文檔：數(shù)學與音樂-“江南聯(lián)賽”一等獎

數(shù)學與音樂在這一輪課程改革中,“數(shù)學與文化”成為了數(shù)學和數(shù)學教育工作者最為關注的問題之一.實際上,在很長一段時間內,許多數(shù)學和數(shù)學教育工作者已經在思考和研究這個問題,在即將推行的“高中數(shù)學課程標準”中,明確的要求把“數(shù)學文化”貫穿高中課程的始終.對于涉及“數(shù)學文化”的一系列理論問題,應該承認還沒有討論得很清楚,還有很多的爭論,例如,很多學者對“數(shù)學文化”這個說法也有疑義,我們認為這是很正常的.對這些問題的研究,我們建議從兩個方面同時進行,一方面進行理論上的研究;另一方面,積極地開發(fā)一些“數(shù)學與文化”的實例,案例,課例,探索如何將“數(shù)學文化”滲透到課堂教學中,如何讓學生從“數(shù)學文化”中提高數(shù)學素養(yǎng),在此基礎上再進行一些理論上的思考,從實踐到理論,做一些實證研究.下面是我們提供的一個實例———數(shù)學與音樂,也可以看作一個素材,很希望工作在一線的教師能作進一步的開發(fā),能使這樣的素材以不同的形式進入課堂或課外活動.我們也希望有更多的人來開發(fā)這樣的素材,并希望這些素材能出現(xiàn)在教材中.

在數(shù)學課程標準的研制過程中,我們結識了一些音樂界的專家,他們給我們講述了很多音樂和數(shù)學的聯(lián)系,數(shù)學在音樂中的應用,他們特別強調,在計算機和信息技術飛速發(fā)展的今天,音樂和數(shù)學的聯(lián)系更加密切,在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂制作等等方面,都需要數(shù)學.他們還告訴我們,在音樂界,有一些數(shù)學素養(yǎng)很好的音樂家為音樂的發(fā)展做出了重要的貢獻.他們和我們都希望有志于音樂事業(yè)的同學們學好數(shù)學,因為在將來的音樂事業(yè)中,數(shù)學將起著非常重要的作用.

《梁?！穬?yōu)美動聽的旋律《,十面埋伏》的錚錚琵琶聲,貝多芬令人激動的交響曲,田野中昆蟲啁啾的鳴叫……當沉浸在這些美妙的音樂中時,你是否想到了它們與數(shù)學有著密切的聯(lián)系?

其實,人們對數(shù)學與音樂之間聯(lián)系的研究和認識可以說源遠流長.這最早可以追溯到公元前六世紀,當時畢達哥拉斯學派用比率將數(shù)學與音樂聯(lián)系起來[1].他們不僅認識到所撥琴弦產生的聲音與琴弦的長度有著密切的關系,從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關系,而且還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的.于是,畢達哥拉斯音階(thePythagoreanScale)和調音理論誕生了,而且在西方音樂界占據(jù)了統(tǒng)治地位.雖然托勒密(C.Ptolemy,約100—165年)對畢達哥拉斯音階的缺點進行了改造,得出了較為理想的純律音階(theJustScale)及相應的調音理論,但是畢達哥拉斯音階和調音理論的這種統(tǒng)治地位直到十二平均律音階(thetemperedScale)及相應的調音理論出現(xiàn)才被徹底動搖.在我國,最早產生的完備的律學理論是三分損益律,時間大約在春秋中期《管子.地員篇》和《呂氏春秋.音律篇》中分別有述;明代朱載(1536-1610)在其音樂著作《律學新說》對十二平均律的計算方法作了概述,在《律呂精義?內篇》中對十二平均律理論作了論述,并把十二平均律計算的十分精確,與當今的十二平均律完全相同,這在世界上屬于首次.由此可見,在古代,音樂的發(fā)展就與數(shù)學緊密地聯(lián)系在了一起.從那時起到現(xiàn)在,隨著數(shù)學和音樂的不斷發(fā)展,人們對它們之間關系的理解和認識也在不斷地加深.感覺的音樂中處處閃現(xiàn)著理性的數(shù)學.樂譜的書寫離不開數(shù)學.

看一下樂器之王———鋼琴的鍵盤吧,其上也恰好與斐波那契數(shù)列有關.我們知道在鋼琴的鍵盤上,從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程(如圖1).其中共包括13個鍵,有8個白鍵和5個黑鍵,而5個黑鍵分成2組,一組有2個黑鍵,一組有3個黑鍵.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù).

