程組變形第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六用系數行列式表示方程方程1左右兩邊同除H1

方程組補齊變量第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六為X的代數余子式Y=X5

只需求X5由克萊姆法則X5=D5/D

；D是系數矩陣的行列式第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六2、Mason公式通路傳輸：通路邊界間（開始節(jié)點與終止節(jié)點之間）各支路傳輸之積為通路傳輸；環(huán)路傳輸：繞環(huán)路一周，各支路傳輸之積；不接觸：兩條通路間或兩個環(huán)路間或一條通路與一個環(huán)路之間，若無公共節(jié)點則稱它們互不接觸。Mason公式：D為流圖的行列式。D=1-（所有環(huán)路傳輸之和）+（每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……gi

是從源點到匯點的第i條通路傳輸。Di則是此通路流圖的余子式。Di=1-（與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和）+（與此通路不接觸的每兩個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）-（與此通路不接觸的每三個互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+……第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六所有環(huán)路：①-G2H2②

-G3H3③

-G4H4④-G1H2H3H4

D=1-(-G2H2-G3H3-G4H4-G1H2H3H4)+(G2H2G3H3+

G2H2G4H4)所有通路g1=H1H2H3H4此通路流圖余子式D1=1X3X1X2XX4X5YH1H2H3H4-G1-G2-G3-G4例：第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1x(n)X(z)cY(z)y(n)az-1四、信號流圖的轉置轉置定理：將信號流圖全部支路反向，且保持全部支路傳輸不變，并將源點和匯點交換位置，則當信號流圖中只有一個源點和一個匯點時，轉置后的流圖與原圖傳輸函數相同。第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六說明：對于同一傳輸函數，存在著多種不同的算法結構，即對同一個系統有多種不同的實現方案。不同的方案，數學運算復雜度不同，所用加法器、乘法器、延遲器件數目不同，系統特性對于乘法器系數變化的靈敏度不同。應選擇乘法器少的結構，提高速度應選擇延遲器少的結構，減少存儲電路應選擇對乘法器系數變化靈敏度低的結構，提高系統穩(wěn)定性算法結構的選擇對于一個系統的實現非常重要。第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六§5.3IIR數字濾波器的結構離散系統差分方程描述分為遞歸型和非遞歸型數字濾波器可分為:

無限沖擊響應IIR（InfiniteImpulseResponse）

有限沖擊響應FIR（FiniteImpulseResponse）IIR濾波器都是遞歸型的，FIR濾波器一般都是非遞歸的IIR濾波器特點： ⑴h(n)無限長； ⑵H(z)在有限z平面上存在極點，因果穩(wěn)定的系統其全部極點一定在單位圓內； ⑶結構存在輸出到輸入的反饋，即遞歸型。第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六x(n)z-1y(n)a0b1a1z-1z-1z-1z-1z-1aMaM-1b2bN根據方程直接得到圖1

數字網絡一、直接型遞歸差分方程：第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六圖2

直接Ⅰ型信號流圖x(n)y(n)z-1y1(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1a1b1a0a2aM-1aMb2bN-1bN將差分方程兩邊Z變換用信號流圖表示為第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六如圖2所示，直接I型可看成兩個獨立網絡的級聯。故有故有得系統函數是N節(jié)延時鏈結構網絡，不過它是對y(n)延時，因而是個反饋網絡；與H(z)分母對應，實現濾波器極點。第二個網絡是對輸入x(n)的M節(jié)延時鏈結構，即每個延時抽頭后加權相加，即是一個橫向網絡；與H(z)分子對應，實現濾波器零點。第一個網絡第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六圖3

直接Ⅱ型信號流圖x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN線性非移變級聯系統總輸入輸出關系和子系統級聯次序無關H(z)=H1(z)·H2(z)=H2(z)·H1(z)可將兩個子網絡交換，得第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六x(n)y(n)a1a0a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1b1b2bN-1bN圖4

