時間序列與趨勢曲線模型預(yù)測法

時間序列與趨勢曲線模型預(yù)測法第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六一時間序列概述（一）時間序列的組成因素

通常假定存在4個獨(dú)立的組成因素——趨勢因素、周期因素、季節(jié)因素以及不規(guī)則因素，這4個因素相結(jié)合提供一個時間序列的確切值。1、趨勢因素

在時間序列分析中，測量可以在每小時、每周、每月或者每年，或者其他規(guī)則的間隔時間進(jìn)行。盡管時間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出隨機(jī)波動，但是在一個較長的時段中，時間序列仍可能表現(xiàn)出向一個更高值或者更低值的漸進(jìn)變化或者移動。時間序列的漸進(jìn)變化被稱作時間序列趨勢。第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六一些可能的時間序列形態(tài)的例子......時間數(shù)量（a）非線性趨勢.......時間數(shù)量.....時間數(shù)量（b）線性趨勢（c）無趨勢第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六2、周期趨勢盡管一個時間序列可以表現(xiàn)為長時期的趨勢，但是，所有的時間序列未來值都不會正好落在趨勢線上。事實上，時間序列盡管常表現(xiàn)為交替地出現(xiàn)于趨勢線的上方和下方的點序列。

時間序列的周期因素：任何循環(huán)于趨勢線上方和下方的點序列并持續(xù)一年以上的。第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六時間序列的趨勢因素和周期因素（各數(shù)據(jù)點以1年為間隔）數(shù)量時間銷量在趨勢線的上下方周期性交替變化趨勢線第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六3、季節(jié)因素

指由于自然條件、生活條件以及人們生活習(xí)慣的影響，具體表現(xiàn)在一年內(nèi)某一特定時期或以一年為周期作周期性變化。4、不規(guī)則因素

不規(guī)則因素：一種殘余或者“綜合”因素。這種因素包括實際時間序列值與考慮了趨勢的因素、周期因素以及季節(jié)因素效應(yīng)的估計值之間的偏差，它用于解釋時間序列的隨機(jī)變動。不規(guī)則因素是由短期、未被預(yù)測到的以及不重復(fù)發(fā)現(xiàn)的那些影響時間序列的因素引起的。因為這些因素引起的時間序列的隨機(jī)變動，所以，它是不可預(yù)測的，也不能預(yù)測到它對時間序列的影響。第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六（二）時間序列預(yù)測法的預(yù)測模型Yt：時間序列觀察值Tt：趨勢因素St：季節(jié)因素Ct：周期因素

It：不規(guī)則因素乘法模型Yt＝Tt·St·

Ct·

It加法模型Yt＝Tt＋St＋Ct＋I(xiàn)t混合型Yt＝Tt·St＋Ct＋I(xiàn)t

Yt＝Tt·St＋I(xiàn)t

Yt＝Tt·Ct·It＋St第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六加法型預(yù)測模型圖Y（t）

T（t）C（t）

S（t）

I（t）

第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六

由于不規(guī)則變動值（It）往往是一種隨機(jī)變動，長期來看，多種隨機(jī)變動因素對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的作用剛好相反，可互相抵消。因此，時間序列預(yù)測中主要考慮長期趨勢變動值（Tt）和季節(jié)變動值（St）。乘法模型方式及加法模型方式的簡便形式如下：

Yt＝Tt·St

Yt＝Tt＋St第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六二、時間序列預(yù)測法1、移動平均法2、指數(shù)平滑法第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六趨勢曲線模型預(yù)測方法

趨勢預(yù)測主要采用曲線配合的方法，然后進(jìn)行時間外推。趨勢曲線：設(shè)給出的時間序列數(shù)據(jù)為y1,y2,…yn,把點（t,yt)（t=1，2，3，…，n）畫在平面直角坐標(biāo)系中（散點圖），觀察t與yt之間的關(guān)系，用一條適當(dāng)?shù)那€近似的描述這種關(guān)系。（時間t稱為趨勢變量）趨勢線是研究歷史數(shù)據(jù)得出的，它反映了歷史數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，假定這種規(guī)律在未來時期也成立，從而只要把t=n+1，n+2,…代入趨勢方程，可得到趨勢預(yù)測值。第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代管理決策方法專題二第二講趨勢曲線模型預(yù)測方法方法一、直線模型預(yù)測法方法二、二次拋物線預(yù)測模型方法三、指數(shù)曲線預(yù)測模型方法四、成長曲線預(yù)測模型第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法一、直線模型預(yù)測法第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法一、直線模型預(yù)測法特點：時間序列的一階差分近似為一常數(shù)。即：因此，當(dāng)時間序列{yt}的一階差分近似為一常數(shù)，其散點圖呈線性趨勢時，可配合線性預(yù)測模型來預(yù)測。線性趨勢預(yù)測模型：