如果說斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合,那么等比數(shù)列在音樂中的出現(xiàn)就決非偶然了:1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的.再來看圖1,顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音,并且我們知道下一個C鍵發(fā)出樂音的振動次數(shù)(即頻率)是第一個C鍵振動次數(shù)的2倍,因為用2來分割,所以這個劃分是按照等比數(shù)列而作出的.我們容易求出分割比x,顯然x滿足x12=2,解這個方程可得x是個無理數(shù),大約是1106.于是我們說某個半音的音高是那個音的音高的1106倍,而全音的音高是那個音的音高11062倍.實際上,在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列[3].

音樂中的數(shù)學變換.

數(shù)學中存在著平移變換,音樂中是否也存在著平移變換呢?我們可以通過兩個音樂小節(jié)[2]來尋找答案.顯然可以把第一個小節(jié)中的音符平移到第二個小節(jié)中去,就出現(xiàn)了音樂中的平移,這實際上就是音樂中的反復.把兩個音節(jié)移到直角坐標系中,那么就表現(xiàn)為圖3.顯然,這正是數(shù)學中的平移.我們知道作曲者創(chuàng)作音樂作品的目的在于想淋漓盡致地抒發(fā)自己內心情感,可是內心情感的抒發(fā)是通過整個樂曲來表達的,并在主題處得到升華,而音樂的主題有時正是以某種形式的反復出現(xiàn)的.比如,圖4就是西方樂曲WhentheSaintsGoMarchingIn的主題[2],顯然,這首樂曲的主題就可以看作是通過平移得到的.

如果我們把五線譜中的一條適當?shù)臋M線作為時間軸(橫軸x),與時間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸y),那么我們就在五線譜中建立了時間-音高的平面直角坐標系.于是,圖4中一系列的反復或者平移,就可以用函數(shù)近似地表示出來[2],如圖5所示,其中x是時間,y是音高.當然我們也可以在時間音高的平面直角坐標系中用函數(shù)把圖2中的兩個音節(jié)近似地表示出來.

在這里我們需要提及十九世紀的一位著名的數(shù)學家,他就是約瑟夫.傅里葉(JosephFourier),正是他的努力使人們對樂聲性質的認識達到了頂峰.他證明了所有的樂聲,不管是器樂還是聲樂,都可以用數(shù)學式來表達和描述,而且證明了這些數(shù)學式是簡單的周期正弦函數(shù)的和[1].

音樂中不僅僅只出現(xiàn)平移變換,可能會出現(xiàn)其他的變換及其組合,比如反射變換等等.圖6的兩個音節(jié)就是音樂中的反射變換[2].如果我們仍從數(shù)學的角度來考慮,把這些音符放進坐標系中,那么它在數(shù)學中的表現(xiàn)就是我們常見的反射變換,如圖7所示.同樣我們也可以在時間-音高直角坐標系中把這兩個音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來.

通過以上分析可知,一首樂曲就有可能是對一些基本曲段進行各種數(shù)學變換的結果.

大自然音樂中的數(shù)學.

大自然中的音樂與數(shù)學的聯(lián)系更加神奇,通常不為大家所知.例如[2],蟋蟀鳴叫可以說是大自然之音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關系,我們可以用一個一次函數(shù)來表示:C=4t–160。其中C代表蟋蟀每分鐘叫的次數(shù),t代表溫度.按照這一公式,我們只要知道蟋蟀每分鐘叫的次數(shù),不用溫度計就可以知道天氣的溫度了!

理性的數(shù)學中也存在著感性的音樂.

由一段三角函數(shù)圖像出發(fā),我們只要對它進行適當?shù)姆侄?形成適當?shù)男」?jié),并在曲線上選取適當?shù)狞c作為音符的位置所在,那么就可以作出一節(jié)節(jié)的樂曲.由此可見,我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉.巴托克那樣利用黃金分割來作曲,而且也可以從純粹的函數(shù)圖像出發(fā)來作曲.這正是數(shù)學家約瑟夫.傅里葉的后繼工作,也是其工作的逆過程.其中最典型的代表人物就是20世紀20年代的哥倫比亞大學的數(shù)學和音樂教授約瑟夫.希林格(JosephSchillinger),他曾經把紐約時報的一條起伏不定的商務曲線描述在坐標紙上,然后把這條曲線的各個基本段按照適當?shù)?、和諧的比例和間隔轉變?yōu)闃非?最后在樂器上進行演奏,結果發(fā)現(xiàn)這竟然是一首曲調優(yōu)美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲[2]!這位教授甚至認為,根據(jù)一套準則,所有的音樂杰作都可以轉變?yōu)閿?shù)學公式.他的學生喬治.格什溫(GeorgeGershwin)更是推陳出新,創(chuàng)建了一套用數(shù)學作曲的系統(tǒng),據(jù)說著名歌劇《波吉與貝絲》(PorgyandBess)就是他使用這樣的一套系統(tǒng)創(chuàng)作的.