正準型直接型與正準型共同缺點是系數ai與bi對濾波器的性能控制作用不明顯，且系統頻率特性對于其零、極點位置變化靈敏度高。易出現不穩(wěn)定現象，尤其當階次高時更明顯（N大）。所以，直接型一般不用，正準型當階次高時也不采用。二、正準型（典范型）由圖3知兩列傳輸為z-1的支路有相同的輸入可把它們合并。這樣可節(jié)省一半延時單元。第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例5-3-1已知某IIR系統函數，畫出直接型、正準型的結構流圖解：為了得到直接型結構，必須將H(z)代為z-1的有理式；注意反饋部分系數符號x(n)8-411z-1-2z-1z-1y(n)5/4-3/41/8z-1z-1z-1y(n)5/4-3/41/8-411-28x(n)z-1z-1z-1第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六由于系數ai與bi為實數，零點ci與極點di只有兩種可能，或是實根，或是共軛復根。(A=a0/b0=a0)三、級聯型對H(z)因式分解第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六把單實根因子看成a2i與b2i為0的二階因子的特例，并設N≥ML為N/2到N范圍內的某一整數，當M=N時（L對(N+1)/2取整）將共軛因子組合成實系數的二階因子。第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia2i-b2i二階基本結構xi(n)yi(n)a1iz-1-b1i一階基本結構圖5

級聯型H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)A級聯基本網絡結構第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例5-3-2設IIR數字濾波器系統函數為：11z-1z-111y(n)1z-11x(n)解：設將系統函數變形為：第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六級聯型結構特點：a1i與a2i確定第i對零點，b1i與b2i確定第i對極點，即子網絡零、極點是系統的零極點；調整任何一個子網絡的零極點都不影響其它零、極點，具有獨立性，便于較準確的實現H(z)特性，靈敏度特性好；級聯次序可以互換，零、極點對的搭配為任意，不同的方案總的系統函數都相同，但系統特性對于零、極點位置變化的靈敏度不同，涉及到最優(yōu)化問題。第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六式中若M=N，第三項為c0，若M<N，第三項為零將共軛因子組合成實系數的二階因子。四、并聯型將H(z)按部分分式展開第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六并聯基本網絡結構xi(n)yi(n)a1iz-1z-1-b1ia0i-b2i二階基本結構xi(n)yi(n)a0iz-1-b1i一階基本結構由上式可知系統由N1個一階系統、N2個二階系統，以及延時加權單元并聯組合而成。當M=N時，延時單元為c0

將一階實極點看成二階的特例，且令M=N，則有分子比分母小一階第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六圖6

并聯型特點：并聯支路極點是整個網絡的極點，但零點不是，因而可獨立調整極點位置，靈敏度特性好（但不能控制零點）；此外，并聯型結構運算誤差比級聯型結構?。壜撔徒Y構,前級的輸出是后級的輸入）。H1(z)H2(z)HL(z)x(n)y(n)c0由系統函數可得第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例5-3-3用并聯結構實現網絡解：系統函數變形為：x(n)y(n)1z-161z-114-61z-1第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六§5.4FIR數字濾波器的結構FIR濾波器特點： ⑴h(n)在有限個n值處不為零，即有限長； ⑵H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點，而全部極點都在z=0處（因果系統）； ⑶結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結構中（例如頻率抽樣結構）也包含有反饋的遞歸部分。第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六令x(n)=d(n)，代入差分方程y(n)即為單位沖激響應h(n)，則有h(n)在0～N-1

區(qū)間外為0，即h(n)長度有限，因此這樣的濾波器叫有限沖激響應(FIR)濾波器。非遞歸差分方程：由第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六z=0為系統的N-1階極點，有N-1個零點在有限z平面的任意位置一、直接型根據上式可畫出FIR濾波器的直接型結構；因為是卷積和，又可稱為是卷積型；或者稱為FIR濾波器的橫截型結構。將H(z)展開，可得h(0)h(1)h(2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1x(n)y(n)h(N-2)第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(2)h(N-1)z-1圖7