?t=a+bt

其中：t為時間，代表年次、月次等；?t為預(yù)測值，a、b為參數(shù)，a代表t=0時的預(yù)測值，b代表逐期增長量。第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六最小平方法估計采用最小平方法估計參數(shù)a，b。最小平方法就是使誤差平方和達(dá)到最小來估計a和b的方法。由極值原理，有：第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六整理得：其中n為時間序列的項數(shù).第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六案例年（t）銷售量（千輛）（Yt)121.6222.9325.5421.9523.9627.5731.5829.7928.61031.4自行車銷售時間序列第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六

對于一個線性趨勢而言，估計銷售量為：

Tt=b0+b1tTt=階段t的自行車銷售趨勢值

b0

＝趨勢線的截距

b1＝趨勢線的斜率階段t的時間序列的真實值階段值時間序列的平均值t的平均值第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六tYttYtt2121.621.61222.945.84325.576.59421.987.616523.9119.525627.5165.036731.5220.549829.7237.664928.6257.4811031.4314.0100總計55264.51545.5385第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六通過利用b0和b1的這些關(guān)系，得到如下結(jié)果：自行車銷售情況時間序列的線性趨勢因素等式：

Tt=20.4+1.1t

趨勢中的斜率1.1表示在過去10年中，公司經(jīng)歷一次平均每年1100輛銷售量的增長。則T11=20.4+1.1×11＝32.5T12=20.4+1.1×12＝33.6T13=20.4+1.1×13＝34.7第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六案例2銷售量預(yù)測例：某公司1978年-1986年化纖銷售量如下表所示：試預(yù)測1987年的銷售量。年份787980818283848586銷量265297333340405443494508541第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六建立模型、估計參數(shù)

a=222.722,b=36.0333yt=222.722+36.0333t第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六銷量預(yù)測y(1987)=y10=222.722+36.0333*10=583.055back第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法二、二次拋物線預(yù)測模型方法二、二次拋物線預(yù)測模型第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法二、二次拋物線預(yù)測模型案例2自行車銷售量預(yù)測：某公司1988年-1996年自行車銷售量如下表所示：試預(yù)測1987年的銷售量。年份888990919293949596銷量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六曲線圖第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法二、二次拋物線預(yù)測模型二、二次拋物線預(yù)測模型第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六參數(shù)估計、建立模型第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六線性、二次拋物線擬和比較圖back第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法三、指數(shù)曲線預(yù)測模型方法三、指數(shù)曲線預(yù)測模型第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法三、指數(shù)曲線預(yù)測模型例：某市1989-2000年儲蓄額如下表所示：試預(yù)測2001年產(chǎn)量。年份899091929394959697989900產(chǎn)量5.677.099.5613.0716.7521.6228.3439.8654.1674.8494.38129.9第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六曲線圖第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六其中：方法三、指數(shù)曲線預(yù)測模型第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六參數(shù)估計參數(shù)估計方法：

1、最小二乘法

2、三點法第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六線性、指數(shù)曲線擬和圖back第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法四、成長曲線預(yù)測模型方法四、成長曲線預(yù)測模型第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六方法四、成長曲線預(yù)測模型例：某市1992-2000年彩電擁有量如下表所示：試預(yù)測2001年擁有量。92939495969798990025.85032.80444.47756.00264.96072.08080.28285.83589.900第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六模型模型：第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六

趨勢外推法主要利用圖形識別和數(shù)據(jù)分析法計算來進(jìn)行模型的基本選擇。第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六2、數(shù)據(jù)分析法

由于模型的種類很多，為了根據(jù)歷史數(shù)據(jù)正確選擇模型，常常對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

最常用的是一階向后差分法：一階向后差分法實際上是當(dāng)時間由t推到t-1時yt的增量。二階向后差分法K階向后差分法

計算時間序列的差分并將其與各類模型差分特點進(jìn)行比較，就可以選擇適宜的模型。第42頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六（1）二次多項式預(yù)測模型為：一階差分二階差分

當(dāng)時間序列各數(shù)值的二階差分相等或大致相等時，可以采用二次項式模型進(jìn)行預(yù)測。（2）三次多項式預(yù)測模型為：一階差分二階差分三階差分當(dāng)時間序列各數(shù)值的三階差分相等或大致相等時，可以采用三次多項式模型進(jìn)行預(yù)測。第43頁，共47頁，2023年，2月20日，星期六（5）雙數(shù)曲線模型預(yù)測模型：yt=abtct2

其對數(shù)形式：lnyt=lna+tlnb+t2lnc

其對數(shù)形式為二次多項式，所以當(dāng)時間序列的對數(shù)的二次差分近似為一常數(shù)時，可采用雙