因而我們說,音樂中出現(xiàn)數(shù)學、數(shù)學中存在音樂并不是一種偶然,而是數(shù)學和音樂融和貫通于一體的一種體現(xiàn).我們知道音樂通過演奏出一串串音符而把人的喜怒哀樂或對大自然、人生的態(tài)度等表現(xiàn)出來,即音樂抒發(fā)人們的情感,是對人們自己內心世界的反映和對客觀世界的感觸,因而它是用來描述客觀世界的,只不過是以一種感性的或者說是更具有個人主體色彩的方式來進行.而數(shù)學是以一種理性的、抽象的方式來描述世界,使人類對世界有一個客觀的、科學的理解和認識,并通過一些簡潔、優(yōu)美、和諧的公式來表現(xiàn)大自然.因此可以說數(shù)學和音樂都是用來描述世界的,只是描述方式有所不同,但最終目的都是為人類更好地生存和發(fā)展服務,于是它們之間存在著內在的聯(lián)系應該是一件自然而然的事.

既然數(shù)學與音樂有如此美妙的聯(lián)系,為何不讓我們沉浸在《梁祝》優(yōu)美動聽的旋律中或置身于昆蟲啁啾鳴叫的田野里靜下心來思考數(shù)學與音樂的內在聯(lián)系呢?為何不讓我們在錚錚琵琶聲中或令人激動的交響曲中充滿信心地對它們的內在聯(lián)系繼續(xù)探索呢?

上面,我們提供了一些數(shù)學與音樂聯(lián)系的素材,如何將這些素材“加工”成為“數(shù)學教育”的內容呢?我們提出幾個問題僅供教材編寫者和在一線工作的教師思考.

1)如何將這樣的素材經過加工滲透到數(shù)學教學和數(shù)學教材中?

2)能否把這些素材編寫成為“科普報告”,在課外活動中,向音樂和數(shù)學愛好者報告,調查,了解,思考這樣的報告對學生的影響以及學生對這樣的報告的反映.

若干世紀以來，音樂和數(shù)學一直被聯(lián)系在一起。在中世紀時期，算術、幾何、天文和音樂都包括在教育課程之中。今天的新式計算機正在使這條紐帶綿延不斷。

樂譜的書寫是表現(xiàn)數(shù)學對音樂的影響的第一個顯著的領域。在樂稿上，我們看到速度、節(jié)拍（4／4拍、3／4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等。書寫樂譜時確定每小節(jié)內的某分音符數(shù)，與求公分母的過程相似——不同長度的音符必須與某一節(jié)拍所規(guī)定的小節(jié)相適應。作曲家創(chuàng)作的音樂是在書寫出的樂譜的嚴密結構中非常美麗而又毫不費力地融為一體的。如果將一件完成了的作品加以分析，可見每一小節(jié)都使用不同長度的音符構成規(guī)定的拍數(shù)。

除了數(shù)學與樂譜的明顯關系外，音樂還與比率、指數(shù)曲線、周期函數(shù)和計算機科學相聯(lián)系。

畢達哥拉斯學派（公元前585～前400）是最先用比率將音樂與數(shù)學聯(lián)系起來的。他們認識到撥動琴弦所產生的聲音與琴弦長度有關，從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)的關系。他們還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的——事實上被撥弦的每一和諧組合可表示成整數(shù)比。按整數(shù)比增加弦的長度，能產生整個音階。例如，從產生音符C的弦開始，C的16／15長度給出B，C的6／5長度給出A，C的4／3長度給出G，C的3／2長度給出F，C的8／5長度給出E，C的16／9長度給出D，C的2／1長度給出低音C。

你是否曾對大型鋼琴為何制作成那種形狀表示過疑問？實際上許多樂器的形狀和結構與各種數(shù)學概念有關。指數(shù)函數(shù)和指數(shù)曲線就是這樣的概念。指數(shù)曲線由具有y＝kx形式的方程描述，式中k＞0。一個例子是y＝2x。它的坐標圖如下。

不管是弦樂器還是由空氣柱發(fā)聲的管樂器，它們的結構都反映出一條指數(shù)曲線的形狀。

19世紀數(shù)學家約翰·傅里葉的工作使樂聲性質的研究達到頂點。他證明所有樂聲——器樂和聲樂——都可用數(shù)學式來描述，這些數(shù)學式是簡單的周期正弦函數(shù)的和。每一個聲音有三個性質，即音高、音量和音質，將它與其他樂聲區(qū)別開來。

傅里葉的發(fā)現(xiàn)使聲音的這三個性質可以在圖形上清楚地表示出來。音高與曲線的頻率有