橫截型（一）根據轉置定理圖8

橫截型（二）x(n)y(n)z-1z-1h(0)z-1h(1)h(N-1)z-1h(N-2)將上圖放倒，得到第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六若系數a2i=0，則為一階因式；K表示(N-1)/2到(N-1)范圍內的某一整數x(n)y(n)a11z-1z-1a01a21a12z-1z-1a02a22a1Kz-1z-1a0Ka2K圖9

級聯型圖中每個網絡控制一對零點，即零點可單獨控制，且系統特性隨零點位置變化的靈敏度好；但此結構所需的乘法次數比橫截型多二、級聯型將H(z)分解成實系數二階因子的乘積形式第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六設則(把系統分為兩部分級聯的形式)1、第一個子網絡He(z)

梳狀濾波器，網絡結構如圖x(n)-z-Ny(n)三、頻率采樣型FIR濾波器也可以用遞歸算法來計算。H(z)可由H(k)通過一個內插式精確的恢復。第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六在z=0處有N階極點，零點是1的N次方根，共N個均勻的分布在單位圓上

k=0～Ｎ-1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1He(z)的頻率響應為故其幅度響應為w02p/N4p/N6p/N……性質：He(z)是一個FIR子系統第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六x(n)y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)Im(z)Re(z)0z0zN-1z1此外該網絡在z=0處有一階零點，在有限z平面上有N-1個零點，此網絡稱為無損耗并聯諧振器。2、第二個子網絡Hk(z)是N個一階網絡的并聯結構是一個IIR子系統。每個一階網絡都有一個極點WN-k，此子網絡共有N個極點均勻分布在單位圓上。第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六Im(z)Re(z)0z0zN-1z1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1梳狀濾波器在單位圓上的零點正是并聯諧振器在單位圓上的極點，因此當兩網絡級聯時，相互抵消。另外在z=0處的極點與一階零點也相互抵消，最后保留在z=0處的N-1階極點和有限z平面上的N-1個零點。兩系統級聯第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六y(n)z-1WN0z-1WN-1z-1WN-(N-1)…H(0)H(1)H(N-1)x(n)-z-N1/N圖10

頻率抽樣型結構頻率抽樣型結構主要特點是在頻率采樣點wk，H(ejwk)=H(k)因此只要調整H(k)就可以有效的調整系統的頻率特性。缺點：He(z)的零點由延時來實現，Hk(z)的極點由復數乘法來實現，因此在實際上二者不能準確的完全抵消，從而影響系統的穩(wěn)定性。如果極點落在單位圓外，系統就不穩(wěn)定了。結構如圖：第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1Im(z)Re(z)0z0zN-1z1r1這樣即使極點不能完全被零點抵消由于是在單位圓內，也不會導致系統不穩(wěn)定但要注意H(k)未作修正。頻率采樣型的修正1、將單位圓上所有零、極點移到單位圓內半徑為r的圓上，r≈1，用rz-1來代替He(z)和Hk(z)中的z-1第42頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六Re(z)0z0zN-1z1r1因此可將第k個和第N-k個諧振器合并成一個實系數的二階網絡N為偶數2、將并聯諧振器中的運算都化為實數運算諧振器的各個根為使系數為實數，將共軛根合并。共軛根在半徑為r的圓周上以實軸為軸成對稱分布，滿足利用即可導出第43頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六N為偶數時總共合并了N-2個（i=1～N/2-1）還剩k=0和k=N/2兩點0z0zN-1z1r1zN/2當k=N/2時0z0zN-1z1r1N為奇數時總共合并了N-1個（i=1～(N-1)/2）還剩k=0點當k=0時第44頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六z-1-rH(N/2)z-1rH(0)z-1z-1b1i-r2b0i2rcos(2pi/N)圖11

頻率抽樣型修正結構N為奇數時無此項H1(z)H2