數(shù)值分析迭代法

數(shù)值分析迭代法第1頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作2在用直接法解線性方程組時(shí)要對(duì)系數(shù)矩陣不斷變換如果方程組的階數(shù)很高,則運(yùn)算量將會(huì)很大并且大量占用計(jì)算機(jī)資源因此對(duì)線性方程組要求找尋更經(jīng)濟(jì)、適用的數(shù)值解法--------(1)第2頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作3對(duì)于大型線形代數(shù)方程組，常用迭代解法。它是從某些初始向量出發(fā)，用設(shè)計(jì)好的步驟逐次算出近似解向量，從而得到向量序列。一般的計(jì)算公式是

稱之為多步迭代法．若只與有關(guān)，且是線性的，即

其中，稱為單步線性迭代法，稱為迭代距陣。若和都與k無(wú)關(guān)，即

稱為單步定常線性迭代法。本章主要討論具有這種形式的各種迭代方法。第3頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作4如果能將線性方程組(1)變換為--------(2)(1)式和(2)式同解時(shí),我們稱(1)(2)等價(jià)對(duì)線性方程組(2),采用以下步驟:依此類推第4頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作5--------(3)這種方式就稱為迭代法,以上過(guò)程稱為迭代過(guò)程迭代法產(chǎn)生一個(gè)序列如果其極限存在,即則稱迭代法收斂,否則稱為發(fā)散第5頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作6

從(1)式出發(fā)，可以由不同的途徑得到各種不同的等價(jià)方程組（2），從而得到不同的迭代法（3）。例如，設(shè)A可以分解為，其中M非奇異，則Ax=b等價(jià)于令就可以得到（2）的形式。不同的分解方式，可的不同的B和f。第6頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作7迭代法的收斂性設(shè)解線性方程組的迭代格式--------(10)--------(11)將(10)與(11)相減,得第7頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作8則因此迭代法收斂的充要條件可轉(zhuǎn)變?yōu)槎ɡ?.迭代格式(10)收斂的充要條件為--------(12)第8頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作9由上節(jié)知即因此定理2.迭代格式(10)收斂的充要條件為--------(13)定理3對(duì)任意矩陣有其中是任一矩陣范數(shù)。第9頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作10定理4

設(shè)有簡(jiǎn)單迭代法對(duì)任一種矩陣范數(shù)，只要迭代矩陣B滿足，則該簡(jiǎn)單迭代法關(guān)于任意初始向量收斂。由于范數(shù)容易計(jì)算，故實(shí)用中用作為收斂的充分條件較為方便。第10頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作11定理5.證明:第11頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作12所以運(yùn)用即可得（5.2.3），定理得證。即可得證第二式。第12頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作13

定理說(shuō)明，若但不接近1，則當(dāng)相鄰兩次迭代向量和很接近時(shí)，與精確解很靠近。因此，在實(shí)際計(jì)算中，用作為迭代終止條件是合理的。

可見(jiàn)對(duì)給定的精度要求，可以得到需要迭代的次數(shù)，并且，

越小，序列收斂越快。由于依賴于所選擇的范數(shù)，而且，我們以給出收斂速度的概念。

定義稱為迭代法的漸進(jìn)收斂速度。由此定義可以看出，越小，就越大。第13頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作14高斯-賽德?tīng)柕捌涫諗啃栽O(shè)有簡(jiǎn)單迭代將迭代矩陣分解為其中第14頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作15則將其修改為稱之為由簡(jiǎn)單迭代法導(dǎo)出的高斯-賽德?tīng)柕?，?jiǎn)稱高斯-賽德?tīng)柕?。其分量形式為?5頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作16高斯-賽德?tīng)柕ǖ奶攸c(diǎn)是：計(jì)算第i個(gè)分量時(shí)，前邊的i-1個(gè)分量用的是最新算出來(lái)的而不是舊值，這樣可能提高收斂速度。另外，該方法可以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單迭代法的形式，故可以使用簡(jiǎn)單迭代法收斂性的各種判別方法。第16頁(yè)，共17頁(yè)，2023年，2月20日，星期六華長(zhǎng)生制作17定理設(shè)簡(jiǎn)單迭代法的迭代矩陣滿足則相應(yīng)的高斯-賽德?tīng)柕P(guān)于任意初始向量收斂。

可見(jiàn)，